人大保险学课件-保险学CH4保险的数理基础

保险的数理基础随机事件与概率概率分布与数字特征大数定律及其在保险中的应用---危险集合保险费率的厘定原则与影响因素人寿保险费率的厘定原则与影响因素财产保险费率的厘定7/23/20231第一节随机事件与概率§4.1.1随机现象、随机试验和随机事件随机现象：两个特点随机试验：三个特征样本空间：所有可能结果组成的集合随机事件：样本空间的子集基本随机事件：最简单的随机事件7/23/20232事件的关系与运算：

文氏图示法(VennDiagram)以长方形区域代表样本空间S，在其内部以封闭曲线围起来的区域代表事件，描述事件间的各种关系的方法，称为文氏图示法(VennDiagram)。学过啦！7/23/20233AB且1.事件的包含2.事件的相等7/23/20234或

事件A与事件B

至少有一个发生发生的和事件——

的和事件——

——

A与B的和事件3.事件的并(和)7/23/20235

或事件A与事件B

同时发生发生的积事件

——

的积事件——

——

A与B的积事件

4.事件的交(积)7/23/20236发生事件A发生，但事件B不发生

——

A与B的差事件5.事件的差7/23/20237——

A与B互斥A、

B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6.事件的互斥(互不相容)7/23/20238——

A与B互相对立每次试验A、

B中有且只有一个发生A称B为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A

与B

互相对立”与“A

与B

互斥”是不同的概念7.事件的对立7/23/202398.完备事件组若两两互斥，且则称为完备事件组或称为的一个划分7/23/202310

吸收律

幂等律

差化积

重余律运算律对应事件运算集合运算7/23/202311

交换律

结合律

分配律

反演律运算顺序：逆交并差，括号优先7/23/202312B

CABA

CA

分配律

图示A7/23/202313A

B

B红色区域黄色区域交例

用图示法简化AA7/23/202314例化简事件解

原式7/23/202315例

利用事件关系和运算表达多个事件的关系A,B,C都不发生——

A,B,C不都发生——7/23/202316例：在图书馆中随意抽取一表示数学书，表示中文书，表示平装书.——抽取的是精装中文版数学书——精装书都是中文书——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书本书，事件7/23/202317第二节概率基础1. 事件发生的可能性 的数字度量简单事件联合事件复合事件2. 取值在0和1之间3. 所有事件之和为11.50必然不可能也学过啦！7/23/202318简单事件的概率

ProbabilityofSimpleEvent

P(事件)=X=使某结果发生的事件数量T=可能事件的总数检查了100个零件，两个有缺陷!7/23/202319用列联表确定联合事件

UsingContingencyTable联合事件JointProbability边际(简单)概率Marginal(Simple)Probability事件事件B1B2总计A1P(A1

B1)P(A1

B2)P(A1)A2P(A2

B1)P(A2

B2)P(A2)总计P(B1)P(B2)17/23/202320列联表联合事件的例子联合事件:抽一张牌.注意种类、颜色颜色类型红黑总计A牌2/522/524/52非A牌24/5224/5248/52总计26/5226/5252/52P(A牌)P(红A)P(红牌)7/23/202321独立事件两事件的发生概率不会互相影响，则称两事件互相独立(independentevents)。事件A(或B)的发生概率，不会因为事件B(或A)是否发生而有不同，则称事件A与B互相独立。注意与互斥事件区分：独立事件不在一个样本空间里7/23/202322独立事件例掷两枚铜板，第一枚铜板为正面的事件为A，第二枚铜板为正面的事件为B，第二枚铜板为正面的机概率，与第一枚铜板的结果无关，两事件互相独立。抽扑克牌两张，第一张为红色的事件为A，第二张为红色的的事件为B，第二张为红色的概率，与第一张的结果有关，两事件不独立。

第一张红色，则第二张红色的概率为25/51，第一张黑色，则第二张红色的概率为26/51。连续考试两次，第二次的结果与第一次的结果有关，两事件不独立。7/23/202323独立事件的概率乘法规则两独立事件A与B同时发生的概率，为两事件各自发生概率的相乘： P(A且B)=P(A)P(B)。7/23/202324例：孟德尔(Mendel)的豌豆概率乘法规则的应用豌豆育种研究每株含有两种可能颜色的基因，黄色(Y)为显性、绿色(G)为隐性，发生的概率各半株与株间互相独立父母株交配后，子株为绿色的机率 P(G且G)=P(G)P(G)=0.5×0.5=0.25

7/23/202325例：海底电缆线研究海底电缆线维修率研究；每条海底电缆线有许多repeaters。每个repeater10年不坏的概率为0.999，如果没有重大天然灾害(如地震)的破坏，假设各repeaters间互相独立且不坏的概率相同。令Ai

为第i个repeater10年不坏的事件，则一条有10个repeaters的海底电缆线10年免维修的机率为 P(A1且…且A10)=P(A1)×…×P(A10)=0.99910=0.990事实上，一条海底电缆在线有300个repeaters，则10年免维修的机率为

P(A1且…且A300)=P(A1)×…×P(A300)=0.999300=0.741

7/23/202326例：AIDS检验研究AIDS检验得错误阳性(falsepositive)，即没有感染但检验结果为阳性的概率为0.005，140个未受感染的受测者，至少有一人检验结果为阳性的概率为P(至少一人为阳性)=1-P(没有人为阳性)

