关于辅助角公式的一个定理及其应用(2019高考)数学考点分类解析

关于辅助角公式的一个定理及其应用定理1设函数，则(1)当且仅当时，；(2)当且仅当时，．证法1因为，所以可设，得(1)(1)当且仅当Z)即时，．(2)当且仅当Z)即时，．证法2因为函数可化成的形式，所以是的最值点是的极值点又因为(同时选“+”或同时选“”)(2)显然，(2)．所以，是的最值点(2)．由此可得欲证．注由恒等式(1)及容易记忆定理．推论1设函数，则(1)当且仅当时，取到最值；(2)当且仅当时，曲线关于直线对称．推论2若函数(定义域是)，则(1)当时，；(2)当时，．推论3若函数(定义域是)，则(1)当时，；(2)当时，．题1(2013年高考全国卷新课标I理科第15题)设当时，函数取得最大值，则．答案解由定理1(1)得．所以函数的值域是，最大值点是，无最小值点．(2)由定理1知当且仅当(但此时Ø)时函数取到最大值；当且仅当(但此时Ø)时函数取到最小值．所以函数没有极值点，即是单调函数，进而可得是减函数，所以其值域是，最大值点是，无最小值点．题7求函数的值域及最值点．解设，得，所以可设，得．设函数．由定理1知当且仅当即时函数取到最大值；由定理1知当且仅当(但此时Ø)函数取到最小值．所以函数的最小值是，进而可得函数的值域是，最大值点是，最小值点是．题8(同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷第9题)试利用三角函数求函数求函数的最大值与最小值．解可设，得．由定理1知当且仅当即时函数取到最大值；由定理1知当且仅当即时函数取到最小值．题9(2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2eq\r(5)时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.eq\r(5)D．2答案B解由题设，得.可设，所以还可设.由，可得.求的最小值即求的最小值，即求正数的最大值．由定理1(1)知，当且仅当时，R)取最大值.所以当且仅当时，取最大值，即的最小值是2．所以当且仅当时，a2＋b2取最小值4．注用柯西不等式求解题9最快．题10(1)(2014年高考辽宁卷理科第16题)对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为．(2)(2014年高考辽宁卷文科第16题)对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为．答案(1)(2)解(1)可得，所以可设即，得.由定理1得，当且仅当(两者的正负号一致，下同)即时最大，进而可求得答案．(2)同上可求．题11(2014年高考山东卷理科第15题)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝eq\r(4－x2)关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．答案(2eq\r(10)，＋∞)解可得题意即恒成立．因为，所以可设，得恒成立．由推论3(1)知，当且仅当时，．所以所求b的取值范围是(2eq\r(10)，＋∞)．用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题高考题(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A.B.C.D.解法1(数形结合法)D.令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1).由g′(x)>0得x>－eq\f(1,2)，由g′(x)<0得x<－eq\f(1,2)，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数．又函数g(x)在x<eq\f(1,2)时g(x)<0，在x>eq\f(1,2)时g(x)>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y＝ax－a过点(1，0)．若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.结合函数图象可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，得x0只能是0，所以实数a应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）≥0，,f（0）<0，,f（1）≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3e－1＋2a≥0，,－1＋a<0，,e≥0，))解得eq\f(3,2e)≤a<1.即实数a的取值范围是.解法2(分离常数法)D.令后，得题设即关于t的不等式有唯一的整数解.若，由a<1，可得所以题设即关于t的不等式即有唯一的整数解，也即关于t的不等式有唯一的整数解.设，得，所以函数在上是增函数，得最大值为.又，由此可作出函数的图象如图2所示：图2注意到图象过点且，所以由图2可得：当时，满足的整数t有，所以此时不满足题意.当时，满足的整数t只有，所以此时满足题意.得所求a的取值范围是.解法3(排除法)D.当时，不等式f(x)<0即ex(2x－1)<0也即，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1).由g′(x)>0得x>－eq\f(1,2)，由g′(x)<0得x<－eq\f(1,2)，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数．又g′(0)＝1，所以可得曲线在点处的切线为，如图3所示．图3所以当a<1且时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1解方程：(1)；(2)；(3).解(1)容易观察出均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解，所以这两个解就是原方程的所有解.(2)同理，可得原方程的所有解是.(3)容易观察出均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解(因为对于任意的非零实数，和都是原方程的解，所以应当把和理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2解方程.解设函数，易知它是增函数，所以方程至多有一个根(当2在函数的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是.题3已知，求.解由及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：或该方程组即因为关于的一元二次方程最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，……所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解，…….题4(2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列的前项和为，且N*)，其中，求数列的通项公式.解由题设得，所以当确定时，也唯一确定.所以由知，数列是唯一确定的.可以观察出满足题设的所有条件，所以数列是满足题设的唯一数列，得.另解因为①由题设得，再由①知是唯一确定的数列.再同上得.题5(2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列的前项和为，已知，且N*)，其中为常数.(1)求与的值；(2)证明数列为等差数列；解(1).(2)N*)，②所以是唯一确定的数列，也是唯一确定的数列.又由知，若为等差数列，则，于是.容易验证满足②，所以题中的，为等差数.题6已知数列满足，求；解首先，由首项及递推关系知，满足题意的数列是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得，即（k是常数）满足递推关系，再由，得满足题目的所有条件，所以本题的答案就是.题7已知数列满足，求.解易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得是非零常数），即满足递推关系，再由，得满足题目的所有条件，所以本题的答案就是.注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题，若能证明它最多有是确定的正整数)个解，又找出了它的个解，则这个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8(2010·安徽·理·20)设数列中的每一项都不为0.证明为等差数列的充分必要条件是：对任何N*，都有.证明先证必要性.若数列是公差为的等差数列：当时，易得欲证成立.当时，有再证充分性.只需对用数学归纳法证明加强的结论：若恒成立，则成等差数列，且.当时成立：当时，得，所以成等差数列，还可证(因为由可得，而由时成立立知.假设时成立：即成等差数列，且.由时均成立及知，当确定时，数列也是确定的，而由必要性的证明知，由确定的等差数列满足题设，所以由题设及确定的数列就是这个等差数列，即成等差数列，同上还可证，即时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题高考题(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A.B.C.D.解法1(数形结合法)D.令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1).由g′(x)>0得x>－eq\f(1,2)，由g′(x)<0得x<－eq\f(1,2)，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数．又函数g(x)在x<eq\f(1,2)时g(x)<0，在x>eq\f(1,2)时g(x)>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y＝ax－a过点(1，0)．若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.结合函数图象可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，得x0只能是0，所以实数a应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）≥0，,f（0）<0，,f（1）≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3e－1＋2a≥0，,－1＋a<0，,e≥0，))解得eq\f(3,2e)≤a<1.即实数a的取值范围是.解法2(分离常数法)D.令后，得题设即关于t的不等式有唯一的整数解.若，由a<1，可得所以题设即关于t的不等式即有唯一的整数解，也即关于t的不等式有唯一的整数解.设，得，所以函数在上是增函数，得最大值为.又，由此可作出函数的图象如图2所示：图2注意到图象过点