【2022苏教版数学】《幂函数的图像与性质》

§2.3幂函数

以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1一、定义几点说明:1、对于幂函数，我们只讨论

=1，2，3，，

-1,-2,-3时的情形。2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义域随的不同而不同。幂函数与指数函数的对比看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=-x2(2)y=2x2(6)y=x3+2

练习1（7）y=1(8)1、求下列幂函数的定义域及奇偶性：（1）y=x

（2）y=x

（3）y=x

（4）y=x-2练习2：

要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数a确定下来;

二幂函数在第一象限的图象利用Excel作出下列幂函数在第一象限的图象观察（一）观察（二）观察（三）归纳幂函数图象在第一象限的分布情况：在上任取一点作轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，的值就越大。练习:如图所示，曲线是幂函数y=xk

在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________

一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下。

C4C2C3C11Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1名称图象定义域奇偶性单调性共性Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1RRR[0，+∞）R奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(0,+∞)↑(-∞,0)↓(-∞,+∞)↑(-∞,+∞)↑[0,+∞)↑(-∞,+∞)↑2、在第一象限是递增函数。1、过(0，0)点、(1，1)点。名称图象定义域奇偶性单调性共性奇函数偶函数(-∞,0)∪(0,+∞)2、在第一象限是递减函数。1、过(1，1)点Oxy11-1-1Oxy11-1-1(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)↓(0,+∞)↓(-∞,0)↑(0,+∞)↓所有幂函数y=xα（α是常数）的共性：过（1，1）点。α>0时，过（0，0）、（1，1）点，且在第一象限单调递增；小结：幂函数y=xα（α是常数）的共性：α<0时，过（1，1）点，且在第一象限单调递减；不管指数是多少,图象都经过哪个定点?在第一象限内，所有的幂函数都有定义当a>0时，图象随x增大而上升(在(0,+∞)是增函数)。当a<0时，图象随x增大而下降（在(0,+∞)是减函数）。图象都经过点（1，1）a>0时,图象还都过点(0,0)点幂函数的性质:幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中的不同而各异.１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);２.如果>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;３.如果<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;

三、练习巩固例1.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3解:(1)y=x0.8在(0,∞)内是增函数,∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8

(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3例2比较下列各组数的大小练习1比较下列各组数的大小(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较上述两个数的大小.利用幂函数的增减性比较两个数的大小