常系数高阶齐次线性微分方程教学课件

常系数高阶齐次线性微分方程56、极端的法规，就是极端的不公。——西塞罗57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。——毕达哥拉斯58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。——格老秀斯59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。——洛克60、人民的幸福是至高无个的法。——西塞罗常系数高阶齐次线性微分方程常系数高阶齐次线性微分方程56、极端的法规，就是极端的不公。——西塞罗57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。——毕达哥拉斯58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。——格老秀斯59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。——洛克60、人民的幸福是至高无个的法。——西塞罗高阶常系数齐次线性方程、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法三、n阶常系数齐次线性方程解法、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式y+Py"1+…+Pnuy'+Pny=∫(x)二阶常系数齐次线性方程的标准形式y+py+qy=0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y+py+gy=f(r)我在农村中学任教初中数学课20年，长期的教学实践中，通过问卷调查，我发现现在大多数学生认为数学课枯燥、乏味，于是在课堂上出现了学生无精打采、昏昏欲睡、厌学的局面。如何改变这种教学局面，提高教学质量呢？我认为应该端正教学思想，贯彻新课程理念，从实际出发，大胆改革，探究新方法，从而增强初中数学课的趣味性，提高教学质量。20年来，我一直在进行积极的思考，并在教学实践中开展了有益的探索，形成自己独特的教学方式，不仅增强了数学课的趣味，也大大提高了数学课的教学质量。下面将我的做法总结如下。一、创设情境，以境致情，激发学生学习兴趣现代课堂教学可采用多种手段创设情境，让学生在此情此境下受到感染熏陶，以境来达到入情的目的。一个有活力的数学课堂，对学生具有更强的吸引力和亲和力。在数学课堂教学中，教师可以创设合作学习的情境，让学生产生合作愿望，这不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以培养学生强烈的竞争意识。好的课堂引入，能调动学生的求知欲望、主动发现、积极探索、举一反三、承上启下，在学习新知识的同时，也培养学生的科学发现精神、逻辑推理能力和曲径探幽的意境，从而使学生智力和非智力因素得到最充分的开发。例如，在讲授“全等三角形”这一课程时，我设计的是如下情境。教师：有一天，小明在打篮球时，不小心把教室的窗户玻璃打破了一角，形状近似一个三角形，那么打下的玻璃与窗户上留的缺口有什么特点？掉下来的三角形玻璃与窗户缺口的形状、大小之间分别有什么关系？学生1：窗户上留的缺口应该是一个三角形，它与掉下来的三角形玻璃的形状、大小是相同的。教师：我们能否帮助小明把掉下来的玻璃放回去，且刚好填补缺口？学生2：只要把掉下来的玻璃按相同的方向放回去就可以了。学生3：这很简单！像拼图一样。教师（赞许地）：说得真形象。如果把形状、大小都相同的两个图形叠放在一起，会有什么结果？学生（齐声）：重合。教师：我们就把能完全重合的两个图形叫做全等形。在全等形中，三角形是最简单的一种，今天我们就一起来研究全等三角形。二、开放课堂空间，提高学生的参与度，活跃课堂氛围多年来，旧的教学方法一直有种习惯，教师讲，学生听。教师讲得眉飞色舞，学生却听得昏昏欲睡，课堂效率不高。其实，在课堂教学中，学生不仅仅是学习活动的接受者，而且还是学习活动的参与者、创造者。因而，要多元化地提高学生的课堂参与度，确定好课堂教学中学生的主体地位。在课堂教学上，教师可以结合教材内容开展一些活动，鼓励学生积极参与，减少学生的束缚感，给他们营造一个自由的良好氛围，这样也有助于他们对教材内容的理解。如在用公式法解一元二次方程一课的教学中，练习完成后我让学生谈学习的体会。有个学生就说：“既然公式法是由配方法而得的，而且适合所有的一元二次方程，再说配方法解方程很麻烦，容易错，那么配方法就不重要了，可以不再用它解方程了。”