2023年高考数学大招6对数单身狗

大招6对数单身狗，指数找基友

大招总结

对数单身狗：若题目中出现g(x)=/(x)」nx,我们在求g(x)的性质时，如果直接求导,

导函数里面依然会有Inx,这时需要求多次导，题目越来越复杂.为了解决这个问题，我们

只有“狠心”拆散“X)和Inx,将/(力提出来，使Inx的系数为常数，次数为1,此时

Inx变成一个"单身狗”

指数找基友：若题目中出现g(x)=/(x)-ex,若我们直接求导，即g'(x)=/'(x)-巴

可见求导之后依然有el很难求出极值点.但我们可以使用做商的办法，构造一个

[上⑴]J'@—①,达到简化目的，增大极值点的可求性.所以，我们在证明e工大

|exex

于或小于一个非超越式/(x)时，可以做商构造出了(x>e-*,可以避免多次求导，这也是

在给e,.找基友.

为了更好地让同学们理解“对数单身狗，指数找基友”，我们来看一道例题：

例：求证：ex-2x>x2lnx

方法1：对数单身狗

我们将/和Inx分离开

el-2xev-2x

-.x>0,则原式可化为尤，即—inx>0.

xx-

、-e'-2x,,(ev-x)(%-2)

设/(x)=-3——In尤，/'(x)=^-----4------

xX

Xer-%>0,

令r(x)=O,解得x=2.

.［当xe(0,2)时，/V)<0,/(x)递减

当xe(2,+8)时，/'(x)>0,/(x)递增

mn//、r/c、e~—4—41n2e"-7

则/(X)min=/⑵=----------->[—>0.

综上所述:ex—2x>x2Inx-

方法2:指数找基友

6'-21>尤21111可以化为6-*卜2111_1+2犬)-1<0

设/(x)=e-v(x2Inx+2x)-1

对〃x)求导:

则/'(%)=e-A(-x2Inx-x+2xInx+2)=e-A(2-x)(xlnx+1)

又---xlnx+1>0

令r(x)=0,解得x=2.

・•・当xe(0,2)时，r(x)>0,/(X)递增

当xe(2,+8)时，r(%)<0,/(x)递减

7

则/(X)gx=/(2)=e-2(4+41n2)-l<--l<0.

e

综上所述：ex—2x>x2Inx-

对比这两种方法，有没有觉得思路开阔了很多？我们再来看几个题，让大家把这两种方法理

解透彻.

典型例题

例1.(2020-全国I卷文科)已知函数/(x)=e*-a(x+2).

(1)当a=1时，讨论/(%)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

解：方法1:由题意，/(x)的定义域为(-oo,+oo),且广(x)=e"-〃.

⑴当a=l时，1⑴=e”-l,令/(x)=o,解得X=O.

•:当xw(—8,0)时，<0,f(x)单调递减，

当xe(0,4-oo)时，fr(x)>0,/(x)单调递增.

・'./(x)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增；

⑵当知0时，广⑴=eJ〃>0恒成立，/(%)在(_8,+8)上单调递增，不合题意；

当。>0时，令广(X)=0,解得x=ln〃，

当x£(-co,Ina)时，/(x)<0,/(x)单调递减，

当工£(In67,+oo)时，/(x)>0,f(x)单调递增.

f(x)的极小值也是最小值为了(Ina)=a—a(lna+2)=—a(l+lna).

又当X—>一00口寸，f(x)f+8,当X—>+00时，f(x)f4~00.

・•・要使/(x)有两个零点，只要/(Ina)v0即可，

贝i」l+lna>0,可得

e

综上，若/(x)有两个零点，则。的取值范围是［,+8).

