统计培训教材概率与概率分布

统计培训教材概率与概率分布第1页，课件共53页，创作于2023年2月一、概率基础---随机实验，样本空间，随机事件---概率：古典概率，几何概率，公理化定义---条件概率---随机变量---常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态---数学期望、方差第2页，课件共53页，创作于2023年2月在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。对随机现象进行观察和试验称为随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间(S)。集合表示：例：抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”，如果结果出现5点，则事件A发生了。1、随机实验，样本空间，随机事件第3页，课件共53页，创作于2023年2月2、事件的关系与运算事件的关系表示含义加（并）表示事件A与B至少有一个发生A∪B或A+B减（差）表示事件A发生而事件B不发生A-B乘（交）表示事件A与B两个都发生A∩B或AB对立（逆）表示A的对立事件，即“A不发生”（AA=φ，A+A=S）包含与相等表示事件A发生必要导致事件B发生B⊃A或A⊂BA=B互不相容(互斥)表示事件A与事件B不能同时发生（即AB=φ）SABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-B第4页，课件共53页，创作于2023年2月例抛一骰子。A表示“偶数点”，B表示“4，5，6”，则事件A与B至少有一个发生为事件A与B都发生事件A发生而B不发生事件A与B都不发生第5页，课件共53页，创作于2023年2月事件的运算法则

交换律:A∪B=B∪AAB=BA结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)=(AB)C分配律:A(B∪C)=AB∪ACA∪(BC)=(A∪B)(A∪C)对偶律:集合的运算法则都适用,常用的有第6页，课件共53页，创作于2023年2月3、概率的定义物理学家吴大猷：误用概率的笑话一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种手术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有50人死去了，所以你不用害怕。第7页，课件共53页，创作于2023年2月估计概率方法一）概率的古典定义

1、定义：古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概率.如果试验E满足

(1)它的结果只有有限种.(2)且每种结果发生的可能性相同.

(3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个结果。则事件A发生的概率为：

P(A)=k/n第8页，课件共53页，创作于2023年2月2、古典概率模型中事件的概率求法∵试验A的结果只有有限种,即样本点是有限个:

1,2,…,n,∴Ω={1}∪{2}∪…∪{n}{i},i=1,2,…n是基本事件，而他们发生的概率都相等，这样

1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…n∴P({i})=1/ni=1,2,…因此若事件A包含k个基本事件，于是

P(A)=k(1/n)=k/n第9页，课件共53页，创作于2023年2月3、古典概率模型的例子例1

掷一颗均匀骰子.设:A表示所掷结果为“四点或五点”.B表示所掷结果为“偶数点”.求:P(A)和P(B)解:n=6，kA=2∴P(A)=2/6=1/3kB=3∴P(B)=3/6=1/2第10页，课件共53页，创作于2023年2月例2货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率.解:

从15件商品中取出2商品,共有=105种取法,且每种取法都是等可能的.∴n=105令A={两件商品都来自产地甲}kA==66令B={两件商品都来自产地乙}kB==3而事件{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥。∴它包含基本事件数=66+3=69∴所求概率=69/105=23/35第11页，课件共53页，创作于2023年2月例3：

有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只,（1）每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样).（2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)

设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽到两只不同类三极管}.求：P(A),P(B),P(C),P(D)第12页，课件共53页，创作于2023年2月解:

（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取.

第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法.

第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法.∴取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的乘法原理第13页，课件共53页，创作于2023年2月即n=36且每个基本事件发生的可能性相同.∵第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法.∴取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即：kA=16∴P(A)=16/36=4/9

令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4∴P(E)=4/36=1/9而C是E的对立事件，∴P(C)=1-P(E)=8/9；∵B=A∪E,且A与E互斥，∴P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件,∴P(D)=1-P(B)=4/9第14页，课件共53页，创作于2023年2月（2）由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法.由乘法原理∴取两只三极管共有n=65=30种可能的取法.再由乘法原理:

∴kA=43=12∴P(A)=12/30=2/5kE=21=2∴P(E)=2/30=1/15∵C是E的对立事件,∴P(C)=1-P(E)=14/15∵B=A∪E,且A与E互斥∴P(B)=P(A)+P(E)=7/15∵D是B的对立事件,∴P(D)=1-P(B)=8/15第15页，课件共53页，创作于2023年2月例4：设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品,K<N.现从N件中每次任意抽取1件产品,在检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽取了n次.

