【2022苏教数学优化方案】《二倍角的三角函数》

3．2二倍角的三角函数学习目标1.推导并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2．能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．

课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练3.2二倍角的三角函数课前自主学案温故夯基cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβ知新益能2sinαcosαcos2α－sin2α2．倍角公式常用的几个变形：S2α：sin2α＝(sinα＋cosα)2－1＝____________________C2α：cos2α＝2cos2α－1，＝_____________.1－(sinα－cosα)2.1－2sin2α问题探究1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？提示：有，在S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中，令β＝α即可得S2α，C2α，T2α.2．在什么情况下，sin2α＝2sinα，cos2α＝2cosα，tan2α＝2tanα？课堂互动讲练考点突破化简求值考点一同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应寻找到化简思路后再动手化简．例1【思路点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项．【名师点评】注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，如(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，创造条件逆用正弦二倍角公式，使得问题可连用正弦二倍角公式求解．给值求值考点二遇到非特殊角要转化为特殊角或产生可以抵消或约分去掉的项，灵活运用各三角公式．例2三角恒等式的证明考点三证明三角恒等式，总是先根据等式两边的特点，通过三角公式进行恒等变形，或化繁为简，或左右归一，或变更改正，使等式两边逐步化“异”为“同”．对于三角恒等式，尤其要注意等式两边的“角度”与“函数名称”之间的关系．(本题满分14分)已知tan(α＋β)＝3tanα，求证：2sin2β－sin2α＝sin(2α＋2β)．【思路点拨】解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式．【规范解答】∵tan(α＋β)＝3tanα，∴sin(α＋β)cosα＝3sinαcos(α＋β)，∴sin(α＋β)cosα－sinαcos(α＋β)＝2sinαcos(α＋β)，6分∴sin[(α＋β)－α]＝2sinα(cosαcosβ－sinαsinβ)，∴(1＋2sin2α)·sinβ＝sin2α·cosβ.(*)8分例3(*)式两边同乘2cosβ(cosβ≠0，否则由1＋2sin2α≠0得sinβ＝0，矛盾)，得(1＋2sin2α)·sin2β＝sin2α·2cos2β，∴sin2β＋(1－cos2α)·sin2β＝sin2α·(1＋cos2β)，12分∴2sin2β－sin2α＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝sin(2α＋2β)．故等式成立.14分方法感悟1．倍角公式是三角函数一系列公式中比较常用的公式，它们主要用于三角函数的计算、求值、化简、证明及三角函数的实际应用等．2．在利用倍角公式进行计算求值时，一般要先看角之间的相互关系，其次要看三角函数名的变化与区别，最后再利用公式进行计算．3．同时还要注意角的范围的判断．在利用倍角公式进行证明时，利用倍角公式可以将一些较复杂的三角函数关系式进行化