2023年广东省高考数学解答题专项复习：数列（含答案解析）

2023年广东省高考数学解答题专项复习：数列

1.已知数列｛斯｝的前"项和&=/+”,等比数列｛瓦｝的公比夕>1,且左+加+65=28,L+2

是加，儿的等差中项.

(I)求数列｛飙｝和｛方｝的通项公式;

不为｝的前〃项和T„.

(II)求数列｛与+

2.已知｛斯｝是递增的等差数列，03=5,。4-。2,。8+。1成等比数列.

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

⑵若仇=—,求数列｛d｝的前n项和S”,并证明S„<|.

anan+iL

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3.已知等比数列｛m｝的前〃项和为S,,且小=机，劭+1=知+1("6N*).

(1)求实数加的值和数列｛念｝的通项公式；

(2)设方=["5为俞劲y(neN*),求数列｛氏｝的前2〃项和为”.

｛log2an(n为偶数)

4.设数列｛“〃｝前〃项和为S〃且2m=e=2,等差数列｛为｝满足6=1,历+加=瓦且历S〃+i+b5S〃

_i=b8szi(〃22,〃WN*).

(I)求｛斯｝和｛d｝的通项公式；

(2)求数列｛如儿｝的前〃项和北.

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5.已知等比数列｛斯｝的前〃项和是S〃，且Si=2,02+1是与。3的等差中项.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若数列｛瓦｝满足6”=6+2)•k>g2M求数列｛仇｝的前“项和

6.已知正项等比数列｛析｝中，a\,2a2,<13+6成等差数列,fia^=4a\as.

(1)求数列｛a”｝的通项公式；

(2)若S”是数列｛a,,｝的前〃项和，设b„=,黑1,求数列｛人力的前〃项和T.

3n^n+1n

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7.已知等差数列｛a.｝的前〃项和为S〃，且。2=3,56=36.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若数列也”｝满足6n=a2+；n_2("WN*),求数列｛仇｝的前〃项和T”.

8.已知数列｛。〃｝的首项“1=1,S”为其前〃项和，且S,+1-2S〃="+1.

(1)证明数列｛即+1)是等比数列,并求数列｛“〃｝的通项：

(2)求数列｛〃即｝的前n项和Tn.

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9,已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”。5=15,510=165,公比为q的等比数列｛加｝的前"

项和为T”，且历=9=。1.

(1)求S”Tn；

(2)设Cn=呢,求数列｛Cn｝的前〃项和

10.设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”,已知"8=3。3,。1+及=4.

(1)求数列｛〃"｝的通项公式；

(2)若25”=23+。2"+4,求〃.

第5页共53页

11.已知数列｛a,,｝是各项为正数的等比数列，且♦=4,a3a4a5=212.数列｛与｝是单调递增

的等差数列，且历访3=15,61+64=8,

（1）求数列｛a”｝与数列｛加｝的通项公式;

（2）求数列｛a，,,｝的前〃项和T".

12.设｛a”｝是等差数列，a\--10,且。2+10，。3+8,tu+6成等比数列,

（1）求｛S,｝的通项公式：

（2）记｛m｝的前〃项和为S”求使得成立的〃的取值范围.

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13.设｛“”｝是公比不为1的等比数列，41为&,。3的等差中项.

(1)求｛如｝的公比；

(2)若“1=1,求数列｛“a”｝的前〃项和.

14.已知数列｛斯｝的前"项和为S,满足S3=203-l,0n+I=2%(neN*).

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)记6”=Iog23・即+1),求数列｛为｝的前“项和为T”.

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15.已知等差数列｛〃“｝满足对任意的正整数n有即+斯+i=4〃.

(1)若41=1,求｛。〃｝的通项公式；

(2)设S,为｛%的前"项和，求包=您的前〃项和.

16.已知各项都为正数的等比数列伍"｝,02=32,030405=8.

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

(2)设b〃=log2M2=|加|+|设|+陶+…+|瓦I，求北・

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17.设等差数列S"｝的前"项和为S“53=9,44+45+46=27.

