第四节函数的微分课件

第四节函数的微分

2.4.1引例假设某正方形金属薄片受热后边长由变到如图2-4所示，问金属片面积的改变量是多少？解金属薄片的原面积为当金属薄片受热后边长从变到时，面积增量为二、微分的定义定义2

设函数在的某邻域内可导，则称为函数在点的微分，记为，即规定：自变量的微分是自变量的增量。即从而函数在点处的微分为所以即函数的微分与自变量的微分之商就是导数。根据微分定义可知，引例中即例1求函数在时的改变量及微分。解将代入，得因为，所以故显然三、微分的几何意义设函数的图形如图2-5所示，MP是曲线上点处的切线，设MP的倾斜角为当自变量有改变量时，得到曲线上另一点由得即由此可知，微分是当自变量有

改变量时，曲线在点处的纵坐标的改变量。用近似代替，就是用点处的切线的纵坐标的改变量来近似代替曲线的纵坐标的改变量。并且有：当时，微分的几何意义：四、微分的运算因为函数的微分为，所以根据导数公式和导数运算法则就能得到相应的微分公式和微分运算法则。1、微分基本公式2、函数的和、差、积、商的微分运算法则

记则3、复合函数的微分法则

设函数根据微分的定义，有(1)当为自变量时：(2)当不是自变量，而是的可导函数时：复合函数的导数为于是，复合函数的微分为由此可知，不论是自变量还是中间变量，函数

的微分总是保持同一形式这一性质称为一阶微分的形式不变性。利用一阶微分的开式形不变性求复合函数的微分有时比较方便。例2设求解法一用公式得解法二由一阶微分的开式形不变性，得例3

设求解法一用公式得解法二由一阶微分的形式不变性，得例4

求方程确定的隐函数的微分及导数解对方程两边求微分，得应用微分的运算法则，得故有即于是所求微分为所求导数为五、微分在近似计算中的应用1、近似计算在实际问题中，经常利用微分作近似计算。当函数在点处的导数，且很小时，我们有近似公式或若，令当很小时，当很小时，由上式可推得五、微分在近似计算中的应用1、近似计算在实际问题中，经常利用微分作近似计算。当函数在点处的导数，且很小时，我们有近似公式3)近似公式：五、微分在近似计算中的应用1、近似计算在实际问题中，经常利用微分作近似计算。当函数在点处的导数，且很小时，我们有近似公式2)求函数值：证由得由得其它几个公式也可用类似的方法证明。例5

计算的近似值。解设

由得则例6

某球体的体积从增加到，试求其半径改变量的近似值。解设球的半径为，体积，则由所以例7

计算的近似值。解2、误差估计设量可以直接度量，而依赖于的量由函数确定，若的度量误差为，则有相应的误差为----称为量的绝对误差----称为相对误差在计算误差时常用代替，用代替，这样求出的误差称为误差的估计值。例8

测得一圆柱的直径为43cm,并已知在测量中绝对误差不超过0.02cm,试求用此数据计算圆柱的横载面积时所引起的绝对误差与相对误差。解圆柱横截面的面积为由D的测量误差所引起的面积的计算误差，可用微分来近似代替，即所以绝对误差为相对误差为第五节导数的一些实例在实际问题中，常把导数称为变化率，因为对函数表示自变量每改变一个单位时，函数的平均变化率。当时，若可导，则----称为函数的变化率。例1

设在这段时间内通过导线横载面的电荷为，求时刻的电流。解在时间内平均电流当很小时，平均电流可以作为时刻电流的近似值。令平均电流强度的极限（如果极限存在）就称为时刻的电流。即例2在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本，设产量为时，成本为求产量为时的边际成本。解设产量由变为，则总成本函数的改变量为这时总成本函数的平均变化率为成本。上式表示产量由变到时，在平均意义下的边际当总成本函数可导时，其变化率关于产量的导数。表示该产品为时的边际成本，即边际成本是总成本函数例3

