【第6章】无限脉冲响应数字滤波器的设计解读课件

第六章

IIR数字滤波器的设计主要内容数字滤波器的基本概念

模拟滤波器的设计脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字高通、带通、带阻滤波器的设计6.1数字滤波器的基本概念1.数字滤波器的分类数字滤波器可以分成IIR滤波器和FIR滤波器.它们的系统函数分别为：理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性2.数字滤波器的技术要求假设数字滤波器的传输函数H(ejw)用下式表示：|H(ejw)|称幅频特性，Q(w)称相频特性.滤波器的技术要求一般由幅频特性给出，相频特性一般不作要求.下图为低通滤波器的幅度特性.主要技术参数：通带截止频率wp

阻带截止频率ws

通带允许最大衰减ap

阻带允许最小衰减as

ap和as分别定义为：如将|H(ej0)|归一化为1，则当幅度下降至0.707时，w=wc，ap=3dB.称wc为3dB截止频率.IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同.IIR滤波器设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的.IIR滤波器的设计步骤是：首先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z).3.数字滤波器设计方法6.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计方法已发展得相当成熟.有若干典型的模拟滤波器供我们选择.典型模拟滤波器有：Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、Elliptic滤波器、Bessel滤波器等.典型模拟滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用.各种理想滤波器的幅频特性1.模拟低通的设计指标及逼近方法模拟低通的设计指标有：通带的最大衰减系数ap

通带截止频率Wp

阻带最小衰减系数as

阻带截止频率Ws若W=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，则Wc称为3dB截止频率，且低通滤波器的幅度特性一般滤波器的单位冲激响应为实数，所以：如果由技术指标ap、Wp、as、Ws求出|Ha(jW)|2，那么就能求所需要的Ha(s).对于各种典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用.对于Ha(s)，要求必须稳定，所以极点必须落在s平面的左半面，相应的Ha(-s)的极点必须落在s平面的右半面.说明:巴特沃斯低通的幅度平方函数：2.巴特沃斯低通的设计特点:当W＞Wc时，随着W加大，幅度迅速下降.幅度下降的速度与阶数N有关，N越大，幅度下降速度越快，过渡带越窄.将幅度平方函数|Ha(jW)|2写成s的函数：幅度平方函数有2N个极点，用sk表示：式中k=0,1,2,…,(2N-1)2N个极点均匀分布在半径为Wc的圆上，间隔是2p/2N=p/N.为了形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半面的N个极点构成Ha(s).Ha(s)的表示式为：【例题】取左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：设N=3，极点有6个，它们分别为：为使设计统一，将所有频率对3dB截止频率Wc归一化.归一化后的Ha(s)表示为：令l=W/Wc为归一化频率；令p=jl为归一化复频率，这样归一化巴特沃斯的传输函数为：式中pk为归一化极点，用下式表示：根据技术指标→阶数N→N个极点→Ha(p)→去归一化得Ha(s).将极点代入归一化传递函数式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式.用下式表示：式中系数bk以及极点可以查表得到.只要确定阶数N，查表即可得到Ha(p).将W=Wp代入幅度平方函数ap表达式中得到：将W=Ws代入幅度平方函数as表达式中得到：3.阶数N的确定令则N由下式表示：关于3dB截止频率Wc，如果技术指标中没有给出，可按下面式子得到：用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数.巴特沃斯低通滤波器的设计步骤：总结:由技术指标Wp,ap,Ws,as求出滤波器的阶数N.求归一化极点pk，得归一化传输函数Ha(p).将Ha(p)去归一化(将p=s/Wc代入Ha(p)得到实际滤波器的传输函数Ha(s).已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减ap=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器.【例题】解：(1)确定阶数N(2)求出其极点求得归一化传输函数：由N=5，直接查表得到极点：式中：-0.3090±j0.9511；-0.8090±j0.5878；-1.0000b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361说明:(3)将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Wc将p=s/Wc代入Ha(p)中得到：切比雪夫滤波器有两种形式：切比雪夫I型和切比雪夫II型.切比雪夫I型振幅特性在通带内等波纹，在阻带内单调下降.切比雪夫II型振幅特性在通带内单调下降，在阻带内等波纹.在相同的阶数下，切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡带.4.切比雪夫滤波器的设计切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(W)曲线切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅度平方函数：e为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，e愈大，波动幅度也愈大.Wp称为通带截止频率.CN(x)称为N阶切比雪夫多项式：切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内.当|x|<1时，|CN(x)|≤1，在|x|<1范围内具有等波纹性.当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升.切比雪夫多项式的特性:下图表示了阶数N=0，4，5时切比雪夫多项式曲线.N=0,4,5切比雪夫多项式曲线幅度平方函数与三个参数即e，Wp