(1)求数列但"｝的通项公式；

(2)若仇=加2,求数列｛儿｝前〃项和7”.

参考公式：12+22+……+〃2=还口烂±12.

O

已知数列｛｝和｛为｝满足•如。”+厂・且幻=设

18.a“a”+1-6“-2a"a”+i=0,1,61=1.an

(1)求数列｛cn｝的通项公式；

(2)若｛念｝是等比数列，且42=3,求数列｛加｝的前〃项和S”.

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19.已知数列｛斯｝的前"项和为S“，且S”="(n+2)(MGN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设bn=翁求数列＜”｝的前n项和Tn.

20.已知数列｛斯｝的前〃项和为S“，且S”=〃2+a“-l.

(1)求｛a,J的通项公式；

(2)设bn=-―^—，求数列｛为｝的前n项和Tn.

an^7i+l

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21.已知公差不为零的等差数列｛。“｝的前〃项和为S”S3=15,且⑶，。3,au成等比数列.

(1)求数列但”｝的通项公式；

(2)设加=〃”•(；)"，试问数列｛方｝是否存在最大项？若存在，求出最大项序号”的值;

若不存在，请说明理由.

22.已知｛z｝为单调递增的等差数列，设其前〃项和为S”,S5=-20,且03,。5+1，。9成等

比数列.

(1)求数列｛△”｝的通项公式；

(2)求S”的最小值及取得最小值时n的值.

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23.已知数列｛斯｝的前"项和为S”且满足a“=〃-S”设瓦

(1)求ai,az，a3;

(2)判断数列｛氏｝是否是等比数列，并说明理由;

(3)求数列｛“”｝的前〃项和S”.

24.已知己为数列｛%的前〃项和,且S"+2a〃=2(»GN+).

(1)求数列｛。”｝的通项公式：

(2)若数列｛加｝满足%=2N(WGN*),求数列｛m｝的前〃项和葛

an

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25.已知等差数列｛所｝的前"项和为S“，$4=16,小=3。2.

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)设及=——,求｛与｝的前2”项的和Tin.

Wn-Un+l

26.设等差数列仞“｝的前〃项和为S“且S5=4S2,ai„^2an-1.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设hn=*1…,求数列｛加｝的前n项和Tn.

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27.已知数列｛斯｝的前"项和为S〃，且满足2Sn=3an-l(n€N*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)设勾=瞥也，T"为数列出“｝的前”项和，求T”的最小值.

an

28.已知等比数列｛〃"｝的前"项和为S",且满足1+53=。4，1+52=03.

(1)求｛4,｝的通项公式救；

2n

(2)记bn=T=bi+b+-+b„,试比较〃与1的大小.

S"Sn+in2

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29.已知数列｛斯｝,<71=4,(〃+1)即+1-拉斯=4(〃+1)(/7GN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若d=即上j,求数列｛儿｝前〃项和为乙.

2

30.己知等差数列｛©,｝的前n项和为S",且Sn=2n+kn+k.

(1)求｛加｝的通项公式;

⑵若“看求数列｛鲂的前〃项和7”.

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31.在各项均不相等的等差数列｛斯｝中,01=1,且成02,。5等比数列，数列在〃｝的前“

项和S,=2"+i-2.

(1)求数列｛斯｝、｛方｝的通项公式;

(2)设C”=2斯+求数列｛cn｝的前〃项和7".

32,已知等差数列｛%｝满足。1+。2=10,04-43=2.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设等比数列｛&"｝满足历=。3，63=07.若b6=ak,求人的值.

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33.已知等差数列｛所｝中，45-02=6,且G，46,。21依次成等比数列.

(1)求数列｛反｝的通项公式;

(2)设勾=」一，数列｛为｝的前“项和为S",若%=余，求”的值.

anan+la

2

34.已知公差不为零的等差数列｛斯｝的前〃项和为%,ai=a^,S6=18.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)求S,的最大值及对应”的大小.

