高中数学解三角形.2第课时距离测量问题学案含解析新人教A版必修520203269

/07/7/1．2应用举例第1课时距离测量问题内容标准学科素养1.引导学生认识正、余弦定理是解决测量问题的一种方法．2.运用正、余弦定理等知识和方法解决测量距离和长度的实际问题.运用数学建模提升数学运算发展逻辑推理运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点基线的概念与选择原则图1(1)如何测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离？如图1，测量AB的距离．图2提示：测出AC与∠BAC和∠ACB.(2)如何测量两个不可到达点之间的距离？如图2，测量AB的距离．提示：测出DC及∠ADB，∠BDC，∠DCA，∠ACB.知识梳理(1)基线的定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段．(2)选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高．[自我检测]1．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile答案：B2．A，B两点间有一小山，先选定能直接到达点A，B的点C，并测得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________．答案：140m授课提示：对应学生用书第7页探究一测量一个不可到达点的距离[阅读教材P11例1]测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)在河的一岸选基线AC.(2)测出基线长AC.(3)测量角度∠BAC和∠ACB.(4)利用正弦定理计算AB.[例1]如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，与学生前进方向成30°角，学生前进200m后到达点B，测得该参照物与前进方向成75°角．求点A与参照物C的距离．[解析]由题意得AB＝200m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.由正弦定理得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(AC,sin105°)，∴AC＝eq\f(AB·sin105°,sin45°)＝eq\f(200×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝100(1＋eq\r(3))，即A与C的距离为100(1＋eq\r(3))m.延伸探究如果本例条件不变，求河的宽度．解析：作CD⊥AB于D点(图略)，由于∠CAB＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝50(1＋eq\r(3))(m)．即河的宽度为50(1＋eq\r(3))m.方法技巧测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．探究二测量不可到达的两点间的距离[阅读教材P11例1]测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)选基线CD，并测量长度．(2)测角度∠BCA，∠ACD，∠CDB，∠BDA.(3)用正弦定理计算AC，BC.(4)用余弦定理计算AB.[例2]某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距eq\f(\r(3),2)akm的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离．[解析]∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°.∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)akm.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，得BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a(km)．在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋(eq\f(3＋\r(3),4)a)2－2·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)akm.故蓝方这两支精锐部队间的距离为eq\f(\r(6),4)akm.方法技巧测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，最后运用正弦定理解决问题．其实质是综合应用正、余弦定理求解边长．跟踪探究1．如图，对于河对岸A、B两点，给出不同于本例题解法的另外一种测量方法．解析：测量者可以在河岸边选定点E，C，D，使A，E，C及D，E，B三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，在△AED和△BEC中，应用正弦定理得AE＝eq\f(bsinγ,sin[π－?α＋γ?])＝eq\f(bsinγ,sin?α＋γ?)，BE＝eq\f(asinβ,sin[π－?α＋β?])＝eq\f(asinβ,sin?α＋β?).在△ABE中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离AB＝eq\r(AE2＋BE2＋2AE×BEcosα).探究三测量不通、不可视的两点间的距离[阅读教材P24A组第3题]如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向．已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离a，b及∠ACB＝α，求A，B两点的距离，以及∠ABC，∠BAC.解析：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)，cos∠ABC＝eq\f(a2＋AB2－b2,2a·AB)＝eq\f(2a2－2abcosα,2a\r(a2＋b2－2abcosα))＝eq\f(a－bcosα,\r(a2＋b2－2abcosα))，从而确定∠ABC的大小．则∠BAC＝π－α－∠ABC.[例3]如图所示，为了开凿隧道，要测量隧道上DE间的距离，为此在山的一侧选取适当的点C，测量AC＝400m，BC＝600m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80m，BE＝40m(点A，D，E，B在同一直线上)，试计算隧道DE的长(精确到1m)．[解析]在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝4002＋6002－2×400×600×eq\f(1,2)＝，∴AB＝200eq\r(7)，∴DE＝AB－AD－EB＝200eq\r(7)－80－40≈409(m)．方法技巧此类问题是已知三角形的两边及夹角求第三边问题，故直接用余弦定理．跟踪探究2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，B，b②测量a，b，C③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：①AB＝eq\f(bsin?A＋B?,sinB)；②AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)；③AB＝eq\f(asin?A＋B?,sinA).答案：A探究四海平面上两点间的距离[阅读教材P19习题A组第1题]如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿着方位角为148°的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是126°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是78°.求货轮到达C点时与灯塔A的距离．解析：在△ABC中，∠ABC＝148°－126°＝22°，∠BAC＝126°－78°＝48°，BC＝eq\f(35,2).由正弦定理eq\f(BC,sin48°)＝eq\f(AC,sin22°)，故AC＝eq\f(35sin22°,2sin48°).[例4]一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救并在B处追上商船．求“黄山”舰追上商船所需要的最短时间及所经过的路程．[解析]如图所示，A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，所以(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，所以(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.所以t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以AB＝21×eq\f(2,3)＝14(海里)．即“黄山”舰需要用eq\f(2,3)小时追上商船，共航行14海里．方法技巧根据题意，画出适合的三角形，找出已知与所求，结合余弦定理解三角形．授课提示：对应学生用书第9页[课后小结](1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．(2)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．[素养培优]1．对题意理解不清或定理记忆不准确致误如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测量A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，则A，B两点的距离为________米．易错分析此类题易将已知条件与三角形的边角关系对应错，或运用定理致错．考查了直观想象、数学运算、数学抽象的学科素养．自我纠正在△ABC中，BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以AB＝eq\f(BC×sin∠BCA,sin∠BAC)＝eq\f(50×sin45°,sin30°)＝50eq\r(2).故A，B两点间的距离为50eq\r(2)米．答案：50eq\r(2)2．不能正确分类讨论实际问题海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距100eq\r(3)nmile，渔船B被困海面，已知B距离基地100nmile，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是________．易错分析此题出错的原因是不能根据题意，分类讨论出具体情况，而丢解．考查了直观想象、数学运算的学科素养．自我纠正如图，设基地位于O处，则在△ABO中，OA＝100eq\r(3)，OB＝100，∠BAO＝30°.由正弦定理得：sin∠ABO＝