线性二次型的最优控制

线性二次型的最优控制第1页，课件共49页，创作于2023年2月5.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为正定二次型半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。加权矩阵总可化为对称形式。求最优控制，使下列二次型性能指标最小。第2页，课件共49页，创作于2023年2月性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：

Q(t)可开始取值小，而后取值大第3页，课件共49页，创作于2023年2月线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。

线性二次型问题的三种重要情形：

第4页，课件共49页，创作于2023年2月5.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。5.2.1有限时间状态调节器问题物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。

第5页，课件共49页，创作于2023年2月解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿最优轨线有：（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：写成矩阵形式：其解为：下面思路：确定与的关系，带入（5-6）形成状态反馈第6页，课件共49页，创作于2023年2月横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：（5-13）-（5-12）*F可得第7页，课件共49页，创作于2023年2月可实现最优

线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大第8页，课件共49页，创作于2023年2月（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）与（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)边界条件：

第9页，课件共49页，创作于2023年2月还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。第10页，课件共49页，创作于2023年2月（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值第11页，课件共49页，创作于2023年2月例[5-1]已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)为黎卡提方程的解最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）第12页，课件共49页，创作于2023年2月利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.matfunctiondy=dfun1(t,y)dy=zeros(1,1);%acolumnvectora=-1;q=1;r=1;dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)^2-q;第13页，课件共49页，创作于2023年2月利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);f=0;%initialvaluesol=ode45(@dfun1,[10],f,options);x=linspace(1,0,100);y=deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100));%p(t0)=y(100)第14页，课件共49页，创作于2023年2月利用matlab进行最优控制系统仿真第15页，课件共49页，创作于2023年2月第16页，课件共49页，创作于2023年2月第17页，课件共49页，创作于2023年2月第18页，课件共49页，创作于2023年2月设线性定常系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。5.2.1无限时间状态调节器问题说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应第19页，课件共49页，创作于2023年2月最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值可以证明：

P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。第20页，课件共49页，创作于2023年2月例[5-2]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性第21页，课件共49页，创作于2023年2月展开整理得到三个代数方程

P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之利用矩阵P正定的性质第22页，课件共49页，创作于2023年2月与给定条件矛盾，故假设不成立下面用反证法证明不是所求的根最优控制为：利用矩阵P正定的性质第23页，课件共49页，创作于2023年2月最优状态调节器闭环系统结构图闭环系统传递函数闭环极点为

a>2,实根，过阻尼a<2,复根，衰减震荡第24页，课件共49页，创作于2023年2月利用matlab计算和仿真A=[01;00]B=[0;1]a=2b=1Q=[1b;ba]R=1K=lqr(A,B,Q,R,0)第25页，课件共49页，创作于2023年2月第26页，课件共49页，创作于2023年2月5.3输出调节器5.2.1有限时间输出调节器问题设线性时变系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。

物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。

根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题

第27页，课件共49页，创作于2023年2月将（5-29）代入（5-30）

若是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：可以证明，如果系统完全可观测，则是半正定的。第28页，课件共49页，创作于2023年2月

有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。（2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。第29页，课件共49页，创作于2023年2月5.2.2无限时间输出调节器问题设线性定常系统的状态方程为

假设控制向量不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。

与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：

第30页，课件共49页，创作于2023年2月例[5-3]已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能观性第31页，课件共49页，创作于2023年2月展开整理得到三个代数方程

P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控且完全能观，故最优控制为：解之利用矩阵P正定的性质第32页，课件共49页，创作于2023年2月闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变第33页，课件共49页，创作于2023年2月利用matlab计算和仿真A=[01;00]B=[0;1]C=[10]D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)第34页，课件共49页，创作于2023年2月第35页，课件共49页，创作于2023年2月5.4跟踪器设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）

假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为求最优控制，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。

5.4.1线性时变系统的跟踪问题第36页，课件共49页，创作于2023年2月解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵形式：因控制不受约束，故沿最优轨线有：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。第37页，课件共49页，创作于2023年2月横截条件给出了终端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：其解为：第38页，课件共49页，创作于2023年2月（5-43）对时间求导2.应用系统特性求解p(t)，g(t)（5-45）与（5-46）相等，可得第39页，课件共49页，创作于2023年2月边界条件：对所有均成立，推出：第40页，课件共49页，创作于2023年2月综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：

最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。

第41页，课件共49页，创作于2023年2月最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在上。互为负的转置关系（伴随矩阵）由（5-54）可知，为了求得，必须在控制过程开始之前知道全部的信息。与有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输出的全部未来值。关键在于掌握

变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）第42页，课件共49页，创作于2023年2月最优跟踪系统结构图伴随矩阵第43页，课件共49页，创作于2023年2月设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）

控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为求最优控制，使下列二次型性能指标最小。5.4.2线性定常系统的跟踪问题第44页，课件共49页，创作于2023年2月当足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性定常最优跟踪系统结构图第45页，课件共49页，创作于2023年2月例[5-4]已知一阶系统的状态方程：求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)，g(t)为下列方程的解：第46页，课件共49页，创作于2023年2月第47页，课件共49页，创作于2023年2月第48页，课件共49页，创作于2023年2月第5章结束语研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问