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35.已知数列｛斯｝(〃CN*)是公差不为0的等差数列，。1=1,且42,。4,。8成等比数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

⑵设数列｛合｝的前〃项和为7",求兀

2

36.己知数列｛斯｝的前〃项和为S“Sn=n,数列｛仇｝满足61=2,bn=3bn-i+2(心2).

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)求证:数列｛仇+1｝是等比数列；

(3)设数列｛Cn｝满足Cn=符Y，其前〃项和为T",证明：Tn<\.

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37.已知数列｛斯｝中，ai=l且2所+1=6。"+2〃-1(n£N*).

(1)求证：数列｛册+劣为等比数歹心

(2)求数列｛斯｝的前〃项和S,.

38.已知各项均为正数的等比数列｛如｝满足ai=l,42+。3=12,〃€N*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛5｝的前〃项和

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39.设S”为数列｛。，力的前〃项和，已知。2=3,an+\=2an+\.

(1)证明｛即+1｝为等比数列.

(2)判断〃，an,S是否成等差数列？并说明理由.

40.已知等比数列央”｝满足。2=4,a3a4=128,数列已〃与｝是首项为1公差为1的等差数列.

(1)求数列｛。“｝和2”｝的通项公式；

(2)求数列｛岳｝的前N项和S”.

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41.已知等差数列｛斯｝满足45=4,2。6+〃9=18,等比数列I｛瓦｝的各项均为正数，且历=2,

63+64=4405.

(I)求｛斯｝和出"｝的通项公式;

(II)设7“为数列｛a,,,｝的前〃项和，求满足7；＜2020的最大正整数

42.已知数列｛小｝的前〃项和为S”且2S"=3a“-ai(«GN*),数列｛加｝满足历=4,b„=

2S,,+nan+\(〃6N*).

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)求｛d｝的前〃项和T,,.

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43.在正项等比数列｛〃"｝中，已知°1+。3=10，。3+。5=40.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)令6”=log2a”，求数列｛(-I)”?/｝的前100项的和Sioo.

44.已知正项等差数列｛“"｝满足。2+。5=9,〃3"=20,等比数列｛加｝的前〃项和S,满足及=

2n-c,其中c是常数.

(1)求c以及数列｛板｝、｛a｝的通项公式；

(2)设Cn=。，"，求数列｛Cn｝的前〃项和乙.

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45.已知等差数列｛。“｝满足R=4,aii=6.

(1)求通项公式

(2)设等比数列｛d｝满足4=。3，。4=。31,求｛d｝的前"项和

46.已知等比数列｛〃"｝的公比">1,ai=l,且2a2,fl4,3a3成等差数列.

(1)求数列｛而｝的通项公式；

(2)记6”=2〃G”求数列出〃｝的前“项和7”.

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47.已知数列m”｝的前〃项和为S”点（〃，S,）（”6N*）均在二次函数/（x）=》2-2X的

图象上.

（1）求数列｛a”｝的通项公式；

（2）设“=—,求数列｛仇｝的前n项和T,,.

«n«n+l

48.设数列｛斯｝的前"项和为和,Sn=1-an（〃€N*）.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设％=k>g2M求数列｛丁——｝的前"项和

bnbn+l

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49.已知数列｛斯｝中,前〃项和S,满足S尸/+2”，MGN*.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)设包=万力一，求数列｛d｝的前"项和

anan+l

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2

50.已知正项数列满足4S〃=an+2an+1.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设b,,=二一，求数列出〃｝的前n项和T,,.

anan+l

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2023年广东省高考数学解答题专项复习：数列

参考答案与试题解析

1.己知数列｛或｝的前〃项和％=〃2+”，等比数列｛a｝的公比q>l,且加+64+65=28,L+2

是左，加的等差中项.

（I）求数列｛斯｝和｛/>”｝的通项公式;

]

(II)求数列｛b"+｝的前〃项和T„.

