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文档简介

如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都于D，则称D为单连通区域；否则称为复连通区域。复连通区域单连通区域DD1、单连通区域和复连通区域封闭曲线L的正向:当观察者沿曲线L行走时，L所围区域D总在此人左边。一.格林公式解例解例例解解例二.平面上曲线积分与路径无关的条件用格林公式导出的四个等价结论证明用格林公式导出的四个等价结论

解

这里P2xy

Qx2

选择从O(00)到A(10)再到B(11)的折线作为积分路线例例解法一例解法二例解法三问：三.原函数与全微分方程表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分

那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？二元函数u(xy)的全微分为du(xy)=ux(xy)dxuy(xy)dy

原函数如果函数u(x

y)满足du(x

y)=P(x

y)dxQ(x

y)dy则函数u(x

y)称为P(x

y)dxQ(x

y)dy的原函数.定理设函数P(x

y)及Q(x

y)在单连通开区域G内具有一阶连续偏导数则P(x

y)dxQ(x

y)dy在G内为某一函数u(x

y)的全微分在G内恒成立

的充分必要条件是等式求原函数的公式

验证在整个xOy面内

xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

这里Pxy2

Qx2y

解

因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有所以在整个xOy面内

xy2dxx2ydy是某个函数的全微分

取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(x

y)的折线则所求函数为例例

解

这里因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有是某个函数的全微分

取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(x

y)的折线则所求函数为例半平面内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数

验证:22yxydxxdy+-在右

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