求:事件A={所取的n件产品中恰有k件次品}的概率,k=0,1,2,…,n.解：假定N件产品是有编号的，从中任意取出一件，每次都有N种取法.由乘法原理，n次共有Nn种取法,所以基本事件总数为Nn。当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品的次序的不同，因此从次序考虑共有Cnk种情况

。第16页，课件共53页，创作于2023年2月

这Cnk种情况确定以后,现在考虑次序，首先从K件次品中取出k件,共有Kk种取法.从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法.由乘法原理,共有CnkKk(N-K)n-k种取法,∴A中基本事件个数为CnkKk(N-K)n-k.第17页，课件共53页，创作于2023年2月在不放回抽样中，从N件产品种选取n件产品的抽取方法共有CNn(这里不考虑产品的选取次序）;从K件次品中选取k件次品的选择方法有CKk;从N-K件正品中选取n－k件正品的选择方法有CN-Kn-k;抽取n件产品共有k件次品的选择方法有

CKkCN-Kn-k；所以抽取n件产品共有k件次品的概率P(A)为：

P(A)=CKkCN-Kn-k/CNn

这种分布称为超几何分布，上式为超几何分布概率公式。第18页，课件共53页，创作于2023年2月二）概率的统计定义（频率估计法）

1、频率：设A是一个事件.在相同的条件下,进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生了m次.则称m为事件A在n次试验中发生的次数,称m与n的比值m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A).2、频率的稳定性：在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.

例如抛硬币、掷骰子等,第19页，课件共53页，创作于2023年2月

考虑在相同条件下进行的S轮试验.

第二轮试验试验次数n2

事件A出现m2次

第S轮试验试验次数ns

事件A出现ms次

试验次数n1事件A出现m1次

第一轮试事件A在各轮试验中频率形成一个数列

我们来说明频率稳定性的含义.第20页，课件共53页，创作于2023年2月

频率的稳定性指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns

充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微.即，第21页，课件共53页，创作于2023年2月这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为统计概率这种确定概率的方法称为频率方法.例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.第22页，课件共53页，创作于2023年2月3、频率与概率的区别与联系频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率就会非常接近一个值----概率.频率是样本的表现，而概率是总体所具有的特征。因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.第23页，课件共53页，创作于2023年2月设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于Ω中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下述三条公理:

公理2

P(Ω)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的（必须是可列的）

.公理1

0≤P(A)≤1（1）一）概率的公理定义概率的的性质与运算法则第24页，课件共53页，创作于2023年2月二）概率的性质1.

P(Ø)=0即不可能事件的概率为零.

2.[概率的加法定理]若事件A1,A2…,An两两互斥,则有:P(A1∪A2…∪An)=P(A1)+…+P(An)即互斥事件之和的概率等于它们各自的概率之和.(有限可加性)[概率的加法定理]3.对两个事件A和B,若AB,则有:P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).4.对任一事件A,均有

概率的的性质与运算法则第25页，课件共53页，创作于2023年2月

又因再由性质

3便得

(8).

性质5对任意两个事件A、B，有

(8)第26页，课件共53页，创作于2023年2月条件概率设某电子元件能使用20年以上的概率为0.8，能用25年以上的概率为0.4，如果某件元件已经使用了20年，问它能用25年以上的概率？这是条件概率[概率的乘法定理]:故P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)此外还有全概率公式、贝叶斯公式第27页，课件共53页，创作于2023年2月独立概率设有2个事件A和B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率，则称事件A与B相互独立。假如A与B相互独立，则A与B同时发生的概率假如A与B相互独立，则在事件B发生的前提下，事件A发生的概率第28页，课件共53页，创作于2023年2月1.5随机变量及其分布离散：(Discrete)二项分布B(n,p)(Binomial)超几何分布(Hyper-geometric)泊松分布（Poisson)连续：(Continuous)均匀分布(Uniform)正态分布(Normal)指数分布(ExponentialDistribution)第29页，课件共53页，创作于2023年2月二项分布B(n,p)贝努利试验：---进行n次试验 (1) 各次试验结果相互独立 (2) 各次试验只有两个结果：“成功”和“失败” (3) 在每次试验中“成功”的概率都是p。

