2022-2023学年广东省惠州市平海中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年广东省惠州市平海中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【知识点】函数的零点B10令，根据根与系数的关系易知其两根异号，故在内有一根，再令，即，因为，，所以不存在x的值满足成立，综上，函数零点个数为1个，故选B.【思路点拨】令，根据根与系数的关系易知其两根异号，判断出根的情况，再令，判断出根的情况，综合即可得到结果。2.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求．【详解】解：，，则．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.命题“，”的否定是（

）． A．， B．，C．， D．，参考答案：A特称命题的否定将改为，故选．5.已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是A．m∥α，n∥α

B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n?α

D．m、n与α所成的角相等参考答案：D略6.已知函数f（x）=logax（0＜a＜1）的导函数f′（x），A=f′（a），b=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1），D=f（a+2）﹣f（a+1），则A，B，C，D中最大的数是(

) A．A B．B C．C D．D参考答案：A考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：设利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C，D分别为对数函数的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案．解答： 解：函数f（x）=logax（0＜a＜1）是可导函数且为单调递减函数，∵A，C分别表示函数在点a，a+1处切线的斜率，，，故B，D分别表示函数图象上两点（a，f（a）），（a+1，f（a+1））和两点（a+1，f（a+1）），（a+2，f（a+2））连线的斜率，由函数图象可知一定有A＞B＞C＞D，四个数中最大的是D，故选A．点评：本题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题．7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是（

）A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④参考答案：B【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设，则，∵，∴，∴.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴，由，解得（负根舍去）.∵，∴.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.8.（2016?大庆二模）复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C． D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．9.已知f(x)＝|lnx|，若，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是(

)．

A．f(c)>f(b)>f(a)B．f(a)>f(c)>f(b)

C．f(c)>f(a)>f(b)D．f(b)>f(a)>f(c)参考答案：C略10.下列说法正确的是A．“为真”是“为真”的充分不必要条件；B．已知随机变量，且，则；C．若，则不等式成立的概率是；D．已知空间直线，若，，则．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥O﹣PAB≥；在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=，又V四棱锥P﹣ABCD=，则所求的概率为P==．故答案为：【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目．12.如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有

.（填上所有正确结论的序号）①设、，若，则；②设，则；③设、，若，则；④设、，若，则；⑤设、，若与的夹角，则.参考答案：①③⑤显然①正确；，∵，所以②错误；由得,所以，所以，故③正确；∵，所以④错误；根据夹角公式，又，得，故，即，⑤正确所以正确的是①、③、⑤.13.(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.

参考答案：；依题意易知,所以,又,所以,从而.14.已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

．参考答案：15.已知函数的定义域为，则函数的值域为.参考答案：略16.已知函数f（x）=，则f（x）dx=

．参考答案：【考点】定积分．【分析】根据微积分基本定理求出即可．【解答】解：∵根据定积分的几何意义，就等于单位圆的面积的四分之一，∴=又==，∴f（x）dx=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题．17.函数f(x)=的值域为_________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.．（本小题满分14分）

已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．

（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有成立；

（3）求证：．参考答案：解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．

（*），．

（**）由（*）、（**）两式，解得，．

……………2分由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．…5分因此，实数的取值范围是．

………6分（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．

………10分（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，即．

………11分令，得，

化简得，

………………13分．

………14分

略19.如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.（1）求证：为的中点；[来源:学_科_网]（2）求二面角的余弦值.参考答案：解：（1）证明：连结，设，连接，则为的中点，且面面，∵平面，∴，∴为的中点.（2）∵，∴底面，∴.又∵，，∴平面.过点作的垂线，交于，连接.∵，∴，∴为所求的平面角.，∴，又，∴.∴，∴二面角的余弦值为.20.（本小题满分12分）已知数列的前项和。（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；（Ⅱ）设，求数列｛｝的前项和．参考答案：解析：（Ⅰ）时，;…………………2分．……4分

……………6分（Ⅱ）设，当时，；…………………7分时，，……………10分＝……………12分21.已知抛物线的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．(1)若当点A的横坐标为3，且为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且，求证：点P的坐标为，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．参考答案：(1)；(2)证明见解析，【分析】（1）由抛物线焦半径公式知，根据等边三角形特点可知，从而得到点坐标；利用中点坐标公式求得中点；根据可构造方程求得，从而得到所求方程；（2）设直线的方程为：，，，将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；利用三点共线，根据向量共线坐标表示可得，代入韦达定理整理得到点坐标；利用为等腰直角三角形可求得，从而构造出方程求得，根据韦达定理的形式可确定的取值范围；利用点到直线距离公式可将问题转化为关于的函数值域的求解问题；利用函数单调性求得所求的范围即可.【详解】（1）由题意知：，等边三角形

中点为：由为等边三角形知：，即轴

，解得：的方程为：（2）设直线的方程为：，，，则由得：

设，则，三点共线

即