知识讲解-平面直角坐标系中的基本公式

平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系（1） 定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系.要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右.（2） 数轴上的点与实数的对应法则：P<一一对应>实数x.（3） 记法：如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x,记作P（x）.当x〉0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离|OP|=x；当xV0时，点P位于原点左侧，且点P与原点的距离|OP|=-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式（1）定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量.从点A到点B的向量，记作AB.点A、B分别叫做向量^AB的起点、终点.向量的长度：线段AB的长叫做向量AB的长度，记作|AB|.相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量.数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量~AB，这个实数叫做向量AB的坐标或数量.要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB、IABI、AB来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定.（2） 位移向量的和：在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点C，则位移AC叫做位移AB与位移B的和，记作AC=AB+BC.要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点（尾首相接），而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（首尾相连）.（3） 数量和：数轴上任意三点A、B，C，都具有关系AC=AB+BC.要点诠释：这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式.数轴上任意三点.A、B、C都有关系AC=AB+BC，但不一定有|AC|=|AB|+|BC|，它与A、B、C三个点的相对位置有关.（4） 数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB是数轴上的任意一个向量，点A的坐标为七，点B的坐标为x，则AB=x-x.2 2 1一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.用d（A，B）表示A，B两点的距离，可得数轴上两点A，B的距离公式是d（A，B）=IABI=Ix2-\I.要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A(x,y),B(x,y)，贝1 1 2 2两点间的距离为d(A,B)=|AB|=\：''(x-x)2+(y-y)2.2 1 2 1要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解.要点四：中点坐标公式若A(x，y)、B(x，y)，则线段AB的中点M(x，y)的坐标计算公式为x= ，y= -1 1 2 2 2 2要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想.要点五：坐标法通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想.用解析法解决几何问题的基本步骤如下：选择坐标系.坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁.原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零.为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x轴.②对称图形，则取对称轴为X轴或y轴.③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴.④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点.标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系.通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算.【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1.已知A、B、C是数轴上任意三点.若AB=5，CB=3，求AC；证明：AC+CB=AB；若|AB|=5，|CB|=3，求|AC|.【答案】(1)2(2)略(3)2或8【解析】(1)AC=AB+BC=AB-CB=5-3=2.证明：设数轴上A、B、C三点的坐标分别为x、x、x，则AC+CB=(x一x)+(x一x)=x一x=AB，ABC CABCBA故AC+CB=AB.当点C在A、B两点之间时，由下图①可知|AC|=|AB|-|BC|=5-3=2；1~C $™X -JBC~m①②当点C在A、B两点之外时，由上图②可知|AC|=|AB|+|BC|=5+3=8.综上所述，|AC|=2或8.【总结升华】向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB=xB-xA，及|AB|=IxB-xAI=lxA-xBI进行求解.对于(3)要注意点B(或点C)的位置，若不确定应分类讨论.举一反三：【变式1】已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1=a+b，x2=a一b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).【答案】—2b2b21bI21bI【解析】AB=x—x=(a—b)—(a+b)=—2b,BA=x—x=(a+b)—(a—b)=2b,d(A,B)=1顼x「=21b1,d（B,A）=Ix1—x2I=2IbI.【变式2】关于位移向量，下列说法正确的是 （）数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量两个相等的向量的起点可以不同每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量AB的大小是数轴上A、B两点到原点距离之差的绝对值【答案】B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。 IABI=IxB-XAI，不一定为IABI=IIxI-1xII.故选B.【变式3】化简AB—AC—BC等于 （）A.2BC B.零位移C.—2BC D.2AC【答案】C【解析】・.・AB=AC+CB=AC—BC,...AB—AC—BC=（AC—BC）—AC—BC=—2BC，故选C.【总结升华】巧用公式AC=AB+BC.IACIIADI4例2.已知A、B是直线l上的定点，C点在线段AB上，D点在AB的延长线上，且AB=6,- = =-ICBIIDBI3求向量DC的坐标.…4【答案】一20]【解析】如图，以l为数轴，不妨令A为坐标原点，点B在数轴上的坐标为6,设C、D在数轴上的坐标分别为x1、x2-0（A） 1IACIACx4 24IADIADx4由图可得—===—1—=—，解得x=—-又^——>= =—2—=—，解得xICBICB6—xi3i7IDBIBDx2—634向量DC的坐标DC=x—x=—20].类型二：两点间的距离公式及中点坐标公式例3.已知点A(-3,4),B(2,指)，在x轴上找一点P,使得|PA|=|PB|,并求出|PA|的值.【思路点拨】本题利用x轴上点的坐标特点，利用两点间的距离公式解题。【解析】设P(x,0),则有IPAI=<(x+3)2+(0—4)2=32+6x+25；IPBI=U(x-2)2+(0—、③2=、：x2-4x+7.由|PA|=|PB|,可得\;，x2+6x+25=\x2一4x+7,9 (9一、 2^109解得x=一云，从而得P一三,0，且1PA1=—-—.5 V5J 5【总结升华】寻找题中的关系，并利用关系求解是关键.举一反三：【变式1】已知点A(-1,2),B(2J7)，在x轴上求一点P,使|PA|=\PB。【答案】P的坐标为(1,0)例4.已知菱形的三个顶点分别是A(a,b),B(-b,a),O(0,0),求它的第四个顶点C的坐标.【答案】(a-b,a+b)【解析】...|OA|=|OB|=^a2+b2,|AB|=((a+b)2+(b—a)2=、:'2(a2+b2),|AB21OA|，且|AB21OB|.・.・A、B为两相对顶点.yO+y