方法2：由题意可知，e'-a(%+2)=0有两解

我们先来判断。是否可以等于0：

当。=0时，/(x)=0无解，不符合题意，所以

令y(x)=o,即工=生工有两个零点，

aeA

令g(%)=*+2，贝|Jg,(%)，贝ljg(x)在(—oo,—l)单调递增,在(―1,~HDO)单调递

eAex

减

又因为当x>—2时，g(x)>0,x<-2时，g(x)vO,易得0〈上〈二，解得a>L

aee

例2.(2020-沙河口期中)已知函数/(%)=(2x-2a+,aeR.

⑴若a=2时,求证：当x..l时，r(x)..4(xT)d；

⑵若不等式/(x)-2x+l..O恒成立，求实数。的取值范围.

解⑴证明：当。=2时，/。)=(2%-3成-2,则/，(x)=4(x-1熄一2

欲证广(%)..4。-1)/，即。-1把21..(%_1)%2,故只需证明e2,-2,/，两边取对数,

即证x-nx,x1,

该不等式显然成立,从而当工.1时，广(%)..4(%-1)%2；

(2)/(X)—2尤+1..0‘恒成立，即2X-24+1..0'恒成立，

、n2r-le2(e2A-a+2x-2)

设g(x)=2x—2a+l—则g，(x)=-^~———

只需讨论函数A(x)=e2x-a+2x-2,

因为/i'(x)=2e2j-fl+2>0,所以/?(x)单调递增，

h(l)=e2-u>0,欲取一点，x<0,使得k(x)<0,

e2v-fl=e2Ae-fl<e"

2+e~a

因止匕e2-1'-0+2x-2v+2x-2,0,取％=-------,

因此在(一带二,1)之间存在唯一零点乱，使得〃(％)=e25a+2瓦—2=0,

则

a=2x0-ln(2-2x0),

故8(工)在(-0,%)上单调递减,在(%,+00)上单调递增，

2x—12x—1

所以g(x)min=g(%)=2%-2a+l一一籍=21n(2-2%0)-2尤()+：1-,占<1,

eR2-2%

设匕贝只需即九

2—2/=Ug(x)min=21n/+f—L.O,.1

止匕时a=2-/-ln&1,由此可得实数。的取值范围是a,,1.

例3.(2019-全国联考)已知函数/(x)=e、-a(x-l),aeR,e为自然对数的底数.

⑴若存在％e(l,+8),使〃/)<0,求实数。的取值范围；

⑵若/(X)有两个不同零点怎,％2,证明：%+%2>不工2・

解(1)方法1.f\x)=e-a.

①若6,0,因为e'>0,则f(x)>0,此时y(x)在R上单调递增.

当X€(l,+oo)时，/(x)>/(l)=e>0,不合题意.

②若a>0,由f\x)>0,得e*>a,即x>lna,则f(x)在(Ina,+oo)上单调递增,

在(—OO,Ina)上单调递减,

所以/Wmin=f(Ina)=eln<,-a(lna-l)=a(2-lna).

据题意，4则lna>2,即a%,所以。的取值范围是(e2,+oo).

e"

方法2：当xe(i,+8)时，由/(尤)<0,得e*<a(x-l),即a>---

x-1

设g(x)=>1),据题意，当xe(1,+8)时，a>g(x)能成立,

x-l

则a>g(x)mi…

ex(x-l)-eA(x-2)e*

因为g'(x)=(X>1),

d)2(—A

则当x>2时,g，O)>0,g(x)单调递增；当1cx<2时，g<x)vO,g(x)单调递减.

所以g(x)mm=g(2)=e2,故。的取值范围是卜2,田).

方法3：

要想证明e*-a(x-1)<0,即证g(%)=1-优一工(％—1)<0

对g(x)求导，即g'(x)=ae-x(x-1)-ae~x=ae~x(x-2),^*(2)=0

当6,0,

1<K,2时，g(x)单调递增

x..2时，g(x)单调递减

则g(l)=l>0,

当X—口寸，^(x)=l—a—~^—>1,不符合题意

ex

则当a>0,

1<A；,2时,g(x)单调递减

"2时,g(x)单调递增

所以g(x)..g⑵=1-3

e

由题意可知，g(2)<0,则a>e2.

