2023年高考数学复习讲稿之第12讲 破解离心率问题之内切圆问题（解析版）

第12讲破解离心率问题之内切圆问题

参考答案与试题解析

一.选择题（共20小题）

1.已知双曲线区的左、右焦点分别为昌昌点即双曲线的右支上，△属二|的内切圆

的圆心为®且巨三二则双曲线的离心率为uu

囚D.S

【解答】解：过点13作国］的垂线，垂足为口1回

设圆中卵切于点印,3

则回

，即|百寸则

目?双曲线的右顶点重合,

解得I亩…”|,同司

故离心率为：'~'

故选：口:

2.如图，已知双曲线冈的左、右焦点分别为昌昌直三|，国是双曲线右支上

的一点，|囚|,直线同与曰由交于点日国二）的内切圆半径为1,则双曲线的离心率是后Q;

sC.同D.2

［解答］解：向三三］，回口的内切圆半径为1，

在直角三角形I囚甘,I冈一

可得S

由双曲线的定义可得

冈.....—

日由图形的对称性知:

I囚

I~j]1■

的左、右焦点分别为昌图点中椭圆单，△国一|的重心为口1若

13T；且区I，则椭圆单离心率为uu

A.日B•件c同叩

【解答】解：因为△向口的重心为日所以耶国上且国三

耳1是△国二|边巨|上的高，耳|是△巨］的内切圆自勺半径，

所以I刁：|,所以离心率为囚

故选：E3］

4.已知双曲线S的左、右焦点分别为囱国0口是双曲线右支上两点，且

,设△国二|的内切圆圆心为［J△臼一］的内切圆圆心为广直线臼与线段同交于点日且

用B.国c.同D.回

【解答】解：如右图所示:

山题意知国为国三|的角平分线，由角平分线的性质得S

因为旧所以冈…--......,

山双曲线的定义得

因为I网］,所以巨二］,1冈"卜由双曲线的定义得［目:;…I，

由在国△向口中，।刃

即I冈一I,所以［国：；］：,1

故选：

5.设椭圆冈...........的焦点为昌昌昌是椭圆上一点，且0,若△而口的外接圆和

内切圆的半径分别为®Q当耳二I时，椭圆的离心率为u[J

A•件B•件C.件D.Q

【解答】解：椭圆的焦点为|冈].|[7]4I冈…卜

根据正弦定理可得因一..........，

I叼，三W•

设ITT|，|7][■则I』I,

由余弦定理得，0

解得：叵|或目二|：（同上

故选：口

6.已知点国是椭圆冈.....上一点，点回昌法椭圆崩左、右焦点，若△向二|的

内切圆半径的最大值为寻，则椭圆口的离心率为uu

A.冈！B.冈：C.冈iD.1*1i

【解答】解：设△国二|的内切圆的半径为耳则团

而S

所以

7.已知昌国分别为双曲线司的左、右焦点，过点目1勺直线与双曲线国的右支交于

母国两点国在第一象限），若△巨1与△巨］内切圆半径之比为耳，则双曲线离心率的

取值范围为g

A.印B.印：C,回|D.

【解答】解：如图，由题意设△目二］与△目［］内切圆圆心分别为口），目对应的切点分别是呆日

设直线耳的倾斜角为小则土........,S

,......I-1----

结合S’…，得冈，所以向

则要使直线可与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足0

所以因

故囚不［即为所求.

故选：Q

8.已知双曲线回一”的左、右焦点分别为国Q］过右焦点作平行于其中一条渐近线的直

线交双曲线于点日若

A.国B.2c.同D.3

【解答】解：设双曲线的左、右焦点,

设双曲线的一条渐近线方程为5］：

由三角形的面积的等积法可得,

a

化简可得冈1，

山双曲线的定义可得向

在三角形（厚忡,回一

闩科直线同的倾斜角）,

由①②®化简可得I囚

-----------------1,

所以与二1,（舍U耳二I，

所以离心率产!