，

N有关.e与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹d用下式表示：已知通带波纹d可以求出参数e.阶数N等于通带内最大值和最小值的总个数.阶数N不仅影响过渡带的宽度，而且影响通带内波动的蔬密程度.设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ws表示，在Ws处的A2(Ws)为：取正号计算得3dB截止频率Wc：当Wp

、e、N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Wp.设Ha(s)的极点为si=di+jWi，可以证明：式中：上式是一个椭圆方程，长半轴为Wpchx(在虚轴上)，短半轴为Wpshx(在实轴上).令bWp和aWp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在bWp为长半轴，aWp为短半轴的椭圆上的点.设N=3，幅度平方函数的极点分布如图所示.为了稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即根据幅度平方函数可导出c=e·2N-1去归一化：总结:(1)确定技术要求ap、Wp、as、Ws切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤：归一化频率：(2)求滤波器阶数N和参数e(3)求归一化传输函数Ha(p)先求出归一化极点pk，k=1,2,…,N将极点pk代入归一化传递函数表达式得：(4)将Ha(p)去归一化得到实际的Ha(s).设计切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减ap=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=60dB.【例题】解：(2)求阶数N和e：(1)滤波器的技术要求：(3)求Ha(p):求出N=5时的极点pi代入求Ha(p)得:(4)将Ha(p)去归一化得：(1)低通用G(s)，s=jW，p=jl，l为归一化频率，p为归一化复频率.(2)所需类型滤波器用H(s)，s=jW，q=jh，h为归一化频率，q为归一化复频率.5.模拟高通、带通、带阻滤波器的设计规定符号如下：(1)低通到高通的频率变换低通G(jl)→高通H(jh)转换：如图所示，有l和h之间的关系为：模拟高通的设计步骤如下：设计高通滤波器，fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减ap=3dB，fs处最小衰减as=15dB.【例题】fp=200Hz，ap=3dB；fs=100Hz，as=15dB.归一化频率：解：①高通技术要求：②低通技术要求：③设计归一化低通G(p)采用巴特沃斯滤波器，有④求模拟高通H(s)(2)低通到带通的频率变换定义B=Wu-Wl为通带带宽.定义W20=WlWu为通带中心频率.归一化边界频率用下列式子表示：低通与带通滤波器的幅度特性如图所示：h与l的对应关系由h与l的对应关系，得到：由表知lp对应hu，代入上式中有：将q=jh代入上式得到：去归一化，将q=s/B代入上式得到：带通上限频率Wu，带通下限频率Wl下阻带上限频率Ws1,上阻带下限频率Ws2

通带中心频率W20=WlWu，通带宽度B=Wu-Wl模拟带通的设计步骤：(1)确定模拟带通滤波器的技术指标与以上边界频率对应的归一化边界频率：(2)确定归一化低通技术要求：ls与-ls的绝对值可能不等，取绝对值小的ls，这样保证在较大的ls处更能满足要求.

通带最大衰减为ap，阻带最小衰减为as.(3)设计归一化低通G(p).(4)将G(p)转换成带通H(s).设计模拟带通滤波器.

通带带宽B=2p×200rad/s

中心频率W0=2p×1000rad/s

通带内最大衰减ap=3dB

阻带最小衰减as=15dB

阻带Ws1=2p×830rad/s;Ws2=2p×1200rad/s【例题】(1)模拟带通的技术要求：解：(2)模拟归一化低通技术要求：取ls=1.833，ap=3dB，as=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型查表得：(4)求模拟带通H(s)：低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示.低通与带阻滤波器的幅频特性(3)低通到带阻的频率变换图中Wl和Wu分别是下通带截止频率和上通带截止频率.Ws1和Ws2分别为阻带的下限频率和上限频率.W0为阻带中心频率，W20=WuWl阻带带宽B=Wu-

WlB作为归一化参考频率，相应的归一化边界频率为：

hu=Wu/B，hl=Wl/B

hs1=Ws1/B，hs2=Ws2/B

h20=hu-hl

根据h与l的对应关系可得到：且huhl=1，lp=1h与l的对应关系将上式代入p=jl并去归一化可得：上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式.下通带截止频率Wl，上通带截止频率Wu阻带下限频率Ws1，阻带上限频率Ws2阻带中心频率W20=WuWl阻带宽度B=Wu-

Wl设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求：它们相应的归一化边界频率为：

hl=Wl/B，hu=Wu/B,hs1=Ws1/B，hs2=Ws2/B

h20=huhl通带最大衰减ap，阻带最小衰减as.(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取ls和-ls的绝对值较小的ls.通带最大衰减为ap，阻带最小衰减为as.(3)设计归一化模拟低通G(p).(4)将G(p)转换成带阻滤波器H(s).设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Wl=2p×905rad/s，Ws1=2p×980rad/s

