自动控制原理课件

第二章控制系统的数学模型本章主要内容2.1概述2.2物理系统的微分方程2.3线性系统的传递函数2.4框图模型2.5信号流图模型2.6反馈控制系统的特性2.7应用MATLAB进行系统仿真2.8设计举例1第二章控制系统的数学模型第一节概述自动控制系统是一种严格定量的动态运行的信息系统。定量：要求用数学方法描述系统及系统中各环节变量间的内在关系及其变化规律，即数学模型。控制系统本质上是动态的。因此描述系统行为的方程通常是微分方程。2第二章控制系统的数学模型数学模型：描述系统内部物理量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法：分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所遵循的物理或化学规律列写出相应的运动方程。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。3第二章控制系统的数学模型数学模型的形式：时间域： 微分方程(连续系统)

差分方程（离散系统） 状态方程（多变量系统）复数域： 传递函数 结构图、信号流图频率域：频率特性4第二章控制系统的数学模型建立数学模型的目的：分析和设计控制系统。研究系统动态特性的一般步骤：确定系统及其各元件；作出必要的假设并推导数学模型；写出描述该模型的微分方程；解方程求出需要的输出变量；检查得到的解和假设条件。5第二章控制系统的数学模型第二节物理系统的微分方程1

建立微分方程机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律

根据系统所遵循的物理规律，写出其运动方程。6第二章控制系统的数学模型例2.1弹簧、质量块和阻尼器组成的机械位移系统系统示意图系统受力分析图7第二章控制系统的数学模型选定外力f为系统输入量，位移x为系统输出量。根据牛顿第二定律，写出系统运动方程：整理后得到系统运动方程：8第二章控制系统的数学模型

建立微分方程的步骤:根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；分析元件工作中所遵循的机理，列写相应的微分方程；消去中间变量，得到输入量与输出量之间的微分方程；写成标准形式。9第二章控制系统的数学模型微分方程标准形式：与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边，方程两边变量的各导数项均按降幂排列。

10第二章控制系统的数学模型例2.2列写出下列RLC无源网络的微分方程2.根据电路理论,列出原始微分方程式：

RLCur(t)uc(t)i(t)解:

1.明确输入量、输出量：系统的输入量为电压，输出量为电压。11第二章控制系统的数学模型而，式中为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。这两个式子很相似，是两个相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也说明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。3.消去中间变量,整理得：这就是RLC无源网络的微分方程数学模型。与例2.1的微分方程相比较：12第二章控制系统的数学模型2线性定常微分方程的求解这里只研究用LAPLACE变换法求解微分方程的方法，为今后引出传递函数概念奠定基础。微分方程求解的方法：经典法LAPLACE变换法计算机数值解法13第二章控制系统的数学模型一、拉氏变换的定义设函数f(t)满足：

1）f(t)实函数；

2）当t<0时，f(t)=0；

3）当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。14第二章控制系统的数学模型拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。15第二章控制系统的数学模型指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数二、拉氏变换的计算16第二章控制系统的数学模型三、拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理17第二章控制系统的数学模型n阶导数的拉氏变换：当初始条件：时，则：18第二章控制系统的数学模型一般，象函数是复变数s的有理代数分式：四、用拉氏变换求解线性定常微分方程由象函数求原函数，对于简单的象函数，可直接利用拉氏变换对照表查出相应的原函数，对于复杂的象函数，通常先用部分分式展开法将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。19第二章控制系统的数学模型特别当A(s)=0无重根时,F(s)可展开为n个简单的部分分式之和，即：那么可求得原函数：20第二章控制系统的数学模型用拉氏变换求解线性定常微分方程的步骤：将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到象函数的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。21第二章控制系统的数学模型例2.3：求线性微分方程的解，初始条件为：解：1）方程两边拉氏变换得：代入初始条件得：2）部分分式展开得：3）拉氏反变换得：22第二章控制系统的数学模型

