2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用（学生版）

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数

第9节函数模型及其应用

考试要求1.了解指数函数、对数函数、寡函数的增长特征，结合具体实例体会

直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如

指数函数、对数函数、累函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)

的广泛应用.

□知识诊断•基础夯实

知识梳理

L指数、对数'鬲函数模型性质比较

函数y=axy=logaXy=xn

性质（«>1）（。>1）（心0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表随〃值变化而各有

图像的变化

现为与通平行现为与X轴平行不同

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J（x）=ax+b（a,b为常数，aWO）

二次函数模型/（x）=ax2+hx+c（a,b,c为常数，aWO）

与指数函数相

J（x）=bax+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

关的模型

与对数函数相

/（x）=Z）logux+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,640）

关的模型

与基函数相关

f（x）=cixn+b（a,b,n为常数，aWO）

的模型

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常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增

长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越

来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数

学结果对实际问题的合理性.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“，”或"X”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按

九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y=2'的函数值比少=/的函数值大.()

(3)不存在xo，使a"<x6<logaxo.()

(4)在(0,+8)上，随着x的增大，丁=优伍>1)的增长速度会超过并远远大于丁=

犬伍>0)的增长速度.()

2.(易错题)已知/(x)=x2,g(x)=2S/?(%)=log2X,当x@(4,+8)时,对三个函数

的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

Ay(x)>g(x)>/j(x)

B.g(x)次x)>〃(x)

C.g(x)>//(x)>/(x)

D/)>〃(x)>g(x)

3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为

原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前

的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用

该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()

A.8B.9C.10D.11

4.(2022•江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以

用香农公式C=aog2〔对来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容

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量，8是信道带宽（Hz）,S是平均信号功率（W）,N是平均噪声功率（W）.已知平均

信号功率为1000W,平均噪声功率为10W,在不改变平均信号功率和信道带宽

的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（）

A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W

5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则

隔墙的长度为.

6.（2020•北京卷）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水

治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量〃与时间，的关系为W

用一的大小评价在⑷6］这段时间内企业污水治理能力的强

h-a

弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论：

①在［九，0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在72时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,力］，也，0，上2,旬这三段时间中,在［0,用的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

考点突破•题型剖析

考点一利用函数图像刻画变化过程

1.已知高为满缸水量为2的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，

满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为人时水的体积为。，则函数。=火〃）的大致图像

是（）

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HhO\

A

2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情

况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量｛x）与时间

7

-----x+1,

20

x（天）之间的函数关系於）='191

记忆保持量

0.8

0.6

0.4

0.2

24681012

则下列说法错误的是（）

A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

3.（2022•郑州质检）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度

如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论

断：

蓄水量

1

时间123456时间

甲丙

①0时到3时只进水不出水;

②3时到4时不进水只出水;

③4时到5时不进水也不出水.

则一定正确的论断是（填序号）.

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4.（2021・西安调研）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规

律，统计显示，生长4年的树高为:米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长

时间（年）与树高丁（米）之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：®y=2'-ai

②y=a+log2f；③y=5+a；④y=3+a中（其中。为正的常实数），拟合生长年数

与树高的关系最好的是（填写序号），估计该树生长8年后的树高为

________米.

，y

4

3.

2.­**

1•

oli立*ZSI17

考点二二次函数模型

例1（1）某汽车销售公司在48两地销售同一种品牌的汽车，在工地的销售利润（单

位：万元）为刈=4.卜一0.52,在6地的销售利润（单位：万元）为》=2x,其中x

为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的

最大利润是（）

A.10.5万元B.l1万元

C.43万元D.43.025万元

（2）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本。（单位：元/100kg）

与上市时间/（单位：天）的数据如下表：

时间t60100180

种植成本Q11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t

的变化关系：

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=ab',

Q=a\ogbt.

利用你选取的函数，求：

①西红柿种植成本最低时的上市天数是；

②最低种植成本是元/100kg.