第30页，课件共53页，创作于2023年2月在n次贝努利试验中，随机变量X表示“成功”的次数，则“成功”

k次的概率为

数学期望==np方差=2=np(1-p)第31页，课件共53页，创作于2023年2月例买六合彩100次，中3次射击50次，命中30次生了3个小孩，有一个是男孩抽查10个产品，有一个次品今天碰到6个人，有2人在星期六出生第32页，课件共53页，创作于2023年2月例已知100个人中有16人近视。现班中有10个人，问其中有k个人近视的概率？最简单的方法是用Minitab来计算：Calc>ProbabilityDistributions>Binomialfunction(n=10,p=0.16)第33页，课件共53页，创作于2023年2月近视人数概率 1 0.333145 2 0.285553 3 0.145043 4 0.048348 5 0.011051 6 0.001754 7 0.000191 8 0.000014 9 0.000001 10 0.000000第34页，课件共53页，创作于2023年2月超几何分布（Hypergeometric）N个元素分成两类，有N1

个属于第一类，有N2个属于第二类。从中不重复抽取n个，令X表示这n个元素中属于第一类的个数，则X的分布称为超几何分布。第35页，课件共53页，创作于2023年2月泊松分布（Poisson）泊松是十九世纪法国著名数学家，是“一个熟谙在行事处世方面不失高贵风度的人”。泊松分布最初只是作为二项分布的近似来使用，后来逐渐成为一种重要的概率模型，被誉为随机现象的“基本粒子”。观察如下现象：--单位时间内走进候车室的人数--单位时间内打进的电话数--某段时间内机场降落的飞机数--单位时间内细胞分裂的个数--某段时间内发生车祸的次数--每个产品发现的疵瑕数第36页，课件共53页，创作于2023年2月

(x=0,1,2...,&>0)

数学期望和方差都是。泊松分布（Poisson）第37页，课件共53页，创作于2023年2月泊松分布（Poisson）泊松分布表：一般教科书都列出泊松分布的概率：当n很大时，二项分布的概率将很难计算。泊松定理：当n很大，p很小时，二项分布可用泊松分布来近似，即其中第38页，课件共53页，创作于2023年2月例1：

历史资料显示，某市每月有5人自杀。问下个月自杀人数小于3人的概率？

因均值=5 P(小于3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

=第39页，课件共53页，创作于2023年2月

例2：某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的

概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率.解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出租车数,则:X∼B(400,0.02).

令=np=400×0.02=8于是:P{一天内没有出租车出现故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)≈(80/0!)e-8=0.0003355第40页，课件共53页，创作于2023年2月分布近似分布条件超几何分布二项式分布10n≤总体数量二项式分布泊松分布n≥20且p≤0.05；或n≥100，只要np≤10二项式分布N=样本大小p是比例正态分布（即失效部件的比率）Np和n（1-p）小于5分布的近似第41页，课件共53页，创作于2023年2月连续型随机变量均匀分布(UniformDistribution)正态分布(NormalDistribution)指数分布(ExponentialDistribution）第42页，课件共53页，创作于2023年2月连续型随机变量：密度函数第43页，课件共53页，创作于2023年2月均匀分布（UniformDistribution）均匀分布的概率密度函数是

abxf(x)1/(b-a)00，其他例题：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900-1100欧姆之间。求R的概率密度及落在950-1050欧姆之间的概率。第44页，课件共53页，创作于2023年2月正态分布（NormalDistribution）第45页，课件共53页，创作于2023年2月

总体均值总体方差如果=0,2=1，则称为标准正态分布，常记为Z。设X服从参数为,2的正态分布，则它可通过如下变换化为标准正态分布

概率密度分布函数数学期望方差正态的标准化第46页，课件共53页，创作于2023年2月特性第47页，课件共53页，创作于2023年2月(1) 利用标准正态分布表求如下概率： (a) P(Z>1.25)=1-0.8944=0.1056 (b) P(Z<-0.85)=1–0.8023=0.1977 (c) P(Z>1.25)或P(Z<-0.85)=0.1056+0.1977=0.3033 (d) P(-0.85<Z<1.25)=1-0.1056–0.1977=0.6967(2)利用