E2.4,E2.21,E2.18作业323第二章控制系统的数学模型第三节线性系统的传递函数微分方程数学模型的特点：直观；借助计算机可以迅速而准确地求得结果。优点：缺点：如果系统的结构或参数发生变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。24第二章控制系统的数学模型传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念，广泛应用的频率法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的。传递函数:是在复数域描述系统动态性能的数学模型。25第二章控制系统的数学模型1传递函数的定义和性质传递函数的定义：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。例2.4试求例2.2RLC无源网络的传递函数。解：RLC无源网络的微分方程为：26第二章控制系统的数学模型在零初始条件下对方程各项求拉氏变换，可得：由传递函数定义，可得RLC网络的传递函数：2传递函数的一般形式：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：27第二章控制系统的数学模型初始条件为零时，对微分方程各项分别求拉氏变换，可得：由定义得系统的传递函数为：3传递函数的性质：传递函数是s的有理真分式函数，mn,具有复变函数的所有性质；28第二章控制系统的数学模型传递函数与微分方程有相通性，传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构和参数，与输入量的形式无关；传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。因此，常用下述方框图表示具有传递函数G(s)的线性系统：G(s)R(s)C(s)传递函数的拉氏反变换是脉冲响应，脉冲响应是系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应；29第二章控制系统的数学模型适用于线性定常系统只适合于单输入单输出系统的描述无法描述系统内部中间变量的变化情况传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律一定的传递函数有一定的零极点分布图对应30第二章控制系统的数学模型4传递函数的零点和极点：M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。零极点分布图：在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形。零极点分布图完全取决于系统的结构和参数。可以更形象地表示系统的特性。31第二章控制系统的数学模型零点用“o”表示极点用“×”表示32第二章控制系统的数学模型5零、极点对输出的影响:极点是微分方程的特征根，因此决定系统固有运动的模态。极点的位置决定稳定性、快速性零点不形成自由运动的模态，但影响各模态响应的比重。零点离极点越远，离原点越近则零点的作用越明显。33第二章控制系统的数学模型34第二章控制系统的数学模型6典型环节的传递函数一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。35第二章控制系统的数学模型比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节纯微分环节36第二章控制系统的数学模型运动方程式：传递函数：Ⅰ、比例环节（放大环节）：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化实例：运算放大器、电位器37单位阶跃响应：第二章控制系统的数学模型比例环节单位阶跃响应曲线38第二章控制系统的数学模型运动方程式：传递函数：特点：输出量缓慢地反应输入量的变化规律实例：RC滤波电路、忽略电枢电感的直流电动机Ⅱ、惯性环节：39第二章控制系统的数学模型惯性环节的单位阶跃响应曲线单位阶跃响应：40第二章控制系统的数学模型传递函数：运动方程式：特点：理想积分环节其输出量是输入量在时间上的积分实例：电容、积分运算放大器Ⅲ、积分环节41第二章控制系统的数学模型积分环节的单位阶跃响应曲线单位阶跃响应：42第二章控制系统的数学模型运动方程式：传递函数：特点：理想微分环节其输出量是输入量对时间的微分实例：测速发电机、RC微分网络Ⅳ、微分环节单位阶跃响应：43第二章控制系统的数学模型运动方程式：传递函数：特点：是二阶系统的特例，含有两个储能元件，在运动过程中能量相互交换，使环节的输出带有振荡的特性实例：质量弹簧阻尼器机械位移系统、RLC串联网络Ⅴ、振荡环节：44第二章控制系统的数学模型振荡环节的单位阶跃响应曲线45第二章控制系统的数学模型运动方程式：传递函数：—时间常数Ⅵ、延迟环节：特点：输出要隔一定时间后才复现输入信号46第二章控制系统的数学模型延迟环节的单位阶跃响应曲线47第二章控制系统的数学模型上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：⑴系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。48第二章控制系统的数学模型⑵同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。⑶