其他学生马上都表示有同感，议论起来。这是在我意料之外的，我没有针对性地给予回答，而是干脆让学生展开讨论，先讨论配方法到底重不重要，再讨论哪些方程用配方法解简单。经过积极认真的讨论，他们认为配方法是重要的，没有配方法就没有公式法。这一及时的讨论不仅使学生体会了配方法的价值，又增强了解题的灵活性。三、借助多媒体，创设趣味教学课堂传统的数学教学中，都是教师在起主导作用，主要强调接受和掌握，限制了学生的学习热情和创新思维。在现代多媒体技术运用十分广泛的今天，应借助多媒体创设良好的教学环境，打造趣味教学课堂，使教学达到高效率。例如教学《数据的收集与整理》时，我以“五一假期旅游”为活动背景，让学生分组研究“五一假期旅游”的行程。首先，让学生分小组登录互联网，查阅各旅游区和各大旅行社信息，了解相关的费用、时间及行程等。其次，将搜集到的资料汇集到一起，制成统计表。然后，通过小组讨论交流，根据自己的家庭经济承受能力、旅游行程及时间，选择最佳的旅游路线，决定乘坐何种交通工具去，并且说明理由。最后，由小组组长汇报，师生评议，评选出最佳统计表和最佳旅游线路，并在全班发布。把教学与学生的真实生活联系起来，同时让学生在“做”中学习学科知识，学习信息技术，学习做事，掌握解决实际问题的方法和途径。由此可见丰富的信息资源，开阔了视野，激活了思维，增强了想象，从而培养了学生的创新精神，改变了学生的学习方式，让学生乐意并有更多的精力投入现实的探索性数学活动中。四、精心设计问题，创设趣味教学课堂在课堂教学中，教师应创设一个探索性的学习情境，引导学生从多种角度、各个侧面、不同方向去思考问题，以激发学生的学习兴趣，变“要我学”为“我要学”。精心设置问题的坡度，使学生步步深入并探究出规律。如在解决某一个具体数学问题时，教师可以分层次地设问，把一个大问题分解成若干个小问题。一来可以使学生注意力集中，二来可以活跃课堂气氛，振作精神，使难题的解决变得容易。譬如我在讲授“不在同一直线上的三点确定一个圆”时，逐步提出如下问题。①过一点可以画多少个圆？为什么？②过两点可以画多少个圆？这些圆的圆心位置有什么规律？为什么？③过不在同一条直线上的三点A，B，C画圆，这样的圆要经过A，B，圆心应在哪里？这样的圆要经过B，C，圆心又应在哪里？同时要经过点A，B，C，圆心应该在哪里？④这样的圆可以画多少个？随着这些问题的逐一提出，学生就会边动脑，边动手，逐步使问题得到解决，从而使学习兴趣大大提高。五、反思解题策略，优化解题思路数学解题总是会使用某些解题策略，解题策略的选择与运用对于解题过程的繁简起着决定性的作用。解题结束后对解题策略进行反思，多角度思考问题，探索是否还有其他解法，通过对不同解题策略的比较，及时总结解题技巧，增强解题过程中对解题思路的调整意识和能力，从而达到优化解题思路的目的。通过对解题策略进行反思，能够让学生对不同的解题策略进行对比分析，作出合情合理的选择，优化解题思路，从而增强学生对解题过程中监控的意识和能力。教学中恰当地使用一题多解培养学生的非智力因素和智力因素，使学生更深刻地理解课本知识、熟练地掌握相应的解题方法和技巧，进而启迪思维，开发智力，提高学习兴趣。例如平面几何中证明三角形内角和为180°的方法就有如下6种之多，6种证法有一个共同的思路，就是将三角形的三个内角转化为平角，强调了辅助线的作用。我们认为辅助线起了牵线搭桥的作用。适当的讲解会使学生感到奇妙的解法既在意料之外，又在情理之中，从而兴趣倍增，让学生始终乐于学习。我发现灵活的教学方法更能调动学生的学习积极性，让学生更喜欢数学课。课堂教学是数学课程教学的基本形式，随着新课程改革的实施，初中数学课堂教学发生变革。教师在教育教学过程中，要坚持新课改教学理念，转变传统的教学模式，充分发挥学生学习的主体性，并积极创设趣味教学课堂，充分挖掘课程教学资源，不断提高学生学习的兴趣，激活课堂教学，提高数学课堂教学的时效性，从而提高初中数学教学质量。人格是一个人在一定社会中的地位和作用的统一，是人的尊严、价值、品格的总和，是人的性情、气质、能力等特征的总和。人格所包含的内容十分丰富，大到一个人的人生观、价值观，中到一个人的能力、道德，小到一个人的个性、习惯，无所不包。其中无论哪一点对人都有着十分重要的影响。培养学生优良的人格是素质教育的要求，是高中历史重要的教学目标。我们在高中历史教学中，如何培养高中生的优良人格呢？一、分析历史人物的爱国情怀，帮助学生树立正确的国家观任何一个公民只有对自己的祖国充满信心、充满自豪，才会充满感情，才会愿意为祖国奉献自己的力量。