大二上答案线性代数代课件

1.2

矩阵的运算一、矩阵的加法二、数乘矩阵三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置运算五、小结、思考题１、定义mn mn

a

+

b

a

+

b

a

+

bm

2m

2m1m

1a2

n

+

b2

n

A

+

B

=

a21

+

b21a1n

+

b1na12

+

b12a22

+

b22

a11

+

b11一、矩阵的加法,那末矩阵,

B

=

bij设有两个m

·

n矩阵A

=aijA

与B

的和记作A

+B，规定为说明

只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算.例如

148

3

30

+

6

1

-

9

56

212

3

-

5

1

8

98

+

1

3

+

3

3

+

8

-

5

+

9=

1

+

6

-

9

+

56

+

212

+

194.

613

11

40

+

4

=

7

-

482、矩阵加法的运算规律1)A

+

B

=

B

+

A;2)

A

+

B)+

C

=

A

+

B

+

C

).mn

-

a

-

a

-

am1

m

1-

a1n

-

a12-

a22

-

a11(3)-

A

=

-

a21ij-

a2

n

=

-

a

,称为矩阵A的负矩阵.4)A

+

-

A)=

O,

A

-

B

=

A

+

-

B).mn

m1m1la2n

.

la11lA

=

Al

=

la21

la12

la1n

la22

la

la

la二、数与矩阵相乘1、定义数l与矩阵A的乘积记作lA或Al,规定为2、数乘矩阵的运算规律（设A、B为m

·

n

矩阵，l

,m为数）lm

)A

=

l

mA);l

+

m

)A

=

lA

+

mA;l

A

+

B)=

lA

+

lB.矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.三、矩阵与矩阵相乘引例某IT集团公司向两家代理商发送三种电脑的数量（单位：套）如下表所示：商品名代理商WorkPadTablet

PCNC甲a11a12a13乙a21a22a23表格中的数据对应矩阵：21

22 23

a

aaa12

a13

A

=

a11这三种电脑的单价及单件重量也可以列成矩阵：b31bb12

21 22

b32

b11B

=

b其中，bi1表示第i种电脑的单价，bi

2表示第i种电脑的单件重量(i

=1,2,3).试问：该IT公司向代理商乙所发送电脑的总重量是多少？1311

12a21

a22

a23

a

a

aA

=

3231b

bb12

b11B

=

b

b

21

22显然，由A、B的意义即可知a21b12

+a22b22

+a23b32即为所求.于是，可得该公司向两家代理商所发送电脑的总价值与总重量矩阵：21

11

22

21

23

31

21

12

22

22

23 32

a

b

+

a

b

+

a

ba

b

+

a

b

+

a

bC

=

a11b11

+

a12b21

+

a13b31

a11b12

+

a12b22

+

a13b32

我们可以认为矩阵C是矩阵A、B的“乘积”.于是，有１、矩阵乘积的定义scij

=

ai

1b1

j

+

ai

2

b2

j

+

+

aisbsj

=

aik

bkjk

=1i

=

1,2,m;

j

=

1,2,,

n),并把此乘积记作C

=

AB.设A

=aij是一个m

·

s

矩阵，B

=

bij

是一个s

·

n

矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m

·

n

矩阵

C

=

cij

，其中2·22·2

-

2

4

2

4

C

=

1

-

2

-

3

-

616

2

·

2设4

0

1

0

-

1

2A

=

-

1

1

3

05

-

1

3

0

3

4

1

2

1

1

-

1

-

1

2

1

B

=

例2-

16

-

32=

8

?

(-2)

·

2

+

4

·(-3)

=例１求AB.故1

-

1-

1

33

4

1

2

1

124

0

5

-

101

3

1

0

-

1

2

0C

=

AB

=

-

1解4·3,

A

=

aij

3·4

,

B

=

bij\

C

=

cij

3·3

.-

567

=

10

2

-

6.-

2

17

10注意

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.9

5

1

6

83

2 1

8

6

0

1

1

2

3例如

1

3

(1

2

3)

2

=

1·

3

+

2

·

2

+

3

·1)

=

10).不存在.