=1-P(全部人为阴性)=1-0.995140=0.5047/23/202327两个独立的随机变量两随机变量X和Y，如果属于X的样本空间SX的任意事件必和属于Y样本空间SY的任意事件独立，则称两随机变量独立；两独立(离散)随机变量的乘法规则：任意两事件{X=x}与{Y=y}，P({X=x}且{Y=y}) =P({X=x})P({Y=y})

x,y7/23/202328两事件发生的概率通则：广义加法两事件A或B发生的概率

P(A或

B)=P(A)+P(B)-P(A且B)Deborah成为律师合伙人的概率为0.7，Mathew成为律师合伙人的概率为0.5，两人同时成为律师合伙人的概率为0.3，则至少一人成为律师合伙人的概率为

P(至少一人成为合伙人)=0.7+0.5-0.3=0.97/23/202329例：合伙人概率研究图示D且非M0.4D且M0.3M且非D0.2非M且非D0.17/23/202330条件分布的概率表示法随机选出一位自杀者，使用firearm的概率 P(firearm)=18,940/31,510=0.6随机选出一位自杀者，选出女性的概率 P(female)=6,095/31,510=0.1937/23/202331条件分布的概率表示法（续）若已知选出的是女性，使用firearm的概率 P(firearm|female)=2,559/6,095=0.42自杀者是女性又使用firearm的概率P(female且firearm)=2,559/31,510=0.081

=(6,095/31,510)(2,559/6,095) =P(female)P(firearm|female)7/23/202332乘法规则任意两个事件A,B的条件概率条件概率(conditionalprobability)：给定事件A已发生时，事件B发生的概率，记为P(B|A)。乘法规则(multiplicationrule)任两事件A与B同时发生的概率 P(A且B)=P(A)P(B|A)。7/23/202333乘法规则的应用扑克牌游戏的概率： 已出现的11张牌中有4张红方块，求再抽到两张红方块的概率第一张抽到红方块的概率：

P(第一张抽到红方块)=9/41第一张抽到红方块后再抽到红方块的概率：

P(再抽到红方块|第一张抽到红方块)=8/40两张都抽到红方块的概率： P(两张红方块)=P(第一张抽到红方块)

P(再抽到红方块|第一张抽到红方块) =9/418/40=0.0447/23/202334乘法规则的推广任意三个事件A、B、C同时发生的概率：

P(A且B且C)=P((A且B)且C)

=P(A且B)P(C|A且B) =

P(A)P(B|A)P(C|A且B)。7/23/202335乘法规则推广的应用

高中球员的未来男子高中球员有5%继续在大学打球，其中只有1.7%继续在职业球队打球，而在这1.7%中有40%在职业球队打球3年以上。求男子高中球员最后会在职业球队打球3年以上的概率事件A={继续在大学打球}

事件B={继续在职业球队打球}事件C={继续打3年职业球队}

7/23/202336乘法规则推广就用

球员的未来（续）P(A)=0.05；P(B|A)=0.017；P(C|A且B)=0.4；男子高中球员最后会在职业球队打球3年以上的概率 P(A且B且C)=

P(A)P(B|A)P(C|A且B) =0.050.0170.4=0.00034。7/23/202337条件概率定义和图示如果P(A)>0，则给定事件A的条件下事件B的条件概率为文氏图示：BA事件B的样本空间发生了变化！7/23/202338独立事件的另一个解释若P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，则事件A与事件B为两独立事件。说明：若P(B|A)=P(B)，则 A,B两事件独立。7/23/202339期望值与方差总体平均数又称为期望值(Expectation)。总体样本空间为{x1,…,xk}，概率模型为 P(X=xi)=p(xi),i=1,…,k；定义期望值为

记为μ=EX。7/23/202340总体方差总体方差(Variance)记为σ

2=Var(X)。样本空间、概率模型如前；定义方差为：例：参考抽样一节，样本均值、方差与理论均值、方差。7/23/202341期望与方差的性质两个随机变量X与Y的线性组合，aX+bY的期望值是两期望值的线性组合E(aX+bY)=aEX+bEY两个独立随机变量和的方差，是两个方差的和

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)随机变量

a

倍的方差，是方差的

a2

倍。

Var(aX)=a2Var(X)7/23/202342第三节大数定律及其应用：

危险集合假定有甲乙两人损失分布一样，并且两人的损失分布不相关，其分布均如下表所示：损失概率$100000.0500.95则每个人的期望损失为$500，标准差为$21797/23/202343危险集合例：2人的情况两人的危险集合改变了每个人的损失分布：损失情况总损失人均损失发生概率甲乙都损失$20000$100000.0025甲损失乙无损失$10000$50000.0475乙损失甲无损失$10000$50000.0475甲乙都无损失000.90257/23/202344危险集合例：2人的情况期望损失的效应无危险集合时期望损失为

$500集合危险时期望损失仍为$500标准差效应无危险集合时标准差为$2,179集合危险时标准差为

$1,5417/23/202345危险集合例：4人的情况

损失

概率

$10,0000.000006$7,5000.000475Loss=$5,0000.014$2,500 0.171 $0 0.815期望损失

=$500标准差

=$1,0897/23/202346危险集合：500个人的情况7/23/202347危险集合：1000个人的情况7/23/202348损失不相关的危险集合小结：危险集合的安排不会改变损失期望值但降低了不确定性(标准差减小，损失的可预测性增加)分布更平缓(峰度降低)7/23/202349损失相关时的情形：不确定性的降低比不相关时要小：想想为什么？考虑一下极端情形：某危险发生时另一危险也发生于是集合并不能降低危险程度7/23/202350正相关时危险降低效应：7/23/202351其他情况：相关性越低，危险降低程度越大!完全负相关情况(-1)：完全正相关情况(+1)：危险集合降低危险与危险间相关的不同情况：完全消差不确定性消减部分危险未降低不确定性7/23/202352危险集合几个要点：集合会降低每个加入的危险单位的危险即，损失暴露成本变得更可预测集合的危险单位越多，可预测性越强（所以保险同质保单卖得越多，公司对损失估计就越准确，公司就越