斯2T

【解答】解：（I）：Sn=n2+n,二〃2？时，a,,=Sn-Sn.\=2n,

又H=1时，ai=Si=2满足上式,

•.»4+2是历，/的等差中项,

可得63+65=2可4+2),

又等比数列｛瓦｝的公比</>1,且63+64+65=28,

；&=8,人3+加=20,

又：外坛=好=64,q>\,解得历=4,Z>5=16,

1

：.q=2,bn=2"-；

11111

(II)-++W-I=2-4(_

.r(i=(20+21+...+2n-1)+l(1_l+l_l+...+LT)=2n_1+n.

2.已知｛斯｝是递增的等差数列，03=5,m，04-02,。8+。1成等比数列.

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

(2)若b,尸7r求数列出“｝的前〃项和S,”并证明S”〈卷

anan+iL

【解答】解：(1)设数列缶力的公差为d(d>0)

由已知得：I即：；：=5，解得出=；.

(a1(2a1+7a)=(2d)，(d=2

所以。〃=1+2(H-1)=2n-1.

证明：(2)由(1)得：

,_3_3_3,1

n

~anan+1—(2n—l)(2n+l)-2(2n—12n+l)'

311111313

•■•S»=2(1-3+3_5+",+2K=l_^+T)=2(1-2^+T)<2-

3.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”且ai=m,a“+i=S”+l(〃6N*).

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(1)求实数m的值和数列m”｝的通项公式;

a(n为奇数)

(2)设b=n(n6N*),求数列｛瓦｝的前2n项和T2n.

n(九为偶数)

【解答】解：(I)〃2=S|+l=〃l+l=/n+l,

由an+i=Sn^-\得an=Sn-1+1(〃22),

相减可得。〃+1-(〃22)即即+1=2。〃(〃22).

又｛利｝是等比数列，则公比q=2,

贝lj〃2=2〃I即阳+1=2加，可得〃?=1,

n

故0n=2T(nWN*).

小也为奇物，得%=[2f为奇麴”N*)

(2)由九=

log2an(n为偶数](n-1(n为偶数)

则为〃=(61+63+65+…+历〃一1)+(历+加+加+…+历〃)

=(20+22+24+-+22M-2)+[1+3+5+…+(2H-1)]

1—4日1

=j二4--F2〃(1+2〃-1)

=等+R

4.设数列｛念｝前N项和为S”且2al=42=2,等差数列｛6"｝满足bl=1,历+加=。8且b2S"+i+65S”

.\-bsSn(〃》2,”6N*).

(1)求｛斯｝和｛加｝的通项公式；

(2)求数列｛斯如｝的前〃项和T".

【解答】解:(1)设公差为d的等差数列｛仇｝满足61=1,b2+b5=b8,

贝ijb\+d+b\+4d=b\+7d,解得d=

11

所以%=1+讶(九-1)=1(九+1),

数列｛〃〃｝前n项和为S,且2m=〃2=2,且历S〃+i+加1=瓦孔,

39

~s+3--S

2n+12n

(Sn+1-S?)=3(S”--1),〃22,

即Sn+]Sn=2(5/7-S〃-1),

即Q〃+]=2Q〃，〃22,

*/2a\=a2=2,

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数列｛检｝是以1为首项，2为公比的等比数列,

n

：.an=2'\

1

nln2

(2)anbn=1(n+D2=(M+1)2',

2

：.Tn^2X2i+3X2°+4X21+•••+(«+l)2"',①，

27:^2X20+3X2'+4X22+-+(n+1)2nl,②，

-7；,=l+20+21+224--+2n-2-(n+1)2"-1=[+5手-(n+l)2,rl=-nX2n'',

：.T„=nX2"''.

5.已知等比数列｛a'｝的前〃项和是S”且Si=2，02+l是m与。3的等差中项.

（1）求数列｛“”｝的通项公式；

（2）若数列｛加｝满足仇=（S“+2）•log2a”,求数列入”｝的前〃项和北.