在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。49第二章控制系统的数学模型7总结传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，是系统的一种外部描述方式。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。是频率法和根轨迹法的基础。50第二章控制系统的数学模型E2.25，DP2.3作业451第二章控制系统的数学模型第四节框图模型控制系统的框图模型是描述系统信号传递关系的数学图形，表示了各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算。框图模型是描述复杂系统的一种简便、直观方法。框图（或结构图）由信号线、方框、引出点及比较点四种基本单元组成。52第二章控制系统的数学模型比较点方框引出点方框信号线53第二章控制系统的数学模型信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。u(t),U(s)54第二章控制系统的数学模型引出点/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一位置引出的信号，其性质、大小完全一样。u(t),U(s)u(t),U(s)55第二章控制系统的数学模型方框(环节)方框表示对信号进行数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。且输出变量等于输入变量与传递函数的乘积。u(t),U(s)G(s)c(t),C(s)56第二章控制系统的数学模型比较点（综合点）表示对两个以上信号进行加减运算。用符号“”（“”）及相应的信号箭头表示。箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号u(t),U(s)r(t),R(s))()()()(sRsUtrtu±±±57第二章控制系统的数学模型2、结构图的绘制建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）；对微分方程取拉氏变换，绘制各部件的方框图；按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。58第二章控制系统的数学模型例2.5：绘制下列无源网络的结构图CR1R2urucii1i2解：根据基尔霍夫定律列写出下列方程：59第二章控制系统的数学模型按照上述方程分别绘制相应的方框图：I(s)I1(s)I2(s)++R2I(s)Uc(s)I1(s)U1(s)11RCSI2(s)U1(s)60第二章控制系统的数学模型U1(s)Ur(s)Uc(s)+-用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，得到无源网络的结构图如下：U1(s)Ur(s)+-11RCsR2++I1(s)I2(s)I(s)Uc(s)61第二章控制系统的数学模型通过结构图的等效变换和简化可以方便地求得系统的传递函数或系统输出量的响应。方框间的连接错综复杂，但基本连接只有串联、并联和反馈三种。简化过程遵循的原则：变换前后变量关系保持等效。即前向通路中传递函数的乘积保持不变，回路中传递函数的乘积保持不变。3、结构图的等效变换和简化62第二章控制系统的数学模型⑴串联方框的简化串联运算规则：几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)63第二章控制系统的数学模型⑵并联方框的简化并联运算规则：同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)R(s)C(s))()(21sGsG±±64第二章控制系统的数学模型⑶反馈方框的简化反馈通道传递函数：前向通道传递函数：反馈比较点：65第二章控制系统的数学模型消去B(s)和E(s)得：正反馈的传递函数：负反馈的传递函数：则简化后的传递函数为：66第二章控制系统的数学模型67第二章控制系统的数学模型⑷比较点前移比较点前移的规则为：若比较点从一个方块图输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越方块图的传递函数的倒数。68第二章控制系统的数学模型⑸比较点后移比较点后移的规则为：若比较点从一个方块图输入端移到其输出端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越方块图的传递函数。69第二章控制系统的数学模型⑹引出点前移引出点前移的规则为：若引出点从一个方块图输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越方块图的传递函数。70第二章控制系统的数学模型⑺引出点后移引出点后移的规则为：若引出点从一个方块图输入端移到其输出端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越方块图的传递函数的倒数。71第二章控制系统的数学模型⑻比较点合并R(s)C(s)±±X1(s)X2(s)R(s)C(s)±X2(s)X1(s)±R(s)C(s)±X1(s)X2(s)±互换综合点的位置（或综合点之间相互移动时），不会影响总的输入输出关系。三者输出都为：C(s)=R(s)±X1(s)±X2

(s)72第二章控制系统的数学模型结构图简化步骤：先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节；确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道；通过比较点和引出点的移动消除交错回路；73第二章控制系统的数学模型例2.6简化下列结构图：74第二章控制系统的数学模型解：⑴比较点前移75第二章控制系统的数学模型⑵引出点后移76第二章控制系统的数学模型⑶求出局部反馈环节的传递函数⑷求出整个系统的传递函数77第二章控制系统的数学模型例2.7简化下列结构图：78第二章控制系统的数学模型解：⑴比较点后移79第二章控制系统的数学模型⑵求出局部反馈环节的传递函数80第二章控制系统的数学模型⑶求出局部串联环节和反馈环节的传递函数⑷求出整个系统的传递函数81第二章控制系统的数学模型作业5E2.23,E2.26,E2.28,E2.29,P2.37,P2.50,P2.5182第二章控制系统的数学模型第五节信号流图模型信号流图的定义：是由节点和支路组成的一种信号传递网络。a1bcdfeg1其中表示节点，表示支路。83第二章控制系统的数学模型支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。84第二章控制系统的数学模型（1）节点标志了系统的变量信号流图的基本性质：（2）支路相当于乘法器（3）信号在支路上只能沿箭头单向传递（4）对于给定的系统，节点变量的设置是任意的。因此，信号流图不唯一。85第二章控制系统的数学模型源节点（或输入节点）：只有输出的节点，代表系统的输入变量名词术语：阱节点（或输出节点）：只有输入的节点，代表系统的输出变量输出节点输入节点a1bcdfeg186第二章控制系统的数学模型混合节点：既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可变为输出节点。a1bcdfeg1如：x2、x3、x4、x5为混合节点87第二章控制系统的数学模型前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。a1bcdfeg1有两条前向通路，一条是：x1x2

x3

x4

x5，其前向通路总增益p1=abc;另一条是：

x1x2

x5，其前向通路总增益p1=d88第二章控制系统的数学模型回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益乘积称为回路增益，用La表示。a1bcdfeg1有三条回路，一条是：x2

x3

x2，其回路增益L1=ae;另一条是：

x3x4

x3，其回路增益L2=bf;第三条是：x5x5的自回路，其回路增益L3=g89第二章控制系统的数学模型不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路a1bcdfeg1有两对不接触回路，一对是：x2

x3

x2和x5x5;另一对是：

x3x4

x3和x5x590第二章控制系统的数学模型信号流图的绘制信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统结构图按照对应关系得到。

