第5章-离散型概率分布课件

实践中的统计花旗银行（citibank)是美国花旗集团的一个分支机构，提供包括银行支票、储蓄、贷款、保险、投资等在内的广泛的金融服务。它是美国最早引进自动柜员机(ATM)的银行之一，花旗银行的客户80%的交易都是通过ATM自动柜员机来完成。每个花旗银行的卡务中心都且套排队等候系统，银行定期对卡务中心的客流量进行分析，以决定是否需要增加新的ATM机，

根据花旗银行的统计数据显示：随机到达的顾客人数服从泊松分布。利用泊松分布，花旗银行可以计算在任意时间段内到达的一定人数的概率，从而决定是否需要相应增加ATM机的数目。

如令X代表1分布内到达的客户人数。假设平均每分钟内到达某个卡务中心的人数为2，右表显示了1分钟内到达人数的概率：本章要点:第5章离散型概率分布随机变量离散型概率分布数学期望与方差二项概率分布泊松概率分布超几何概率分布

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，需将随机试验的结果数量化。随机变量的引入

一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；

另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果。

试验结果可以数值化。有些试验结果与数值有关的例3.七月份广州的最高气温；1.每天广州站下火车的人数；2.每年12月份广州发生交通事故的次数；4.

一部电梯一年内出现故障的次数…。结果有可能为:1,2,3,4,5或6.

实例6

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

5.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.实例7

出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例8

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.

“太阳不会从西边升起”,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例例1:抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，将这两个结果对应到实数如下：还有些试验结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果的例,如:例2:

连续抛掷一枚均匀的硬币3次,所有可能的样本点为:{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}若用X表示出现正面向上的次数，则上述结果都可用X的取值来表示：例3:袋中有6个大小形状都一样的球,其中3个是白球,3个是黑球,现从中任取3个,分别求下列结果的概率："3个都是黑球"、"3个都是白球","2个白球1个黑球"、"2个黑球1个白球"若用X表示取出结果中含白球的个数，则上述结果都可用X的取值来表示：随机变量(randomvariables)定义:随试验结果变化而变化的量符号表示:随即变量用X、Y、Z来表示分类:根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量随机变量X

取有限个值所有取值都可以逐个列举出来x1,x2，…离散型随机变量的例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品电脑公司一个月的销售观察到商店购买某种商品的顾客的性别取到次品的个数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…男性为0,女性为1连续型随机变量随机变量X

取无限个值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件去车站等车,车每隔5分钟一班测量一个产品的长度使用寿命(小时)等车时间测量误差(cm)X00

X5X0练习判断下列随机变量的可取值及判断随机变量是离散的还是连续的。离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示Xx1，x2

，…，xn,…

f(x)f(x1)，f(x2)

，…

,f(xn),...

f(xi)=P(X=xi)称为离散型随机变量的概率函数,满足:

xf(x)00.1810.3920.2430.1440.0450.01合计1例1：某汽车公司一天中汽车销售量X的概率分布,根据过去300天的销售记录显示:

54天一辆汽车都没卖出

117天只卖出1辆汽车

72天卖出2辆汽车

42天卖出3辆汽车

12天卖出4辆汽车

3天卖出5辆汽车例2:

投掷一枚骰子，出现的点数X是个离散型随机变量，其概率分布为X

123456f(x)1/61/61/61/61/61/601/6f(x)1x23456均匀分布练习连续抛掷一枚均匀的硬币3次,若用X表示出现正面向上的次数,试写出X的概率分布.X0123f(x)1/8

3/83/81/8练习下表所示为MRA公司营业第一年计划利润（x=以1000美元计的利润）的部分概率分布。负值代表亏损。a.f(200)的值是多少？你怎样解释这个值？b.MRA盈利的概率是多少？c.MRA至少盈利100000美

元的概率是多少？xf(x)-1000.1000.20500.301000.251500.10200随机变量的数学期望数学期望：度量随机变量平均值或中心位置的量度。离散型随机变量的数学期望的计算公式:

练习某人花2元买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求：1）此人收益X的概率分布；2）收益的期望值.解：收益X的概率分布为：X1001010f(x)0.0010.010.20.789