【解答】解：（1）等比数列｛〃”｝的公比设为夕，51=2,即ai=2,

。2+1是与。3的等差中项，可得。1+。3=2（02+1），

即2+2/=2⑵+1）,解得q=2（0舍去），

则。"=2・2"-1=2",〃€N*；

（2）Sn=2（；多）=2"+1-2,

,,+1n,,+1

b"=（Sn+2）•log2a„=2•log22=n•2,

234n+1

的前n项和Tn^I•2+2•2+3•2+•­•+n•2,

27；=1*23+2•24+3•25+-+n«2”+2,

两式相减可得-r„=22+23+24+-+2w+1-n«2w+2

=年岁_〃.2吗

化为T“=(/?-1)•2n+2+4.

6.已知正项等比数列｛a”｝中，a\,2a2,43+6成等差数列，且小二的怨.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

（2）若S”是数列｛所｝的前〃项和，设b„=（唾，求数列｛b｝的前〃项和T.

°n^n+1nn

【解答】解：（1）设公比为q的正项等比数列｛如｝中，ai，2a2,内+6成等差数列，且的?

=4〃1。5.

2

|5fi：rj[f4a1q=a1+a1<7+6

((%q3)2=4al(a])，解得〃1=夕=2,

所以斯=。也九一1=2n.

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n+1

（2）由⑴得:Sn=2-2.

所以港h—5+1一______2"+l______]_______]

历以我。"一5n5n+1-（2«+1-2）（2"+2-2）-2H1一22^2-2-

所以7_____1_,_____1_,_______11____

34n+1n+2n+2

M—22_223—2+2-22-2+2-22-2-22-2

7.已知等差数列｛或｝的前〃项和为S”且。2=3,56=36.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；

（2）若数列｛加｝满足仇=滔熹与（〃6N*）,求数列｛瓦｝的前〃项和7,,.

【解答】解：（1）设公差为d的等差数列｛〃“｝的前〃项和为S”首项为且及=3,S6

=36.

%+d=3

所以_,6x5a_“，解得

%c=6r。1+-2"""d=36va=2

整理得〃〃=1+2(；7-1)=2n-1

（2）由（1）得：

数列处仆满足包=厮2+\-2（〃€N*）=（2nT）；2n+l）斗白-焉），

则7"=表1一号+号—+…焉）=京■■焉

8.已知数列｛斯｝的首项ai=l,S”为其前“项和，且S.+1-2S“=〃+1.

（1）证明数列｛斯+1｝是等比数列，并求数列｛斯｝的通项：

（2）求数歹的前〃项和

【解答】解：（I）证明：由S,+L2S"=N+1,知S"-2S"J=〃（〃22）.

/.Cln+\=Sn+\~Sn=(2S〃+〃+1)-S〃=S〃+〃+1=(2Sn.1+/7)+〃+1=2S〃.I+2〃+1,

==S〃-Sn.1=(2Sn-]+〃)-Sn-1=S〃.l+〃(H，2),

，当n=2时,有O2=Si+2=ai+2=1+2=3,

.而+1+1(2S九—i+2zi+l)+l

=2(〃22),为常数,

Qn+1(5九-1+几)+1

Q2+I3+1

当n=时，-^—r=-=2.符合上式,

ai+l1+1

故数列｛析+1｝是首项为2,公比为2的等比数列,

nln

：.an+l=2'2=2,

:.数列｛词的通项公式为斯=2"-1(〃6N*).

(2)由(1)知，na„=n(2H-1)=n'2n-n.

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设数列｛1・2"｝的前n项和为H,„

=1•21+2•22+3•23+.......+〃•2",

2HH=1•22+2•23+3•24+.......+〃•2什],

ln+12x12nn+l

两式相减得,-Hn=\'?)+\'2-+\*T?+.......+1*2"-w»2=(-)-n.2=(1-n)

1—z

•2n+1-2,

工丛=(«-1)•2n+l+2,

n+I

：.Tn=Hn-(1+2+3+.......+〃)=(«-1)•2+2-

9.已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S”4=15,Sio=165,公比为g的等比数列｛仇｝的前〃

项和为Tn,且bi=q=a\.