⑵由题设，小)=/㈤=o,即：=£_；)，

V|2

则e-e*=a(斗-l)(x2-l),

即e'+当=a2_玉_/+1).

要证%+%2>%%2,只要证e*'+f<4,即证X+迎<21na,即证再〈Zina-%.

不妨设玉<%，由(1)可知，a>e2,且％<lna<%2,从而Zin。-%<ln。.

因为/(X)在(Yo,In4)上单调递减，所以只要证/(%)>f(21na-x2),即证

〃/)>/(21na-W)・设Vx)=f(x)-f(21na-x),则

〃(无)=r(x)+f(2lna-x)=ex-2a+e2"10"1=e'+—-2a..2jex---2a=2a-2a=0

exveA

所以力(x)在R上单调递增.因为％2>lna,则

为(%2)>〃(lna)=/(Ind)-/(Ina)=0,

^f(x2)-f(2lna-x2)>0,即〃毛)〉〃21na—%2),所以原不等式成立.

自我检测

1.(2016-全国卷I)已知函数/(%)=(%-2)e'+a(x-1旧有两个零点.

(1)求。的取值范围；

⑵设8,乙是/(x)的两个零点,证明：xt+x2<2.

答案：

⑴若a=0,那么/(x)=0o(x-2)e*=0ox=2,函数f(x)只有唯一的零

点2,不合题意；

(2)若a>0,那么ex+2a>Q恒成立，当%<1时，f'(x)<Q,此时函数为

减函数；当x>\时，f'(x)>0,此时函数为增函数；此时当x=l时，函

数.f(x)取极小值一e,由.f(2)=a>(),可得：函数/(无)在x>\存在

一个零点；当x<l时，

ev<e,x-2<-l<0,/./(x)=(x-2)ev+a(x-I)2>(x-2)e+a(x-I)2=a(x-I)2+

e(x—1)—e,令a(x—l)~+e(x—l)—e=O的两根为,/2,且<t2,则当

2

x<tt,或x>t2时，/(x)>a(x-l)+e(x-l)-e>0,故函数/(x)在%<1

存在一个零点；即函数/(x)在R是存在两个零点，满足题意；

(3)若一£<a<0,则ln(-2a)<Ine=1,当x<ln(-2a)时，

2

x-l<ln(-2a)-l<lne-l=(),ev+2«<eln(_2o)+2a=0,即

r(x)=(x-l)(e'+2a)>0恒成立,故/(x)单调递增，

当ln(—2a)<x<l时，x-l<0,et+2a>eln(-2fl)+2«=0,即

r(x)=(x—D(e'+2a)<0恒成立，故/(龙)单调递减，当x>l时，

x-l>0,et+2«>eln(-2(,)+2a=0,即_f(x)=(x—D(e'+2a)>0恒成立，故

/(x)单调递增，故当x=ln(-2a)时，函数取极大值，

由/(ln(-2«))=[ln(-2«)-2](-2«)+fl[ln(-2«)-I]2=a{[ln(-2a)-2『+1}<0得:

函数/(x)在R上至多存在一个零点，不合题意；

(4)若a=--,则ln(-2a)=l,当x<l=ln(-2a)时，

2

x-l<0,ev+2a<eln(-2fl)+2。=0,

即r(x)=(x-l)(e*+2a)>0恒成立，故/(x)单调递增，

当x>l时，x—l〉0e+2a〉即％)+2a=0,即/(x)=(x—I)(e*+2a)>0

恒成立，故/(%)单调递增，故函数/(%)在R上单调递增，函数/(%)在

R上至多存在一个零点，不合题意；

(5)若a<~—,则ln(-2a)>Ine=1,当x<\时，

2

v

x-\<0,e+2a<+2«=0,

即/,(x)=(x-l)(e'+2«)>0恒成立,故f(x)单调递增，

当l<x<ln(—2a)时，x-1>0,e'+2a<e,n(-2a)+2a=0,

即f'(x)=(x-l)(e'+2a)<0恒成立，故f(x)单调递减，

当x>ln(-2a)时，x-1>0,ev+2a>e"1(-2(i)+2a=0,

即/,(x)=(x-l)(e'+2«)>0恒成立，故/(x)单调递增，故当x=l时，函

数取极大值，

由/(l)=-e<0得：函数/(%)在R上至多存在一个零点，不合题意；

综上所述，a的取值范围为(0,+oo).

