《点到直线的距离公式》

点到直线的距离公式

对点到直线的距离的几点说明：(1)此公式适用于P0为平面内任意一点，特别地当P0在直线上时，点P0到直线的距离为零.点到直线的距离

(2)几种特殊情况下的点到直线的距离：①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到平行于y轴的直线x=a的距离为d=|x0-a|;④点P(x0,y0)到平行于x轴的直线y=b的距离d=|y0-b|.(3)点到直线的距离也可以转化成点与点之间的距离.

使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程化成一般式.【例1】求点P(1，2)到下列直线的距离：(1)l1:y=x-3;(2)l2：y=-1;(3)y轴.【审题指导】直线方程及点的坐标均明确给出,求解的关键是把直线方程化成一般式,直接代入公式求解,必要时数形结合更方便.【规范解答】(1)将直线方程化为一般式为：x-y-3=0,由点到直线的距离公式得(2)方法一：直线方程化为一般式为：y+1=0,由点到直线的距离公式得方法二：∵y=-1平行于x轴，由图(1)知，d=|2-(-1)|=3.(3)方法一：y轴的方程为x=0，由点到直线的距离公式得方法二：由图(2)可知，d=|1-0|=1.【互动探究】求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)x-y+1=0；(2)x+y-4=0.【解析】(1)∵点P(1,2)在直线x-y+1=0上,∴点P(1,2)到直线x-y+1=0的距离为0.(2)由点到直线的距离公式得点P(1,2)到直线x+y-4=0的距离为

两平行线间的距离的求解策略：(1)等价转化法：因为两平行线间的公垂线段都相等，故两平行线间的距离等于平行线上任意一点到另一条直线的距离，即两平行线间的距离可以转化为点到直线的距离.两平行线间的距离(2)公式法：已知两条直线l1:Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)，则两条直线间的距离

在利用公式法计算平行线间的距离时务必保证：①方程化成一般式；②x,y的系数相等.【例2】求直线l1:3x-4y=-1与直线l2:间的距离.【审题指导】已知两直线的方程,求解本题可考虑利用等价转化法和公式法两种方式.需注意应用公式法解答本题时应把直线l1,l2的方程化成一般式，且x,y的系数相同.【规范解答】方法一(等价转化法)：∵l1∥l2，∴两直线间的距离等于直线l1上任意一点到直线l2的距离.不妨在直线l1上取点P(1,1),则该点到直线l2的距离为方法二(公式法)：把直线l1,l2的方程分别化成一般式得l1:3x-4y+1=0,l2:3x-4y-2=0.由两平行线间的距离公式得：【互动探究】把题设中“l1:3x-4y=-1”换成“”求相应问题.(用两种方法求解)【解题提示】思路一：在l1上任取点P利用点到直线的距离公式求解;思路二：把直线l1,l2的方程化成一般式,代入公式求解.【解析】第一种方法：∵l1∥l2，∴两直线间的距离等于直线l1上任意一点到直线l2的距离.不妨在直线l1上取点P(0,6),则该点到直线l2的距离为第二种方法：把直线l1,l2的方程分别化成一般式得l1:3x-4y+24=0,l2:3x-4y-2=0.由两平行线间的距离公式得：1.距离公式的综合应用到目前已学习的距离包括两点间的距离、点到直线的距离及两平行线间的距离.涉及到距离的问题常常结合以上三个公式，利用已知条件有效的组合运用，需特别注意的是点到直线的距离及两平行线间的距离的适用条件，不可错用.距离公式的应用2.直线方程的求解策略立足确定直线的几何要素——点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.

注意直线方程的特殊情形,如斜率不存在的情形，截距为零的情形等等.【例3】已知直线l经过点P(3，1)且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.【审题指导】本题求直线l的方程，现知两个条件：①过定点(3，1)，②被平行线l1,l2截得的线段长为5.可画出它们的图形，利用平面几何知识求斜率；也可设出斜率，利用距离公式求出k.【规范解答】方法一：设两平行线x+y+1=0和x+y+6=0的距离为d,则如图，设∠PBB′=θ=∠PB′B,则∴θ=45°,因为两平行直线的斜率为-1，故所求直线的斜率不存在或为零，由于直线过点P(3，1)，故所求直线l的方程为x＝3或y=1.方法二：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别为A′(3,-4)和B′(3,-9)，截得的线段长|A′B′|=|-4+9|=5，符合题意.若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.解方程组得解方程组得由｜AB｜=5,得解得k=0,即所求的直线方程为y=1,综上可知，所求直线l的方程为x=3或y=1.【变式训练】求过点A(2，1)且与原点距离为2的直线方程.【解题提示】分直线斜率存在和不存在两种情形讨论.【解析】若直线与x轴垂直，则直线为x=2，∴d=｜2-0｜=2.故x=2符合题意.当直线不与x轴垂直时，设直线为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0.∴原点到直线的距离∴直线方程为3x+4y-10=0.综上，所求直线为x=2或3x+4y-10=0.【例】若实数a,b满足a+b+1=0,求的最小值.【审题指导】