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训练1（1）（2021•广州模拟）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生

产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数。的函数，K（Q）

=40。一短。2,则总利润乂。）的最大值是万元.

（2）某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为7?%（即每销售100

130—

元征税火元），若每年销售量为I2J万件，要使附加税不少于128万元，则及

的取值范围是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

|考点三指数、对数函数模型____________

例2（1）一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有:的质量发生衰变.

若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是（）

A.6B.5C.4D.3

（2）（2021•唐山联考）尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，己

经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级M

之间的关系为lgE=4.8+1.5M.

①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5

级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为

“破坏性地震”，若某次地震释放能量约10时焦耳，试确定该次地震的类型；

②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本

地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？（取加=3.2）

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训练2(2021•贵阳调研)一片森林原来面积为“，计划每年砍伐一些树，且每年砍

伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环

境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原来的也.

42

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

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考点四分段函数模型

例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小

型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本四（x）万

元，在年产量不足8万件时，做x）=$2+x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）

=6x+期-38（万元）.每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能

X

全部售完.

⑴写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售

收入一固定成本一流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多

少？

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训练3某校高三（1）班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个

社会实践小组，决定利用暑假八月份（按30天计算）轮流换班去销售一种时令水果.

在这30天内每斤水果的收入p（元）与时间/（天）满足如图所示的函数关系，已知日

销售量0（斤）与时间/（天）满足一次函数关系（具体数据如下表所示）.

（1）根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p（元）与时间/（天）所满足的函数

关系式及日销售量。（斤）与时间/（天）的一次函数关系式；

⑵写出销售水果的日收入y（元）与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收

入最大？最大为多少元？

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I分层训练•巩固提升

1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3

年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间/（年）的函数关系图

像正确的是（）

CtcCC

ABCD

2.（2022・绵阳诊断）某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000

万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时,

按销售利润进行奖励，且奖金六单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而

增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知

识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021。°°心7.37,

1g7心0.845）（）

A.y=0.25xB.y=1.002*

,k-i]

C.^=log7x+1D.y=tanll0J

3.（2021•全国大联考）如图，矩形花园Z8C。的边N8靠在墙尸0上，另外三边是由

篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙尸。足够长，则围成该花园所需

要篱笆的（）

Q

A.最大长度为8米

B.最大长度为4啦米

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C.最小长度为8米

D.最小长度为4啦米

4.（2022・兰州质检）设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%,如果光线原来的强

度为左（Q0）,通过x块这样的玻璃以后光线的强度为小则y=/0.9'（xGN+）,那

么光线强度减弱到原来的;以下时，至少通过这样的玻璃的块数为（参考数据：

lg3po.477）（）

A.9B.10C.llD.12

5.（2021・济南检测）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）

与声音强度x（单位：W/n?）满足d（x）=91g[x：0_13•一般两人小声交谈时，声音的

等级约为54dB,在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB,那么

老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）

A.1倍B.10倍

C.100倍D.1000倍

6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误

的是（）

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同

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D.前6个月的平均收入为40万元

7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期

望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度用单位：米）与时间（单位：s）

之间的关系为/?（/）=-4.9/2+14.7z+17,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地

面高度约为米.

8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这

四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单

顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，

则x的最大值为.

9.（2021・武汉模拟）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一

起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率

为2.25%,若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这

1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息元.

（参考数据：1.02255^1.118,1.04015比1.217）

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10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，

该种鸟类的飞行速度。(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为V=a+〃og3*(其

中a,6是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量

为90个单位时，其飞行速度为1m/s.

(1)求出a,b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个

单位？

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11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享

单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要

投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足产

P-a+2,80/W120,

=44五一6,乙城市收益。与投入a（单位：万元）满足0="

32,120<aW160,

设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为"）（单位：万元）.

⑴当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；

（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

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12.（2022・保定质检）分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间

的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导

致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷

的电荷量为q,这两个相距火的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用

能U,其计算式子为品炉.（）+-------J——-1—）,其中，品为静电常

RR+X\—X2R+X\R-