函数值域求法十一种

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。例如，求函数$y=\frac{1}{x}$的值域。解：由于$x\neq0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例如，求函数$y=x^2+2x+3$在$x\in[-1,2]$时的值域。解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。由二次函数的性质可知：当$x=-1$时，$y_{\max}=2$，当$x=1$时，$y_{\min}=4$。故函数的值域是：$[2,4]$。3.判别式法例如，求函数$y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$在$x\in[-1,2]$时的值域。解：将函数化为关于$x$的一元二次方程$(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。（1）当$y\neq1$时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。（2）当$y=1$时，$x=\pm1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。4.反函数法例如，求函数$y=3x+4$的值域。解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为$\mathbb{R}$，故函数的值域也为$\mathbb{R}$。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。函数的值域为：y11(x1)22令x1t，(t0)则y11t22化简得y11t2函数的值域为(0,1]。例13.求函数ysinxcosx的值域。解：由三角函数的性质可知，1sinx1，1cosx1故2sinxcosx2由于sinxcosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。当sinxcosx2时，对应的x为24arctan1，即x2.0345。当sinxcosx2时，对应的x为4arctan1，即x0.7854。故函数的值域为[2,2]。故可分情况讨论：当x≤-8时，y=-(x-2)-(x+8)=-2x-6当-8<x≤2时，y=-(x-2)+(x+8)=6当x>2时，y=(x-2)+(x+8)=2x+6由此可得，函数的值域为[-2x-6,2x+6]。上式可以看作是点P(x,y)到定点A(2,0)和B(-8,0)之间距离之和，其中AB的长度为10。当点P在AB上时，距离之和最小为10。当点P在AB的延长线或反向延长线上时，距离之和大于10。因此，函数的值域为[10,+∞)。例17：求函数y=x^2-6x+13+x^2+4x+5的值域。将原函数变形为y=(x-3)^2+(-2)^2+(x+2)^2+(1)^2，可以看作是点P(x,y)到定点A(3,2)和B(-2,-1)之间距离之和。当点P在x轴上且不是AB与x轴的交点时，距离之和最小为√43。因此，函数的值域为[43,+∞)。例18：求函数y=x^2-6x+13-x^2+4x+5的值域。将原函数变形为y=(x-3)^2+(-2)-(x+2)+(-1)，可以看作是定点A(3,2)到点P(x,y)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,y)的距离之差。当点P在x轴上且不是AB与x轴的交点时，距离之差在(-26,26)之间。当点P为AB与x轴的交点时，距离之差为26。因此，函数的值域为(-26,26]。使用基本不等式a+b≥2ab、a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)可以求函数的最值。当解析式是和式时，要求积为定值；当解析式是积时，要求和为定值。有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19：求函数y=(sinx+1/2)+(cosx+1)/(2sinxcosx)-4的值域。将原函数变形为y=1+cos^2x/sinxcosx+sin^2x/sinxcosx，可以看作是点P(x,y)到定点A(0,1)和B(π/2,-1)之间距离之和。根据基本不等式，距离之和大于等于5。因此，函数的值域为[5,+∞)。例20.求函数y=2sinxsin2x的值域。解：将y=2sinxsin2x化简得y=4sin2xcosx，再利用三角函数的周期性可知当x=kπ±π/4(k∈Z)时，y取得最大值4，因此y的值域为[5,+∞)。改写：函数y=2sinxsin2x的值域为[5,+∞)，其中当x=kπ±π/4(k∈Z)时，y取得最大值4。例21.求函数y=(1-3x)/(2x+1)的值域。解：由于定义域为x<-1/2或x>-1/2，因此可以利用一一映射法，将y表示成x的函数，即x=(1-y)/(3y-1)，由此可得y的值域为(-∞,-1/3)∪(-1/2,+∞)。改写：函数y=(1-3x)/(2x+1)的值域为(-∞,-1/3)∪(-1/2,+∞)，其中x的取值范围为x<-1/2或x>-1/2。例22.求函数y=(x+2)/(x+3)的值域。解：令t=x+2/(x+3)，则有y=t-1/(t-1)，对y求导可得y'=-2/(t-1)^2，因此y在t>1时单调递减