由系统微分方程绘制信号流图通过拉氏变换，将微分方程变换为s的代数方程，再画信号流图。

首先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列。标明支路的增益，根据数学方程式将各节点正确连接。

91第二章控制系统的数学模型例2.8根据微分方程绘制下图的信号流图，不计初始条件解：⑴列出微分方程，并变换为s的代数方程92第二章控制系统的数学模型⑵根据s的代数方程绘制信号流图93第二章控制系统的数学模型⑶按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列，画出信号流图94第二章控制系统的数学模型根据结构图绘制信号流图信号流图与结构图有类似的布局，等效对应关系如下所示：结构图：输入端比较点引出点信号线方框输出端信号流图：输入节点混合节点支路输出节点95第二章控制系统的数学模型用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路。从系统结构图绘制信号流图的步骤：在结构图的信号线上用小圆圈标出传递的信号，便得到节点；96第二章控制系统的数学模型例2.9将下述结构图转换为信号流图97第二章控制系统的数学模型例2.10试绘制下图所示系统结构图对应的信号流图G2G1G3G4HRC123456解：1）选取节点如图所示；2）支路中的传递函数即为支路增益；98第二章控制系统的数学模型3）注意符号并整理得到系统信号流图如下：G2G11G31－HG41123456G2G1G3G4HRC12345699第二章控制系统的数学模型6、梅森公式梅森（Mason)公式能直接求取从源节点到阱节点的传递函数，而不需简化信号流图。由于信号流图与结构图之间有对应关系，因此，梅森公式也可直接用于系统结构图。梅森公式：式中：P—系统总传递函数；n—前向通路总数；Pk—第k条前向通路的传递函数；Δ—流图特征式100第二章控制系统的数学模型是所有单独回路的传递函数之和；其中：所有互不接触的单独回路中，每次取两个回路的回路传递函数乘积之和；所有互不接触的单独回路中，每次取三个回路的回路传递函数乘积之和；101第二章控制系统的数学模型与第k条前向通路对应的余因子式，等于流图特征式中去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益后的余项式。例2.11试求下图所示信号流图的传递函数123456102第二章控制系统的数学模型解：有4条回路，分别是：454

，236

2，24562，234562，其回路增益分别是：一对互不接触回路：L1L2=G2G4G7H1H2有3条前向通路，分别是：123456，12456，

1236，其前向通路增益分别是：103第二章控制系统的数学模型根据梅森公式，系统传递函数（或总增益）为：流图特征式：流图余因子式分别是：104第二章控制系统的数学模型作业6E2.8，E2.15，E2.22，DP2.1105第二章控制系统的数学模型第六节反馈控制系统的特性开环系统不带有反馈，输入信号直接产生输出响应。自动控制系统的目的就是：使误差尽可能的小，最好为0。闭环控制系统将输出的测量值与预期的输出值相比较，产生偏差信号并将偏差信号作用于执行机构。106第二章控制系统的数学模型为了减小偏差，1+G(s)H(s)的幅值应大于1。单位反馈的误差信号：误差信号：107第二章控制系统的数学模型一个典型的反馈控制系统的结构图如下：图中R(s)是输入信号，N(s)是扰动作用，C(s)是输出信号。108第二章控制系统的数学模型但是，对于线性定常系统，却可以通过分别计算它们单独作用时的输出，然后利用叠加原理，就可以得到既考虑给定输入又考虑扰动输入的输出响应。反馈控制系统在工作过程中通常会受到希望输入（或给定输入）和非希望输入（或扰动输入）的作用，系统的输出响应是由这两类输入共同作用的结果。由传递函数的定义可知，我们得不出一个既考虑给定输入又考虑干扰输入的传递函数。109第二章控制系统的数学模型输入量与扰动量同时作用下的输出110第二章控制系统的数学模型上式表明，在一定条件下，系统输出只取决于反馈通路传递函数H(s)和输入信号R(s)，与前向通路传递函数G1(s)G2(s)无关,也不受扰动作用影响。特别是当反馈通路传递函数H(s)=1时，C(s)R(s)，从而近似实现了对输入信号的复现，且对扰动具有较强的抑制作用。111第二章控制系统的数学模型反馈的代价首先是明显地增加了元件的数目和系统的复杂性。第二个代价是增益损失，例如在一个单回路系统中，开环增益是G(s)H(s),而在负反馈系统中减小到G(s)/(1+G(s)H(s))。闭环增益减小了1/（1+G(s)H(s)）倍。第三个代价是可能带来系统不稳定性。112第二章控制系统的数学模型MATLAB是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，主要应用领域是工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等。第七节应用MATLAB进行系统仿真MATLAB是美国MathWorks公司出品的软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言简捷得多。

113第二章控制系统的数学模型114第二章控制系统的数