概率论独家课件第三章

课程：概率论与数理统计教师：沈其骅邮箱：办公室：2号楼306室办公室电话：67705091百度云网盘：密码：math0310一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布

四、小结第二节

边缘分布要点回顾1.

一维随机变量的分布函数离散型

F

(

x)

=

P{

X

£

x}

=

pk-¥xk

£

xxf

(t

)

d

t连续型

F

(

x)

=

P{

X

£

x}

=

且若f

(x)在点x

处连续,则有F

(x)=f

(x).2.

二维随机变量的分布函数F

(

x,

y)

=

P{

X

£

x,Y

£

y}.离散型

F

(

x,

y)

=

pij

.xi

£xy

j

£

yf

(u,

v)

du

d

v.y

x-¥ -¥连续型

F

(

x,

y)

=

一、边缘分布函数(X,Y)

联合分布F(X,Y)整体地看二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.但作为一维随机变量,

X,Y

也有自己的分布函数.局部地看YF

(y)FX

(x)XY分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数转化为一维时的情形F

(

x,

y)

=

P{

X

£

x,Y

£

y}

,

F

(

x)

=

P{

X

£

x},问题:已知(X

,Y

)的分布,如何确定X

,Y

的分布?P{

X

£

x}

=

P{

X

£

x,Y

<

¥

}

=

F

(

x,

¥

)

=

FX

(

x)(X

,Y

)关于X的边缘分布函数.由联合分布可以确定边缘分布定义

设

F

(

x,

y)

为随机变量

(

X

,Y

)

的分布函数

,则

F

(

x,

y)

=

P{

X

£

x,Y

£

y}

.令

y

fi

¥

,

称

P{

X

£

x}

=

P{

X

£

x,Y

<

¥

}

=

F

(

x,

¥

)为随机变量(X

,Y

)关于X的边缘分布函数.记为

FX

(

x)

=

F

(

x,¥

).同理令

x

fi

¥

,FY

(

y)

=

F

(¥

,

y)

=

P{

X

<

¥

,Y

£

y}

=

P{Y

£

y}为随机变量(X,Y

)关于Y

的边缘分布函数.例1：设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

3

2

F

(x，

y)=

A

B

+

arctan

x

C

+

arctan

y

(-

¥

<

x

<

+¥

，

-

¥

<

y

<

+¥

)(2)X和Y的边缘分布函数。

p

p

A

B

+

C

+

2

21

=试求(1)常数A,B,C;解:(1)由分布函数的性质有,F(+∞,+∞)=1;F(x,-∞)=0;F(-∞,y)=0;2

2

p

x

A

B

+

arctan

C

-

0

=2

3

p

y

A

C

+

arctan

B

-

0

=p2,C

=p2,

B

=1p

2

A

=

32

222F

(

x,

y)

=

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

p(-

¥

<

x

<

+¥

，

-

¥

<

y

<

+¥

)(2)

X的边缘分布函数FX(x)=F(x,+∞)3

22

=

lim

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

yfi

+¥

p2

2x

˛

(-

¥

,+¥

)2

=

1

p

+

arctan

x

p

2同理,Y的边缘分布函数FY(y)=F(+∞,y)3

22

=

lim

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

xfi

+¥

p2

2y

˛

(-

¥

,+¥

)

3

=

1

p

+

arctan

y

p

2二、离散型随机变量的边缘分布律xi

£x

j

=1¥定义设二维离散型随机变量

(

X,Y

)的联合分布律为

P{

X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

pij

,

i,

j

=

1,2,

.由于FX

(x)=F

(x,¥

)=

pij

,i

=

1,2,

,¥记

pi

•

=

pij

=

P{

X

=

xi

},j

=1称pi

•(i

=1,2,)为(X,Y

)关于X

的边缘分布律.于是FX

(x)=

pi

•xi

£x同理可得¥FY

(

y)

=

F

(¥

,

y)

=

pijy

j

£

y

i

=1¥j

=

1,2,,记

p•j

=

pij

=

P{Y

=

y

j},i

=1称

p•j

(

j

=

1,2,)