(1)求S,”Tn；

(2)设Cn=3,求数列｛Cn｝的前〃项和A7".

【解答】解：⑴等差数列｛*的前“项和为S”05=15,510=165,

设首项为公差为力

则Lna.10X9,“，解得了;，

10%4——2-d=165Id=3

所以S九=3九+n(\1)X3=|-(n4-l)n.

由于公比为q的等比数列｛加｝的前〃项和为力”且历=夕=〃1=3加=3,解得加=1,q=

3.

所以了”=—.

17911

(2)由设1=呢=3"71+1)=可(五一市)'

r-2-1,11,,11、2/d1、2n

所crl(亍+

n=53v]-225-3"5"+…"I-n------nT+Tl)7=53(v1nT+Tl)J=03"nT+53",

10.设等差数列｛或｝的前〃项和为S“已知。8=3°3,。1+。2=4.

(1)求数列｛"”｝的通项公式；

(2)若2S,=23+a2"+4,求”.

【解答】解：(1)设数列｛反｝的公差为力依题意得

件=3。3

U1+。2=4'

第31页共53页

所以@+2d),

(2%+d=4

解峭二

所以an=2n-1.

(2)由(1)得Sa=(1+2,1，=n2,

因为2S,=23+a2"+4,所以2后=23+2义(2«+4)-1,

化简得n2-2〃-15=0,

解得〃=5或〃=-3(舍去).

11.已知数列｛〃〃｝是各项为正数的等比数列，且“2=4,a3a4a5=22.数列出〃｝是单调递增

的等差数列,且历坨3=15,61+64=8,

(1)求数列｛“〃｝与数列｛儿｝的通项公式；

(2)求数列｛的儿｝的前〃项和北.

【解答】解：(1)设正项等比数列｛斯｝的公比为q(夕>0),

由a3a4a5=212,得ctj3=212,得Q4=24,

又。2=4,；.q2=察=盘=4,

a24

则<7=2.

n2n2n

.*•an=a2q~=4-2~=2；

在等差数列｛瓦｝中，由等差数列的性质可得，历+加=加+公=8,

又62%3=15,且数列｛儿｝是单调递增数列，

解得历=3,为=5,则公差d=/?3-历=5-3=2.

:.b〃=b2+(〃-2)X2=3+2〃-4=2〃-1.

9

(2)：anbn=(2M-1)・2〃.

123n

：.Tn=1-2+3•2+5•2+-4-(2n-1)-2,

234nn+1

2Tn=1-2+3•2+5•2+-+(2n-3)-2+(2n-1)-2.

23nn+1

：.-Tn=2+2(2+2+…+2)-(2n-1)-2

=2+2.4(1言T)一(2n-1).2"+i=-(2n-3)«2n+1-6.

,n+1

..7'n=(2n-3)-2+6.

12.设｛a”｝是等差数列，ai=-10,且。2+10,03+8,次+6成等比数列，

(1)求｛斯｝的通项公式:

第32页共53页

（2）记｛板｝的前〃项和为S?,求使得S?2斯成立的〃的取值范围.

【解答】解：（1）:是等差数列，41=70,且42+10，43+8,44+6成等比数列.

:.（43+8）2=（42+10）（44+6）,

・・・（-2+24）2=d（-4+3d）,

解得d=2,

.•.a〃=ai+(/7-1)d=-10+2〃-2=2〃-12；

(2)由ai=-10,d=2,得S〃=-10”+政户x2=〃2-11〃,

由得“2-i1N22〃-12,即n2-13〃+12》0,

解得或〃》12.

又«GN*,

."的取值范围为｛〃eN*|"=l或〃》12｝.

13.设｛斯｝是公比不为1的等比数列，ai为02,“3的等差中项.

（1）求缶”｝的公比；

（2）若°|=1,求数列｛"。"｝的前”项和.

