湖南省衡阳市县高碧中学高二数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市县高碧中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线C：y=ex同曲线C在x=0处的切线及直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．e+1 B．e﹣1 C．e2﹣1 D．e2﹣5参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程，分别作出曲线和切线及x=2，得到封闭图形．再由定积分（ex﹣x﹣1）dx，计算即可得到所求面积．【解答】解：y=ex的导数为y′=ex，可得在x=0处的切线斜率为k=1，切点为（0，1），可得切线的方程为y=x+1，分别作出曲线和切线及x=2，得到如图的封闭图形．则封闭图形的面积为（ex﹣x﹣1）dx=（ex﹣x2﹣x）|=（e2﹣2﹣2）﹣（e0﹣0﹣0）=e2﹣5．故选：D．2.已知物体运动的方程是（的单位：；的单位：），则该物体在

时的瞬时速度为（

）A.2

B.1

C.0

D.3

参考答案：C略3.三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为（

）A．1 B．－1 C． D．－参考答案：C4.一束光线从点A(-1，1)出发经X轴反射到圆C：上的最短路程是

（

）A.4

B.5

C.

D.

参考答案：A略5.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的半径是（）cm.Ａ．1

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．2参考答案：C6.已知三次函数f（x）=x3+ax2+7ax在（﹣∞，+∞）是增函数，则a的取值范围是（）A．0≤a≤21 B．a=0或a=7 C．a＜0或a＞21 D．a=0或a=21参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后根据f'（x）≥0在R上恒成立，即可得到答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+7a，若f（x）在R递增，则f′（x）≥0恒成立，即△=4a2﹣84a≤0，解得：0≤a≤21，故选：A．7.已知直线L1：2x－y＋3=0和直线L2：x－y＋2=0，若L2上任意一点到L1的距离与它到L的距离相等，则直线L的方程是

（

）A．x－2y＋3=0

B.x－2y－3=0C.x＋2y－1=0

D.y－1=(x＋1)

参考答案：A8.已知等比数列中，，，则前4项的和＝（

）。A.20

B.﹣20

C.30

D.﹣30参考答案：C9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D10.双曲线上一点，、为双曲线左、右焦点，已知，则=（）A．2B．4C．或22D．4或20参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.参考答案：12.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为

辆。参考答案：3813.已知，，则

参考答案：401814.对于函数，在使恒成立的所有常数M中，我们把其中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的“下确界”为

.参考答案：15.(1)下面算法的功能是

。(2)下列算法输出的结果是（写式子）

(3）下图为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为

参考答案：(1)统计x1到x10十个数据中负数的个数。(2)(3）i>20

16.椭圆的离心率为，则实数的值为__________．参考答案：或略17.已知正实数,满足，则的最小值为

▲

．参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标（0，1），求得a和b的关系，由C1与C2的公共点的坐标为（±，），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得，可知O恒在为AB直径的圆内，故不存在实数k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为（0，1）．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2﹣b2=1．①又C1与C2的公共弦的长为，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以．②联立①，②得a2=9，b2=8．故C2的方程为．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程，整理得（9+8k2）x2+16k2x+8k2﹣72=0．设A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），于是有x1+x2=，x1x2=．因为，?=x1x2+（kx1+k）（kx2+k）==．所以．可知O恒在为AB直径的圆内．∴不存在实数k，使O在以AB为直径的圆外．19.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)求△PAD以PA所在的直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积．参考答案：略20.已知不等式3x＜2+ax2的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x不等式：ax2﹣（ac+b）x+bc≥0．参考答案：（1）把不等式化为一般形式，根据不等式对应方程的实数根，求出a、b的值；（2）由a、b的值，把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化为x2﹣（c+2）x+2c≥0，讨论c的值，求出对应不等式的解集．解答：解：（1）不等式3x＜2+ax2的可化为：ax2﹣3x+2＞0，且不等式对应方程的两个实数根为1和b，由根与系数的关系，得a=1，b=2；（2）由a=1，b=2得，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化为x2﹣（c+2）x+2c≥0，即（x﹣c）（x﹣2）≥0，当c=2时，不等式为（x﹣2）2≥0，解得x∈R，当c＞2时，解不等式得x≤2或x≥c，当c＜2时，解不等式得x≤c或x≥2；综上，c＜2时，不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}，c=2时，不等式的解集为R，c＞2时，不等式的解集是{c|x≤2或x≥c}．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．分析：（1）把不等式化为一般形式，根据不等式对应方程的实数根，求出a、b的值；（2）由a、b的值，把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化为x2﹣（c+2）x+2c≥0，讨论c的值，求出对应不等式的解集．解答：解：（1）不等式3x＜2+ax2的可化为：ax2﹣3x+2＞0，且不等式对应方程的两个实数根为1和b，由根与系数的关系，得a=1，b=2；（2）由a=1，b=2得，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化为x2﹣（c+2）x+2c≥0，即（x﹣c）（x﹣2）≥0，当c=2时，不等式为（x﹣2）2≥0，解得x∈R，当c＞2时，解不等式得x≤2或x≥c，当c＜2时，解不等式得x≤c或x≥2；综上，c＜2时，不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}，c=2时，不等式的解集为R，c＞2时，不等式的解集是{c|x≤2或x≥c}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．21.(本小题满分12分)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.求抽取的3名志愿者中恰有2名年龄低于35岁的概率.参考答案：（1）150；（2）.（1）∵小矩形的面积等于频率，∴除外的频率和为0.70.∴故在500名志愿者中，年龄在岁的人数为

…………6分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中“年龄低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名.∴抽取的3名志愿者中恰有2名年龄低于35岁的概率为

…………12分22.（本小题满分14分）

如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为。

（1）写出体积V关于的函数关