故选：口：

9.已知双曲线，点国I是该双曲线右支上的一点.点回廓别为左、右焦点，直

线同与日耕交于点肚|底1I的内切圆在边向上的切点为岛若I网则申离心率为后B

A.1|B.3C.国D.|一

【解答】解：由双曲线的方程知，|囚|,国二，

设内切圆与同，国分别相切于点日m［冈

由内切圆的性质知，［冈-------［,|冈L-.....卜

由对称性知，冈

由双曲线的定义知，冈

s

港心率

故选：L3]

io.设椭圆।的焦点为曷目E3是椭圆上一点，且0，若△同一|的外接圆

和内切圆的半径分别为口目当目一।时,椭圆的离心率为uu

A•件B•件c•件"0

【解答]解:椭圆的焦点为向三三；I冈慈叫向

a

根据正弦定理可得

，S

设:

由余弦定理得，0

故选：R

II.过双曲线的右焦点同勺直线在第一、第四象限交两渐近线分别于已事点，且

I冈..[^9坐标原点，若[7]|内切圆的半径为件则该双曲线的离心率为口；Q；

B-0C.同D.|囚

【解答】解：如图，设囚的内切圆圆心为目,则闫在r型上,过点:反分别作|问,一卜丁导|冈-1

冈

费点I区臼到渐近线0辛］的距离

又［国「卜囚

小-冈-------------，-生------回---S出

耳芦心率回^

故选:阿

12.已知双曲线冈的左、右焦点分别为国目点即双曲线的右支上，△臼|的内切圆

的圆心为B|冈］,则双曲线的离心率为uu

A.目B.冈C.国D.目

【解答】解：如图，

'I-"

S

耳产曲线的离心率为

故选：日

13.已知椭圆冈的焦点为国目日是椭圆上一点，且I1,若

A•件B•件C书。•甘

【解答】解：由题意，冈…一

所以因’，即日

在三角形直肿，国,"

0

解得I,则S

1

S1

所以,整理可得I冈I，解得因「或耳（舍去）,

所以椭圆的离心率I区11

故选：臼］

14.已知点昌国别是双曲线回■"的左、右焦点，点国是支上的一点.直线同

与臼刎交于点R向三1的内切圆在边回上的切点为序若I冈1；则口的离心率为［JU

£B.3c.国D.国

【解答】解：双曲线回的|W

4五二I的内切圆在边耳上的切点为M在边面上的切点为M

如图可设

由双曲线的定义可得区

即有I.

所以叵T

故选：口］

15.已知点昌昌F椭圆S的左、右焦点，点口是椭圆上位于第一象限内的一点，经过

点国△巨型内切圆圆心目的直线交®i于点号且旧卜则该椭圆的离心率为uu

A•件B•日。•件。•件

【解答】：△国二|内切圆的圆心日则弹三角形的角平分线的交点,

由角平分线定理可得冈

右支上的一点，Q]回了别是双曲线的左、右焦点，点斗△目二!

的内切圆圆心，记[五J，国二△巨]的面积分别为@回团若冈恒成立，则双曲线的

离心率的取值范围为年U

Ac

-H]SiB.昌国-[JH]D.[冈

【解答】解：设△回二]的内切圆半径为耳则叵1，冈L0,

所以因所以国

故选：日

17.点星是双曲线冈右支上的一点，回木别是双曲线的左、右焦点，点即△目二!

的内切圆圆心，记向二I，叵二△叵]的面积分别为昌回回若冈恒成立，则双曲线

的离心率为U]

B.国

【解答】解:设△国二|的内切圆半径为耳

则区1,S，回

所以同

所以Fj~l,所以可，

故选：R

18.已知双曲线*1........的左、右焦点分别为团Q|点近是双曲线中的一点，若

五且△wi外接圆与内切圆的半径之比为「司,则双曲线口的离心率为uu

A.p[B.[臼]C.围D.2

【解答】解：设△臼外接圆半径为日内切圆的半径为耳

故选：巳

A.匹jB.|回jC.D.