为(

X,Y

)关于Y

的边缘分布律

.于是FY

(y)=

p•jy

j

£

y¥j

=1P

{

X

=

xi

}

=

pij

,

i

=

1,2,

;¥P{Y

=

y

j

}

=

pij

,

j

=

1,2,.i

=1XYx

1x

2x

iy1p

11p

12p

21p

22p

i

1y2p

i

2y

jp

1

jp

2

jp

ij例2

已知下列分布律求其边缘分布律.Y

X0101212424211242642XY042124212124242610pi•

=

P{

X

=

xi

}j1

p

=

P{Y

=

y

}•j解++++477314737均不可能，因而相应的概率均为0再由古典概率计算得：例3

把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设X

,Y分别表示投入第1,2个邮筒内信的数目,求(X

,Y

)的分布律及边缘分布率。解：X

,Y各自的取值为0,1,2由题设，(X

,Y

)取(1,2),(2,1),(2,2)32

329

9P{X

=

0,Y

=

0}

=

1

=

1

P{X

=

0,Y

=1}

=

2

=

232P{X

=

0,Y

=

2}

=

1

=

1329

9P{X

=1,Y

=1}

=

2

=

2P{X

=1,Y

=0},P{X

=2,Y

=0}可由对称性求得所有计算结果列表如下：(X,Y

)关于Y的边缘分布律(X,Y

)关于X的边缘分布律X

和Y的边缘分布律可由(X

,Y

)的分布律确定例4将２只红球和２只白球随机地投入已经编好号的3个盒子中去,设X表示落入第1个盒子内红球的数目，

Y表示落入第2个盒子内白球的数目,求(X

,Y

)的分布律及边缘分布律。34解：不妨分别把2只红球和2只白球看作是有差别的（例如编号），由古典概型计算得

2

2

2

2

1

1

16P{X

=1,Y

=1}

=

=81123类似地计算出下表内的其它结果：比较一下例1的表和例2的表，立即可以发现，两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的。由此可知，由边缘分布并不能唯一地确定联合分布。联合分布 边缘分布称其为随机变量(X

,Y

)关于X

的边缘概率密度.f

(

x,

y)d

y,f

(

x,

y)d

y]d

x,[定义

对于连续型随机变量

(

X

,Y

),

设它的概率密度为

f

(

x,

y),

由于X记

f

(

x)

=XF

(

x)

=

F

(

x,¥

)

=x

¥¥-¥-¥ -¥三、连续型随机变量的边缘分布同理可得Y

的边缘分布函数f

(

x,

y)d

x.f

(

y)

=+¥-¥YY

的边缘概率密度.f

(

x,

y)d

x

d

y,FY

(

y)

=

F

(¥

,

y)

=-¥-¥y

+¥例5：区域D是由抛物线y=x2及直线y=x所围，随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布。试求随机变量x21

x01613

2

1A

=

dx

dy

=

10x

3

x

2

-=于是随机变量(X,Y)的联合密度函数f

(x，

y)=ˇ

D06

(x，

y)˛

D(x，

y)随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布y

=

xy

=

x2Ox(X,Y)的联合密度函数和X,Y的边缘密度函数.y解:

(1)

区域D的面积(1,1)Df(

x,

y

)d

yXf

(

x

)

=+¥-¥Xf

(

x

,

y

)

d

y当0

£

x

£

1

时,+¥-¥f

(

x

)

==xx6

d

y2(2)随机变量X的边缘密度函数为(x，

y)˛

D(x，

y)ˇ

D0f

(x，

y)=

6y

=

xy

=

x2Oxy(1,1)=

6(

x

-

x

2

).当x

<0

或x

>1时,f

(

x,

y

)

d

y

=

0.f

(

x

)

=+¥-¥X6(

x

-

x2

),因而得

f

X

(

x)

=

0

£

x

£

1,其他.0,y

=

xy

=

x2Oxy(1,1)当0

£

y

£

1

时,Yf

(

y

)

=+¥f

(

x

,

y

)

d

x-¥+¥-¥f

(

y)

=Y6(得fY

(y)=y

-y), 0

£

y

£

1,0,

其他.yy=

6

d

x=

6(

y

-

y

).当y

<0

或y>1时,y

=

xy

=

x2Of

(

x,

y

)d

x

=

0.xy

(1,1)(f x，

y

=

0)

6

(x，

y)˛

D(x，

y)ˇ

D虽然(X

,Y

)的联合分布是在G上服从均匀分布,但是它们的边缘分布却不是均匀分布。虽然(X

,Y

)的联合分布是在G上服从均匀分布,但是它们的边缘分布却不是均匀分布。例6：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为xyy

=

x(

)0cxe

0

<

x

<

y

<

+¥

,其它.f

x,

y

=

-

y试求:

(1)常数c

; (2)X与Y的边缘密度函数.解:(1)由密度函数的性质,得

-

y1

=00+¥

ycxe

dxdy02yy2e-cdy

=

c+¥=所以,c

=1.xyy

=

x(2)

当

x

>0

时，0xe

0

<

x

<

y

<

+¥

,其它.f

(x