高中数学 函数概念及其性质知识总结

高中数学函数概念及其性质知识总结

数学必修1：函数概念及性质函数的概念函数是指从一个集合到另一个集合的一种对应关系。具体而言，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。函数的定义域能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零。实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。构成函数的三要素构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)。函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则。不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等。函数图象在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。C上每一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)。反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上，记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}。图象C通常是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能由若干条曲线或离散点组成，其中任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点。关于画法，有两种常用的方法。第一种是描点法，根据函数解析式和定义域，求出x和y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。第二种是图象变换法，常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换，具体请参考必修4三角函数。函数图象的作用是直观地看出函数的性质，利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度，以及发现解题中的错误。区间是指由两个数a、b及其之间的一切实数所组成的集合，记为[a,b]。开区间、闭区间、半开半闭区间和无穷区间都属于区间的分类。区间可以用数轴表示。映射是一种特殊的对应关系，一般地，设A、B是两个非空的集合，按某一个确定的对应法则f，使得对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。函数是一种特殊的映射，其定义域和值域都是实数集合，且每一个自变量只对应一个因变量。常用的函数表示法有解析法、图象法、描点法和列表法。解析法必须注明函数的定义域；图象法要注意确定是函数图象的依据；描点法要选取代表性的自变量，并用平滑的曲线将这些点连接起来；列表法要化简函数的解析式，观察函数的特征，能反映定义域的特征。分段函数是一种在不同的定义域部分上具有不同解析式的函数。为了求出函数值，需要将自变量代入相应的解析式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而是将不同部分的函数值用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况。需要注意的是，分段函数是一个函数，不要将其误认为是几个函数。其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。复合函数是由两个函数组合而成的函数。例如，如果y=f(u)（u∈M），u=g(x)（x∈A），则y=f[g(x)]=F(x)（x∈A）称为f、g的复合函数。函数单调性是指函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。增函数是指在定义域内的某个区间上，当自变量增大时，函数值也随之增大的函数。减函数是指在定义域内的某个区间上，当自变量增大时，函数值随之减小的函数。可以通过判断差f(x1)－f(x2)的正负来判断函数的单调性。如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么其图象在该区间上具有单调性。增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。总之，函数的单调性可以通过定义法和图象法来判断。复合函数是由两个函数组合而成的函数。分段函数在不同的定义域部分上具有不同的解析式，需要注意其定义域和值域的并集关系。复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关。具体规律如下：函数单调性先增后减，则u=g(x)的单调区间为其定义域内的某个子区间，y=f(u)的单调区间为u所在的单调区间；函数单调性先减后增，则u=g(x)的单调区间为其定义域内的某个子区间，y=f(u)的单调区间为u所在的单调区间；函数单调性单调递增或单调递减，则u=g(x)的单调区间为其定义域，y=f(u)的单调区间也为其定义域。需要注意的是，函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间合并成其并集。在判定函数的单调性时，我们可以利用选修课中学习的简单易行的导数法。其次，函数的奇偶性是函数的整体性质。若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)就是偶函数；若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)就是奇函数。需要注意的是，函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。具有奇偶性的函数的图象具有以下特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。最后，函数的解析式是函数的一种表示方法。当要求两个变量之间的函数关系时，需要求出它们之间的对应法则，并确定函数的定义域。函数的解析式可以用各种符号表示，如f(x)，y，y(x)等。在确定函数的解析式时，需要注意函数的定义域，以及函数是否具有奇偶性。函数的解析式可以通过待定系数法、换元法、消参法等方法求得。对于已知函数解析式的构造，可以使用待定系数法；对于已知复合函数f[g(x)]的表达式，可以使用换元法，注意元的取值范围；对于已知较简单的表达式，可以使用凑配法；对于已知抽象函数表达式，则可以使用解方程组消参的方法求出f(x)的解析式。求函数的最大（小）值可以通过利用二次函数的性质、图象、配方法以及函数单调性来判断。如果函数在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，则函数在x=b处有最大值f(b)；如果函数在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，则函数在x=b处有最小值f(b)。解答数学应用题的关键在于认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题。其次，要合理选取参变数，设定变元后，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型使实际问题获解。函数的性质包括奇偶性、定义域、值域、单调性等，而函数的图象一般为一条连续曲线，也可能是由若干条曲线或离散点组成。函数的图像左右存在的范围、上下存在的范围、关于原点对称、关于y轴对称等特点也需要注意。增函数和减函数分别在区间内从左到右上升和下降，而周期性、零点、正值区间、负值区间、在y轴上的截距、过定点、周期等特点也需要注意。1.当f(x)小于0时，x的取值范围为使得f(x)小于0的所有实数。2.f(0)的值是函数在x=0处的取值。3.(x,y)是与参数无关的点，表示在函数图像上，该点的横坐标为x，纵坐标为y，与函数的参数无关。4.当自变量增加T时，函数图像会