我们必须把爱国主义教育渗透到各个教学环节，帮助学生形成正确的国家观，而利用历史名人的爱国故事影响学生是一条有效的途径。例如，讲到林则徐这位历史人物时，要求学生从林则徐所处的时代背景、立场等方面，让学生分析林则徐的爱国情怀。19世纪三四十年代，封建制度衰落，中国开始沦为半殖民地半封建社会，此时振兴祖国是爱国主义的主题。林则徐对国家的贡献是：领导禁烟运动，引导人民挣脱枷锁，启迪人民重新认识世界，探索救国之路，是中华民族伟大的民族英雄。但同时也要帮助学生认识到林则徐的思想带有鲜明的时代特征，他做这些的根本目的是维护大清的封建统治，他的思想保留着浓厚的封建“纲常”色彩。二、分析历史人物的巨大成就，帮助学生树立正确的价值观《普通高中历史课程标准》（以下简称《标准》）指出，普通高中历史课程从不同角度揭示人类历史发展的基本过程，通过重大历史事件、人物、现象展示人类发展进程中丰富的历史文化遗产。这些文化遗产大多是历史名人留下来的宝贵财富，是他们巨大的历史成就。评价历史人物时，我们要抓住历史人物对社会产生的贡献，认识历史人物的巨大成就，分析历史人物是怎样把自己和当时的社会结合在一起的。例如，教学“历史上重大改革回眸”时，从表面上看，这部分内容属事件史范畴，但是在学生学习的9次改革中，有5次是以历史人物命名的，如梭伦改革、商鞅变法、北魏孝文帝改革等。欧洲宗教改革和中国“戊戌变法”虽未以人物命名，但是突出了马丁-路德在欧洲宗教改革中的作用，康有为和梁启超在“戊戌变法”中的作用。在俄国1861年废除农奴制的改革中，还涉及对沙皇亚历山大二世的评价，这个模块实际上是对中外历史上的著名改革家的巨大成就进行集中评说。分析这些历史名人对社会的贡献，让学生深刻认识人的价值在于选择正确的价值观，在于为自己正确的价值观持之以恒、锲而不舍的追求，在于创造价值，在于实现自己的人生价值。《普通高中历史课程标准》强调：在人类历史发展中，涌现出一大批重要历史人物。他们是特定时代的产物，并以其各自的个性和活动，从不同的侧面有力地影响了人类历史的发展进程。了解这些历史人物及其主要活动，探讨他们与时代的相互关系，科学地评价其在历史上的作用，是历史学习的一个重要内容，也是现代公民必备的人文素质之一。历史背景是历史人物活动的大舞台。历史人物的活动，可能会受众多条件的制约。只有把历史人物放在当地、当时的特定环境中去评价，这样的评价才会比较客观。我们要评价一个人物，就要搜集和掌握一些课本外的资料或者素材，这样我们在评价时才能有史有论、史论结合。评价人物时，既要坚持唯物论，又要坚持辩证法；既要看到“时势造英雄”，又要看到成就英雄人物必须有个人的努力；既要看到同一时代的英雄有其共性，又要看到他们不同的个性。我们要注意辨析、取精去粕，要学习这些人物为民族而奋斗的品质。《标准》强调，要学习改革家坚强不屈的意志，增强对社会的历史责任感，进一步认识我国改革开放的伟大意义；还强调从杰出人物的言行中汲取历史智慧和人生经验，进而确立历史使命感和社会责任感。在高中历史教学中，教师通过分析历史人物来潜移默化地影响学生，是培养学生优良人格的一条有效途径。高阶常系数齐次线性方程、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法三、n阶常系数齐次线性方程解法、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式y+Py"1+…+Pnuy'+Pny=∫(x)二阶常系数齐次线性方程的标准形式y+py+qy=0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y+py+gy=f(r)n阶常系数线性微分方程的标准形式(n)+p,y+…+pny+pny=f(x)(1)阶常系数齐次线性微分方程的标准形式y"+p1y-)+…+pn1y+pny=0(2)由(2)的项的特点及y=e"的特点:(e)")=r"e,e"是(2)的解分re+pre++pure+pe=0分r"+p1"+…+Pn-1r+P(3)即:r为特征根。(2)的特征方程、二阶常系数齐次线性方程解法y+py+gy=0特征方程法设y=e",将其代入上方程,得(r2+pr+q)e"=0∵e"≠0,故有r2+p+q=0—特征方程特征根r,==土vD-4q1.有两个不相等的实根(△>0)特征根为r1=p+√p2-4q2≈=两个线性无关的特解r2r得齐次方程的通解为y=C1e"+C2e;2.有两个相等的实根(△=0)特征根为r1=r2一特解为y1=e2设另一特解为y2=n(x)e,将y2,y2,y"代入原方程并化简,u"+(2