【解答】解：设

因为,所以在三角形目口中,

由余弦定理可得：响

则且_

故选：口

20.已知椭圆区的左、右焦点分别为昌昌点印9已上一点冈△［五

的内切圆与外接圆的半径分别为他住若目二口，则中离心率为£口;

。・目

由等面积法可得0

整理得困

,故冈

因为31所以国'

故选：口）

二.多选题（共2小题）

21.过双曲线□的右焦点耶直线出直线算双曲线口的一条渐近线垂直，垂耳足

为已直线朝另一条渐近线交于点叵］,木曲响侧）.设单坐标原点，则下列结论正确的有£［J

A.|冈•士|

B.若双曲线邯一条渐近线的斜率为件则双曲线臼的离心率等于2

区则双曲线学一条渐近线的斜率为可

C.若

D.若臼~一|的内切圆的半径为曰~］,则双曲线单离心率等于H1

【解答】解：由题意如图所示:二可神日”

所以S,所以品正确;

।件即［冈］所以离心率

由双曲线日向一条渐近线的斜率叫0,所以日

不正确;

0||,由题意可得区］--，所以可得臼，卜则

可得回二2

而直线导的方程为S与渐近线I囚卜立可得尸―yI

回”

所以，可得S,I囚整理可得:I冈

W或可|,所以中正确;

解得

口力，若母中日刎同侧，不妨设中第一象限・

如图，设|不一一|内切圆的圆心为闩则闩I在日门的平分线旧上,过点可分别作「］「0］［刁

于a

由IFI得四边形闫~1为正方形,由焦点到渐近线的距离为明工一］,又［冈大所以向寸

II'

S

,所以

所以a,从而可得s，故品确;

故选：Iy|l-

22.已知双曲线区的左.右焦点分别为国13过中直线与双曲线交于日

日两点，半第一象限，若臼为等边三角形，则下列结论一定正确的是uu

A.双曲线口的离心率为国B.7］］的面积为I『］

C.C、|内切圆半径为|冈D.△国二［的内心在直线与二］上

【解答】解：对于口设△瓦］的内心为口过曲目，目］,可勺垂线,垂足分别为臼］曰］□

如图:

则|厚-----------|，所以向三小则△［冈蓝的内心在直线|鬲故国必确;

国垂直于邙血可得|因

因为臼一|为等边三角形,当|餐品都在同一支上时，则j

△臼~~I的面积冈

则由等面积法可得0

当日tg都在双曲线的左，右两支上时，设向二三

目三三］,山双曲线的定义可知同…....三,得|刁-

在△国口中由余弦定理,冈得m

△［冈事面积回>

：*wsn,g，3'

设内切圆的半径为日则s,得□，故|"7］忤背误；

而不论什么情况下△五1勺面积为宜二故即确.

故选：IT|l-

三.填空题（共16小题）

23.椭圆冈的左、右焦点分别为昌回过点即直线交椭圆中口口两点，口

।----।：：：丁••,

口^点的坐标分别为国，国，目，目，若S，且I回|内切圆的面积为国则椭圆目的离

心率为冈

【解答】解：（1）由性质可知△不"|的周长为国,内切圆半径为1,

则

f—IH.rr"-....—

X|

,可得IG1:,即0

故答案为:

24.双曲线s的离心率是回，点昌穿该双曲线的两焦点，中双曲线上，且I区::轴,则

的内切圆和外接圆半径之比同二S

△3—

【解答】解：山|国，］

卜得I寸I，则IX

!—1

因为02亚轴,所以囚,所以।闩"工------7

所以△后面的内切圆半径为0........，

△瓦3的外接圆半径为冈......二

所以的内切圆和外接圆半径之比区...........一

故答案为：凶―.