02x=a一b,y=a+b,・.・顶点C的坐标为(a-b,a+b).【总结升华】弄清概念，记准公式，培养思维的缜密性.举一反三：【变式1】平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶点D的坐标。【答案】(1,5)例5.已知^ABC的顶点分别为A(-a,0),B(a,0),C(0,*a).求证：^ABC是等边三角形；求这个三角形的中线长.【思路点拨】(1)已知三角形三顶点坐标，利用两点间的距离公式求出三边长即可证明。(2)利用中点坐标公式，求出三边中点的坐标，利用两点间的距离公式可求得中线长。【答案】(1)略(2)(3|a|【解析】(1)证明：|AB|=&a+a)2+(0-0)2=2|a|，|BC|=\：'(0—a)2+(<3a—0)2=2|a|，

ICAl=.；(-a-0)2+(0-3a)2=21aI.|ab|=|bc|=|ca|・•・AABC是等边三角形.⑵由⑴知AABC是等边三角形，...它的三条中线长相等.・.・线段AB的中点坐标是(-a±a,0]=(0,0),V2 )即线段AB的中点为坐标原点O,又点C的坐标为（0,v'3a）,线段OC是^ABC的一条中线，它的长为IOCI=*IaI,故这个三角形的三条中线长均为际IaI.【总结升华】（1）此三角形的顶点都是特殊点，点A、B在x轴上，点C在y轴上，遇到这类题目要特别注意审题，画出草图，切忌盲目计算.本题若取BC边的中点，计算BC边上中线的长，不仅增加了计算量，而且容易出错.此题意图在于训练审题和计算技巧.（2）已知平面内三点，判断三点位置关系的方法：第一步求出三点两两确定的线段长度，第二步由三角形两边之和大于第三边作出判断.举一反三：【变式1】已知三角形的顶点分别为A（1,-1）,B（-1,3）,C（3,0）.（1） 求证：^ABC是直角三角形.（2） 求^ABC的面积.【解析】（1）证明：・.・IABI=侦（-1-1）2+[3-（-1）]2=侦而=2（5,IAC顷3-1）2+[0-（-1）2=、■,5,IBCI=、：'[3-（-1）2+（0-3）2=壬=5,.・.IABI2+1ACI2=IBCI2,・.・AABC是以A为直角顶点的直角三角形.（2）・由（1）知/A为直角，・・・AABC的面积S=^IABMACI=1x2（5x、p5=5.2 2【总结升华】先求出每两个点间的距离，再用勾股定理验证即可.根据两条直角边的长度，利用三角形的面积公式可以求出面积.例6.求函数f(x)=M2-12+37+Jx2-4x+13的最小值.【答案】4还【解析】・.Ex2—12x+27=\：''(x-6)2+1, {)\x2-4x+13=((x-2)2+9・•・如图所示，可设A(6,1)、B(2,3)、P(x,0),则f(x)=IPAI+IPBI.要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P,使|PA|+|PB|最小.设B关于x轴的对称点为B'，则B'(2，-3).・•・IABfI=寸(2—6)2+(—3—1)2=4技，..・当B'、p、A三点共线时取等号，即|PA|+|PB|的最小值为4克，也就是f(x)的最小值为4拦.【总结升华】(1)涉及无理式，尤其是含平方根的形式，可以通过构造两点间的距离公式求解；(2)在解决此类问题时常常用到对称的思想.举一反三：【变式1】求函数J=3+4+3—2x+2的最小值.【答案】近0【解析】原函数化为y=((x-0)2+(0-2)2+v'(x-1)2+(0+1)2.设A(0，2)，B(1，-1)，P(x，0)，借助几何图形可知它表示x轴上的动点P到两个定点，A、B的距离的和.当A、P、B三点共线时，函数取得最小值..•・y.=IABI=J(0-1)2+(2+1)2=面.例7.已知一个函数与函数y=—X2—2x+3的图象关于点M(2，1)成中心对称，求这个函数的解析式.【思路点拨】设出所求函数图象上任意一点的坐标，然后利用中点坐标公式求出这个点关于M点的对称点，这个对称点一定在已知曲线上，把对称点的坐标代入已知函数的解析式即可得。【答案】y=x2—10x+23【解析】设A(x.y)是所求函数图象上任意一点，,/两函数的图象关于点M成中心对称，.•・点A关于点M的对称点B(x0，y0)一定在函数y=—x2—2x+3的图象上．,/线段AB的中点是M，x=4一x，0y0=2-y-而点B(x0，y0)在函数y=—x2—2x+3的图象上，即y=—x2—2x+3.2—y=—(4—x)2—2(4—x)+3，即y=x2—10x+23为所求函数的解析式.【总结升华】本题中点A、B都是动点，且分别位于两条不同的曲线上，它们由对称相联系.解题的过程是用点A的坐标表示点B的坐标，然后由点B在已知函数的图象上，代入点B的坐标，从而得到点A的坐标满足的函数关系式.举一反三：【变式1】点P(2,-1)关于点(3,4)的对称点的坐标是()A. (1, 5) B. (4, 9)C. (5. 3) D. (9, 4)【答案】Bx+2 y+(―1)【解析】设所求的点的坐标为(x,y),由二一=3，，；/=4，得x=4,y=9.故选B.【总结升华】一般地，点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a—x,2b—y).0 0 0 0类型三：坐标