而２、矩阵乘法的运算规律B

+

C

)A

=

BA

+

CA;（其中l

为数）;AB)C

=

A BC

);A B

+

C

)=

AB

+

AC

,l

AB

)=

lA)B

=

A

lB4)AI

=

IA

=

A;5若A是n

阶矩阵，则Ak为A的k

次幂，即Ak=A

A

A

并且Am

Ak=

Am

+k

,(Am

)k

=

Amk

.k个m,k为正整数)运算可行前提下注意

矩阵一般不满足交换律，即：AB„

BA,

(AB)k

„

Ak

Bk

.例

设1

-

1A

=

1

B

=

1

-

1

-

1

-

1

1

则0,2

,AB

=

0

BA

=

2

0

0

-

2

-

2故

AB

„

BA.但也有例外，比如设0,A

=

2

0

2-

1,B

=

1

-

1

1

则有

,AB

=

2

-

2-22

BA

=

2

-

2-

221

1AB

=

1

-

1

-

1

-

1

1

AB

=

BA.同理，由-

1

0

0

=

0

0即可知，AB

=O

一般推不出A

=O或B

=O.注意

矩阵一般不满足消去律，亦即：AX

=AY

一般推不出X

=Y

.例3

计算下列乘积：(1)

)

3

2

1

2

(

2

2解

(1)

2(1

2)=

32

·12

·

2

2

·13

·13

·

2

3

6

4.

2

42

·

2

=

2例4

：A93

,

求1 1

2

3

-

3已知A

=-21解

3

1 1

2

-

3

3

-

2

11

12

-

3=

-

21

3

3

8A9233

.2

1

3-1

-

3

-32=

-

2

-1

-

1 1

2 3

-

3

3

=

-

2·18

·1定义

把矩阵A

的行换成同序数的列得到的例,

1

2

2

4

5

8A

=

2

8

1

4T

A

=

2

5;B

=

18,

6),18

6

TB

=

.１、转置矩阵四、矩阵的转置运算新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT

.即:若A=(aij)

则AT=(aji)转置矩阵的运算性质(1)(AT

)T

=

A;=

AT

+

BT

;(2)(A

+

B)T(3)(lA)T

=

lAT

;(4)(AB)T=

BT

AT

.例5

已知1

2

0

-

1,1

3

1

7

-

1

B

=

4

2

3

,2

0A

=

2求(AB)T

.解法11

2

1

7

-

1

0

-

1

4

2

31

3

2

0

AB

=

2,

0

14

-

317

13 10=

(

)

0

17-3

10

=

14

13.T\

AB解法2(AB)T=

BT

AT21

-

12

2 1

4

=

7

2

0

0

-

1

3

113.

0

17-3

103

=

141

2

1

7

-

1

0

-

1,1

3

B

=

4

2

3

,2

0A

=

22、对称阵与反对称阵定义

设

A

为

n

阶方阵，如果满足A

=

AT，即aij=

a

ji

i

,

j

=

1,2,

,n那末A

称为对称阵.

6

112

6

1

例如

A

=

6

8

0

为对称阵.0说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。如果

AT

=

-

A

,则矩阵A称为反对称矩阵.即满足

aij

=

-a

ji

.

显然，反对称矩阵中，

aii

=

0.与反对称阵之和.例6

证明任一

n

阶矩阵

A

都可表示成对称阵证明设C

=A

+AT=

AT

-

A

=

-B,则CT

=

(A

+

AT

)T

=

AT

+

A

=

C

,所以C为对称矩阵.设B

=

A

-

AT

,

则BT

=

(A

-

AT

)T所以B为反对称矩阵.于是2

2+A

+

AT

A

-

ATA

==

C

+

B

,2

2命题得证.例7

设列矩阵满足T1

2

nX

=

(x

,

x

,,