可变形为看成点(a,b)与点(1,1)的距离，又a+b+1=0,可将问题转化为点(1,1)到直线a+b+1=0上的点的距离的最小值.【规范解答】设点M(1，1)，P(a,b)，则上式表示点P到点M的距离.又点P在直线a+b+1=0上运动，故即为点M与直线a+b+1=0上任意一点连线的距离，∴|PM|的最小值应为点M到直线的距离.【变式备选】已知A(1,3),B(3，1)，点C在3x-y+3=0上，且△ABC的面积为10，求点C的坐标.【解析】由题意知设点C(x0,y0),又直线AB的方程为x+y-4=0,

解得或∴点C的坐标为或【典例】(12分)已知点P到两定点M(-1,0),N(1,0)距离的比为点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.【审题指导】已知及点N到直线PM的距离,求解的关键利用上述条件求出点P的坐标进而写出直线PN的方程.规范提升【规范解答】设点P的坐标为(x,y),由题设有即整理得x2+y2-6x+1=0.①……………3分因为点N到PM的距离为1,｜MN｜=2,所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为直线PM的方程为②……………6分将②式代入①式整理得x2-4x+1=0.解得代入②式得点P的坐标为或……………………10分直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1.………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】(2011·温州高二检测)已知直线l过两直线3x-y-10=0和x+y-2=0的交点，且直线l与点A(1,3)和点B(5，2)的距离相等，求直线l的方程.【解析】由得设所求l的方程为y+1=k(x-3),则解得∴l的方程为x+4y+1=0,又当直线的斜率不存在时，l的方程为x=3,也满足题意.故所求直线的方程为x+4y+1=0或x=3.1.原点到直线x+2y-5=0的距离为()(A)1(B)(C)2(D)【解析】选D.自主练习2.两条平行线y=2x+3与y=2x-4之间的距离是()(A)1(B)7【解析】选C.由题意可知两平行线可化为2x-y+3=0与2x-y-4=0，∴两平行线间的距离3.已知点(4,m)到直线x+y-4=0的距离等于1,则m的值为___________.【解析】由点到直线的距离公式得解得答案：4.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离为则直线l1的方程是___________.【解析】设直线l1的方程为x+y+c=0.由两平行线间的距离公式得解得c=1或c=-3.∴直线l1的方程是x+y+1=0或x+y-3=0.答案：x+y+1=0或x+y-3=05.已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.【解析】(1)由直线方程的点斜式，得整理得所求直线方程为3x+4y-14=0.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式得即解得c=1或c=-29，故所求直线方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.一、选择题(每题4分，共16分)1.(2011·嘉兴高二检测)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()【解析】选D.由题意可知课后作业2.过点P(0,1)且与原点距离为1的直线方程为()(A)x=1(B)y=1(C)x+y=1(D)x-y=1【解析】选B.∵点P(0,1)到原点的距离为1，∴过点P(0,1)且与原点距离为1的直线方程有且只有一条,为y=1.3.如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()【解析】选B.由题意可知当AB垂直于直线x+y=0时线段AB最短,此时kAB=1，设B(a,-a),则4.(2011·海口高二检测)两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为()【解题提示】解答本题可先利用两直线平行求出m的值,进而求出两直线的距离.【解析】选D.由题意知解得m=2.∴直线6x+my+1=0可化为由两平行线间的距离公式得二、填空题(每题4分，共8分)5.(2011·徐州高二检测)两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离为__________.【解析】直线2x+6y-9=0可化为由两平行线间的距离公式得答案：

6.(2011·蚌埠高二检测)与直线7x+24y=5平行，并且与该直线之间的距离等于3的直线