【解答】解：（1）设｛斯｝是公比q不为1的等比数列，

为。2,。3的等差中项，可得2al=.2+。3,

即2ai=a\q+a\<]2,

即为q2+q-2=0,

解得g=-2（1舍去），

所以｛斯｝的公比为-2：

（2）若m=l,则念=（-2）nl,

nan—n*(-2)

则数列｛“a”｝的前〃项和为S"=l・l+2・(-2)+3*(-2)2+-+w(-2)

-2S”=1・(-2)+2«(-2)2+3»(-2)3+—+w(-2)",

两式相减可得3S,=1+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)"I-，?•(-2)

l-(-2)n

-«•(-2)°,

1-(-2)

化简可得S尸工-（臂MN）二

1-(1+3初(-2)“

所以数列｛〃“”｝的前〃项和为

9

第33页共53页

14.已知数列｛斯｝的前"项和为S”，满足S3=2a3-1，即+i=2a”(neN*).

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)记6"=log2求数列｛加｝的前八项和为7".

【解答】解：(1)由即+i=2即56/7*)可知数列｛金｝是公比为2的等比数列，所以4=2.

又因为$3=2。3-1，所以。1+2。1+4a1=8。1-1,所以41=1.

所以数列｛念｝的通项公式为即=2"T.

(2)由(1)知勾=，。92(册+1.%)=/。92(2"x2"T)=2n-1,

n2

所以Tn=1+(当T)n=-

15.已知等差数列｛a,,｝满足对任意的正整数n有许+斯+1=4”.

(1)若ai=l,求｛斯｝的通项公式;

(2)设S,为｛斯｝的前〃项和，求仇=曾的前〃项和.

【解答】解：(1)设等差数列｛斯｝的公差为d,由〃"+即+1=4〃，知-

=4=2d,

解得：d=2,

又Q〃+I=Q〃+d,

J.2a,t+d=4n,而d=2=^an=2n-1；

(2)'：an=2n-1,

.n(l+2n-1)2

cn1

.•Sn=---2-----~

b”=n.故bn=您的前n项和为竺产2

16.已知各项都为正数的等比数列及=32,4a5=8.

(1)求数列｛"”｝的通项公式；

(2)设加=log2M2=|加|+|设|+向|+…+|①求T”.

【解答】解：(1)设各项都为正数的等比数列｛a,,｝的公比为g,则q>0.

•；。2=32,a3a皿5=8,二]2"鼻，3、3解得：«?1—27,q=y,所以a»=

(a3a4a5=a43=(«iQ)=8'4

29-2W,neN*；

f9—2九,1W几W4

(2)由(1)知氏=log2Q〃=9-2〃，\b\=],

n(2n—9,n>4

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当时，T”=wx/=8〃_”2；当”>4时，(7+5+3+1)+x(n-

4)=n2—8n+32,

8n-n2,1<n<4

所以T=

nn2—8n+32,n>4

17.设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S”S3=9,。4+。5+。6=27.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

(2)若6"=°/,求数列｛加｝前"项和7”.

参考公式：/+22+……+”2=咂+耍叶1)

O

【解答】解：(1)设等差数列｛〃〃｝的公差为4

由。1+。3=2〃2，知S3=3〃2=9,即。2=3.

又由44+。5+46=3。5=27,得45=9.

-4叼一做_2z2-7

•,〃一5-2一^--

/•an~(〃-2)d=3+2(〃-2)=2n~1；

(2)由d=〃/=(2〃-1)2=4层-4〃+1.

Tn=4(12++/)-4(1+2+…+n)+n

=4xn(n±lX2n+n_4xn(^+n

二[4*型!半±12_4x吟+]]X“二中.

18.已知数列｛斯｝和｛儿｝满足。"出+1-研厂加-2a"・4"+1=0,且ai=l,加=1,设/=投.

an

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)若｛斯｝是等比数列，且02=3,求数列｛加｝的前〃项和S”.