=0.4(元)随机变量的方差方差：度量随机变量的变异或离散程度。离散型随机变量的方差的计算公式:离散型随机变量的标准差

练习以下是随机变量y

的概率分布。a.计算E(y)。b.计算Var(y)。练习某公司正在考虑一项厂房扩建计划，一项未确定的因素是新产品的需求量，其预期可能是低、中或高。公司的策划者已得出中型和大型扩充工程的利润预测：a.哪一个决定对实现期望利润最大化的目标更优？b.哪一个选择对实现风险或不确定性最小的目标更优？常见的离散型概率分布泊松分布离散型随机变量的概率分布二项分布二项试验二项试验的性质(1)试验由一个包括n次相同的试验的序列组成。(2)每次试验有两种可能结果。我们把其中一个称为成功，另一个称为失败。(3)成功的概率，用p来表示，各个试验都相同。于是，失败的概率用1-p表示，也都相同。(4)试验都是独立的。28注:二项试验中的”成功”与”失败”是泛指,它们可以是：赌博中输与赢抽签的中与不中设备的好与坏民意测验中赞成与反对回答问题时的答对与错....考虑接下去即将光临马丁服装店的三位顾客购买服装的情况.在接下来的每一位光临服装店的顾客,如果购买了服装即为"成功",如果没有购买即为"失败".根据以往的经验,商店经理估计每位顾客购买服装的概率为0.3,则接下来即将光临服装店的三位顾客中有2位顾客会购买服装的概率是多少?马丁服装店问题统计图表30统计图表31统计图表32统计图表33统计图表34统计图表35统计图表36统计图表37统计图表38二项概率分布在二项试验的n次重复试验中”成功”的总次数记为X,则X的概率函数为:

,x=0,1,2,...,n

,x=0,1,2,...,n统计图表40统计图表41统计图表42统计图表43统计图表44统计图表45统计图表46统计图表47统计图表48统计图表49

二项分布例

例1

掷一枚质地均匀的硬币，重复地掷5次，记正面向上的次数为随机变量X，1）求X=2的概率2）若分币质地不均匀，出现正面的概率为2/3，求重复掷5次时X=2的概率二项分布例

袋中有10个大小外形一样的球，其中白球7个，红球3个，现依次从中随机的取5个球（不放回），记取中白球数为X，请问X是否服从二项分布？思考

二项分布表的使用练习一个美国个人投资者协会的调查显示，23％的该协会成员购买了原始股（IPO），在一个由12个美国个人投资者协会成员组成的样本中，a.恰有3个成员购买IPO的概率是多少？b.至少1个成员购买IPO的概率是多少？c.2个或更多成员购买IPO的概率是多少？二项分布

(例题分析)练习

一张考卷上有5道题目，每道题列出4个备选答案，其中有一个是正确的。某学生凭猜测答对4道以上题目的概率是多少？解：由于每道题目的回答是相互独立的，各题答对的概率均为0.25，故答对数量服从二项分布，X

~B(5,0.25),答对4道以上，即X取4或5两种情况，其概率为

二项分布的数学期望和方差

一段时间内车站侯车的乘客人数一段时间内机器发生故障的次数一本书中每页印刷错误的个数什么样的随机变量服从泊松分布？一段时间内某一地区发生的交通事故的次数小概率事件在一段时间内或一定空间内发生的总次数X便服从泊松分布，如：银行在一段时间内接待的顾客数保险公司一个月内接到的索赔次数银行在一段时间内接待的顾客数*泊松分布为二项分布的极限化在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为

,记X为A发生的总次数,则对任意给定的k有：一段时间内机器发生故障的次数s炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数什么样的随机变量服从泊松分布？泊松分布描述一段时间内某一地区发生的交通事故的次数小概率事件在一段时间内或一定空间内发生的总次数X便服从泊松分布，如：在10英里长的高速公路上需要修理的数目一本书中每页印刷错误的个数落在显微镜上某种细菌个数…泊松（Poisson）分布的Poisson分布，记作若随机变量X只取非负整数0,1,2,...,且概率函数为：其中μ是常数，则称

X

服从参数为μ

泊松分布的期望与方差：

解:例:某一城市每天发生火灾的次数

X

服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生

3

次以上火灾的概率。P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474.泊松分布

(例题分析)例

假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求

（1）X

的均值及标准差

（2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)练习Regional航空公司的预订票处每小时有48次电话。a.求5分钟时间中接到3次电话的概率。b.求15分钟时间中恰好接到10次电话的概率。c.假设现在没有打电话者在等待，如果代理人花5分钟完成现在的电话，在那段时间里预期有多少个打电话者在等待？没有人等待的概率是多少？d.如果现在没有电话，代理人可花3分钟时间休息而不被打扰的概率是多少？超几何概率分布超几何