证明：(2)•”,％2是/(X)的两个零点，・,・/(%)=/(工2)=0，且再。1，且

2,_”也浮二-2呼人、(、-2片

令g((")=EF'则

(%-1)(々T)

/\/\[(x-2)2+lleA

g(%)=g(X2)=—。，g(x)=^~:~

(XT)

*,.$$当x<\时，g，(x)<0,g(x)单调递减；当x>\时,g<x)>0,g(x)单

调递增；设m>0,则

\"—Il—ITl—I]_帆721+1(YYl—\2m八

g(l+m)—g(l)"+/M----—e1〃'二--e1--e-w+l,

m~m"m"<加+1)

设h(m)=^^e2,n+l,m>0,则h'(m)=2m,e2m>0恒成立，即h(m)在

m+l(m+1)

(0,+co)上为增函数，/z(m)>/z(0)=0恒成立，即g(l+〃z)>g(l—m)恒成立,

令m=l-x]>0则g(l+l—%)>g(lT+

jc1)<=>g(2-A1)>(g(x1)=^(x2)<=>2-^>A^,即x,+x2<2.

2.（2018-厦门质检）已知函数/（%）=3T）e',aeR.

⑴讨论/（x）的单调性；

⑵若a=l,求证：当x>—1时，f（x）..eAln（x+1）-x-1.

答案：

⑴依题意，/（%）的定义域为（-00,+8）,./（无）=（依+〃-1把”,

(1)当a=0时，..（无）=-e*<0J（x）在（-oo,+oo）单调递减；

⑵当a>0时，当x<-时，/（无）<（）,当x>—时，/'（x）>（）,

aa

.../（无）在（—8,蜉）单调递减，在［9,+8）单调递增；

x0,

⑶当a<0时，当〈匕区时，八处>当x>—时，f（x）<o,

aa

/（X）在18,宁）单调递增，在l9-00］单调递减;

综上，当。=0时，f（x）在（-00,+00）单调递减；当a>0时，“X）在

'-8,上空］单调递减，在

+00)单调递增；当«<0时，/(X)在［-双上卫］单调递增，在f—,+00^

Ia)\a；

单调递减；

(2)当々=1,要证明/(x)..e〔n(x+l)—x—l,即证明

(x-l)eA..evln(x4-l)-x-l,

Vev>0,.\只需证明x-l..ln(x+l)-(x+l)e-\即(x+l)e~x-ln(x+l)+x-l..O,

设g(x)=(x+l)e-v-ln(x+1)+X-1,则

i(］、x(e'-x—1)

gf(x)=-xe~x-----+l=-x©t------=-----------,设/z(x)=ev-x-l,贝ij

x+1］X+1J(x+l)ev

"(x)=e“-1,.,.当-l<x<0时,hr(x)<0;当x>0时,hr(x)>0；h(x)

在(-1,0)单调递减，在(0,+oo)单调递增；九(0)=0,

当一l<x<0时，g，(x)<0;当x>0时，g，(x)>0;;.g(x)在(-1,0)单调

递减，在(0,+℃)单调递增g(x)..g(0)=0,；.当%>-1时，

exln(x+l)-x-l.

3.(2011-全国卷)已知函数/(幻=咏+2,曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线

x+lX

方程为x+2y—3=0.

⑴求a/的值；

⑵如果当x>0,且xwl时，/(*)>皿+幺求K的取值范围.

X—1X

答案：

由题意/⑴=1,即切点坐标是(1,1)

\X+1

-Inx

b