25.过双曲线冈...........右焦点印直线口且直线算双曲线四一条渐近线垂直，垂足为

口直线静另一条渐近线交于点M已知单坐标原点，若与u的内切圆的半径为冈，则双曲线日

的离心率为_1或2.

【解答】W：(1)若品品在月初同侧，不妨设即第一象限.

如图，设耳二I内切圆的圆心为㈢I，则因在与二3的平分线回上，过点目分别作回三Z□于邳口^1；*：•—，t|t

于他

由|刁I得四边形I为正方形，由焦点到渐近线的距离为丽苗一~|,又I冈卜所以向“，

又国………L|,所以|国'……:

I■......,--....................

所以冈，从而可得区；

(2)若品；母E口刎异侧，不妨设即第一象限如图，易知I冈|冈求|冈:书田书

所以向二］的内切圆半径为冈，

所以I区一----——

则S,从而可得

综上，双曲线口的离心率为

故答案为：2副冈士

I区

由题意可得

所以可知H即IF

可得I冈’

a•

________

故答案为：区U

27.已知点昌即椭圆冈...........的左、右焦点，点品是椭圆上位于第一象限内的一点，经过

点日与△鼠n的内切圆圆心日的直线交庄力于点导且I冈卜yI，则该椭圆的离心率取值范围

为月耳

【解答】解：△向口内切圆的圆心口则芈三角形的角平分线的交点，

故答案为：＞

28.已知椭圆：回.........的左、右焦点分别为国国单椭圆上的一点，回与椭圆交于品若

△巨］的内切圆与线段［司在其中点耳处相切，与同切于国则椭圆的离心率为耳.

【解答】解：可为目的中点,

0......................,

半巨］的内切圆与线段同在其中点耳处相切，与向|切于回

母Lj内切圆的性质可得，|冈”一3

国为椭圆上的一点，

韭rs，a

设^q的内切圆与同切于日

结合内切圆的性质可得，0

百~~I与椭圆交于显

国1，回为切点，

即।内切圆的性质可得，且_____

【解答】解：设扁一|的内切圆的圆心为国，囱、同与圆目।勺切点分别为口臼］

连结耳I、耳1、同,

由题意得百二

司—

Ik

则国

30.

冈

线眸过国］交过子已争f点.记向4则口的离心率为—

【解答】解：不妨设半第一象限,

把臼芈啊乎丑子老二

|司H内切圆的半径为厚

可得s；可得回

旦胸圆的离心率［冈一］

故答案为：

31.已知双曲线冈..........的左，右焦点分别为［由固直线口过点小由交于点口，与

双曲线值勺右支交于点鸟］的内切圆与边同切于点回若|问~~|，则双曲线中离心

率为-0--

【解答】解：根据题意画图：

设国臼曾别为国二|内切圆与国，同的切点，

根据双曲线的定义|冈

又I国一

故答案为：目.

32.椭圆冈短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径

则该椭圆的离心率为

【解答】解：由椭圆囚一一一短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积耳三｝，

该三角形的周长为I』I，由题意得S.........,即IF卜

所以回i

故答案为：件

33.已知点邱双曲线冈........的左焦点，单该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点艮

作厂司的垂线交T可于点「法若中为线段臼的中点，且与~~1的内切圆半径为国，则该双曲线

的离心率为国|.

［解答］解：设|冈；）।冈：3卜

由题意知I,点中渐近线叵j上，点中渐近线叵1"上，

因螂*同m同

化简得，囚

中心率因

故答案为：Q-

34.已知抛物线百二|的准线与双曲线S的渐近线分别交于®曰两点，口是坐

标原点.若耳二1的内切圆的周长为胃则内切圆的圆心坐标为—昨_回一，双曲线图的离心率为.

【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：可,

由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为

设三角形可1的内切圆半径为G则

所以圆心坐标为耳目