【解答】解：(1)依题意，由。〃•仇+1--2a〃・a〃+i=0,可得

〃〃・bn+1an+l，bn=•♦〃+1,

两边同时乘以一--，可得

an,an+l

原+1%

------———=2,即C/j+1-c-2,

Q?i+1ann

・・bli

•ck石=L

数列｛Cn｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

,5=1+2(77-1)=2〃-1,〃WN*.

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(2)由题意，设等比数列｛如｝的公比为则

q=U=L，

故斯=1・3厂1=3"-1,wCN*.

由(1)知，Cn=2〃-1,且小=投，

an

nl

则bn—Cn*an—(2M-1)*3,

所以：=1x3°+3x31+-+(2n-1)x3L】①，

12

3Sn=1x3+3x3+-+(2n-1)x3n②，

①-②得：-2Sn=1+2x31+2x32+2x33+…+2x3时】-(2n-1)x3\

=1+22s3_2普23_-(2n-l)x3n,

=-2-⑵-2)X3”,

n

所以Sn=(n-1)x3+1.

19.已知数列｛*的前"项和为S“，且S”="(”+2)(〃6N*).

(1)求数列｛而｝的通项公式；

(2)设bn=舞求数列｛b„｝的前"项和T„.

【解答】解：(1)由题知：当〃=1时，有51=1X3=3=01；当〃》2时，由S〃=”(n+2)

(HGN*)①，

可得S2-1=(〃-1)("+1)②，由①-②得斯=2〃+1,又”=1时也适合，故〃"=2〃+1；

(2)由(1)知儿=翳=笔L

•F=3x/+5x(")2+7X$3+-+⑵+1)•([)"③，

11

121④

-T=3X-\+5X--

4n474471+1

33111i

由③_④可得：*7；=w+2[(-)2+(-)3+•••+(-)n]-(2n+1)-(~)n+1

=*+2x(犷[:?”T],(2n+i).(l)n+i

=苣-+4产，

所以7，，=9一包尹•(,)".

2

20.已知数列｛a”｝的前n项和为S”且Sn^n+an-1.

(1)求｛斯｝的通项公式;

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⑵设汇看’求数列加的前〃项和

【解答】解：(1)；S"=〃2+a“-1①，

=

/•Sn-\(〃-1)2+〃〃.[-1(〃22)②,

22

由①-②可得:an=n-(w-1)+an-an.\,

整理得：斯」=2(77-1)+1(心2),

2

/.an=2n+\,当n=2时，有S2=2+a2-\=a\+ai^a\=3也适合，

故斯=2〃+1；

(2)・・・。〃=2〃+1,

■_11_111

ba-

.."~nan+l_(2n+l)(2n+3)2(2n+l.2n+3)，

ill1111111n

引+1-,)…H-而】=2「-才=丽

21.己知公差不为零的等差数列｛“”｝的前“项和为S”S3=15,且〃I，。3,刃1成等比数列.

(1)求数列｛“”｝的通项公式；

(2)设加=斯・(：)"，试问数列仍，，｝是否存在最大项？若存在，求出最大项序号〃的值;

若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)由题意，可知

$3=%迎=警=342=15,解得42=5,

设等差数列｛"”｝的公差为d(dWO),则

a\=5-d,〃3=5+d,an=5+(11-2)・d=5+9d,

Vai，。3，ail成等比数列，

：.a^=a^a\\,即(5+d)2=(5-d)(5+9d),

整理，得辟-3d=0,

解得d=0(舍去)，或d=3,

：.an=5+(H-2)-3=3/7-1,〃WN*.

依题意，假设数列｛瓦｝存在最大项，则有无"3$+1

(3n+2)-(|严

(3„-4).(|)-1

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化简，得

f6(3n-l)>5(3n+2)

15(3n-1)>6(3n-4y

1619

解得丁<n<〒，

3J

VnSN*,."=6,

故数列｛仇｝存在最大项，且取得最大项时n的值为6.

22.已知｛a”｝为单调递增的等差数列，设其前〃项和为S”Ss=-20,且03，“5+1，。9成等

比数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求S,的最小值及取得最小值时n的值.

【解答】解：(