从一个铜矿中开采Tt铜矿的花费为元，意味着有2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t铜矿需花费100元。类似地，在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品时收入。所增加的销售收入，即，这里为销售量为时的例4

现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变，问当半径为1cm时，气球的体积关于半径的变化率是多少？解气体的体积V与半径r之间的函数关系为气体的体积关于半径的变化率即气体的体积关于半径的导数所以当时，气体的体积关于半径的变化率为例5

电路中某点处的电流i是通过该点处的电量Q关于时间t的瞬时变化率，如果一电路中的电量为，求：（1）电流函数；（2）时的电流是多少？（3）什么时候电流为30？解（1）（2）（3）解方程得（舍去）即当时，电流为30.例6

已知某物体作直线运动，路程s(单位：m）与时间t（单位：s）的关系为求时物体的速度和加速度。解物体运动的速度和加速度分别为所以例7

放射性元素碳－14的衰减由下式给出：其中是年后碳－14存余的数量（单位：），问碳－14的衰减速度（单位：g/a，即克/年）是多少？解碳－14的衰减速度为（g/a）例8

假设某钢棒的长度L（单位：cm)取决于气温H（单位：），而气温H又取决于时间t(单位：h).如果气温每升高1，钢棒长度增加2cm，而每隔1h,气温上升3，问钢棒长度关于时间的增加有多快？解已知长度对气温的变化率为

气温对时间的变化率为将L看作H的函数，H看作t的函数，由复合函数求导的链式法则，得因此，长度关于时间的增长率为6（cm/h).例9

设有一电阻负载，现负载功率从900W变到901W求负载两端电压约改变了多少？解由电学知即则因为自变量P由900W变到901W，变化量相对很小，所以即负载两端电压U约改变了0.1V。例10某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍数为A，闭环电路的放大倍数为，则它们二者有函数关系当时，由于受环境温度变化的影响，A变化了10％求的变化量是多少？的相对变化量又是多少？解由于时，，用近似计算，得其中的变化量约为的相对变化量约为例11某公司生产一种新型的游戏程序，假如能全部出售，收入函数为，其中为公司一天的产量。如果公司某天的产量从250增加到260，请估计公司当天收入的增加量。解公司产量的增加量用估计收入的增加量为例12

一机械挂钟的钟摆的周期为1s,在冬季摆长因热胀冷缩而缩短了0.01cm,已知单摆的周期为，其中问这只钟每天约快还是慢了多少？解因为钟摆的周期为1s,所以由解得摆长为又摆长的改变量，用近似计算得将，代入上式，得这就是说，由于摆长缩短了0.01cm，钟摆的周期相应的缩短了约0.0002s小结（1）在实际问题中，与变化率有关的问题都可归纳为导数问题，求变化率就是求导数。（2）当自变量变化很小时，可以函数的微分来近似代替函数的增量。（3）若，当变化很小时，的相对改变量为拓展与延伸1.导数的定义(1)导数定义的两种等价形式设函数在点处可导，则或例1

已知在处连续，且，求。解因为所以，当时，与是等价无穷小，即因为在处连续，所以故例2

已知求。解此题若用求导法则先求导函数，再代入值，会比较繁琐。（2）

利用导数定义可能求某些极限例3已知，，求。解例4

已知在点处可导，且，求。解由第二重要极限及导数定义，得2.分段函数的导数例5讨论函数

的导数.

解因为故函数在处的导数不存在,因此3.导数的几何意义例6

设曲线在点处的切线与轴的交点为,求解因为所以切线为令得则截距之各和等于1.例7

证明曲线上任一点的切线截两坐标轴的证设曲线上任一点为,则曲线两边对求导,得即所以曲线在点处的切线为整理即得显然切线与两坐标轴交点分别为故切线截两坐标轴的截距之和为4.求函数在某点的导数例8

已知，求。解将等式两边对求导，得将