Ws2=2p×1020rad/s，Wu=2p×1105rad/s

ap=3dB，as=25dB试设计巴特沃斯带阻滤波器.【例题】(1)模拟带阻滤波器的技术参数：解：(2)归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p)：(4)带阻滤波器的H(s)为:6.3脉冲响应不变法设计IIR数字利用模拟滤波器设计数字滤波器的设计过程：按照一定的转换关系将模拟系统函数Ha(s)转换成数字系统函数H(z).工程上最常用的方法:①脉冲响应不变法.②双线性变换法.设模拟滤波器的传输函数为Ha(s)，相应的单位冲激响应是ha(t).设Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，则：式中si为Ha(s)的单阶极点.将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：对ha(t)进行等间隔采样(间隔为T)得到：对上式进行ZT得系统函数H(z)：设ha(t)的采样信号用ĥa(t)表示：对ĥa(t)作拉氏变换：S平面和Z平面之间的映射关系:显然结论:模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jW)和其采样信号ĥa(t)的傅里叶变换Ĥa(jW)之间满足关系：将s=jW代入上式得到：映射关系上式表明将模拟信号ha(t)的LT在s平面上沿虚轴按照周期Ws=2p/T延拓后，再映射到z平面上，就得到H(z).s平面与z平面之间的映射关系从模拟信号ha(t)到采样信号ĥa(t)，其LT以2p/T为周期沿虚轴方向周期化.如果模拟信号ha(t)的频带不是限于±p/T之间，则会在p/T的奇数倍附近产生频率混叠.影射到z平面上，在w=±p的奇数倍附近产生频率混叠.为了避免频率混叠，希望设计的滤波器只能是带限滤波器.如果不是带限滤波器(高通或带阻)，需要在滤波器之间加保护滤波器，滤除高于折叠频率p/T以上的频带，以免产生频率混叠.脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即w=WT.如果不考虑频率混叠，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性.数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近性好.缺点是会产生频率混叠.适合低通、带通的设计，不适合高通、带阻的设计.总结:已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为：【例题】用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z).首先将Ha(s)写成部分分式：极点为：解：那么H(z)的极点为：设T=1s时:设T=0.1s时:数字滤波器的幅度特性模拟滤波器的幅度特性图(a)为模拟滤波器的幅度特性.图(b)为数字滤波器的幅度特性.T=0.1s时，模拟滤波器和数字滤波器的幅度特性很接近.折叠频率p附近有很轻的混频现象.T=1s时，折叠频率p附近的混频现象严重.数字滤波器的幅度特性在频率p之后上升是由于数字系统的传递函数的周期性造成的.【说明】6.4双线性变换法设计IIR数字脉冲响应不变法设计数字滤波器会产生频率混叠现象.为克服上述缺点，可采取非线性压缩的办法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±p/T之间，再利用z=esT转换到z平面上.采用正切变换实现频率压缩的方法称双线性变换法.设Ha(s)，s=jW经过正切变换压缩后用Ha(s1)，s1=jW1表示.则式中T是采样间隔.当W1从-p/T→0→p/T时，则W由-∞→0→+∞.实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±p/T之间的转换.这样便有：利用转换到z平面上得到：双线性变换法的映射关系令s=jW，z=ejw并代入双线性变换式中：模拟频率W和数字频率w之间的关系上式说明s平面上W与z平面w成非线性关系.在w=0附近接近线性关系.当w↑→W↑↑，当w→p时，w→∞.正是这种非线性关系，消除了混频现象.双线性变换法的频率变换关系RC低通滤波器【例题】试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将如图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器.按照图示写出滤波器的传输函数Ha(s)：利用脉冲响应不变法转换成数字滤波器的系统函数H1(z)为：解：利用双线性变换法转换成数字滤波器的系统函数H2(z)为：H1(z)和H2(z)的网络结构如图(a)，(b)所示.(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率wp、通带衰减ap、阻带截止频率ws、阻带衰减as.(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标.利用模拟滤波器设计IIR数字低通的步骤：(3)按照模拟低通的技术指标设计模拟低通.(4)将模拟低通滤波器的Ha(s)从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z).采用脉冲响应不变法，为避免混频，要求所设计的模拟低通通带限于±p/T之间.参数T的选择:如果采用双线性变换法，由于不存在混频现象，T可以任选.设计数字低通滤波器.要求在通带内频率低于0.2prad时，容许幅度误差在1dB以内，在频率0.3p到p之间的阻带衰减大于15dB.指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器.试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计.【例题】①数字低通的技术指标为：

wp=0.2prad，ap=1dB

ws=0.3prad，as=15dB②模拟低通的技术指标为(T=1s)：

Wp=0.2prad/s，ap=1dB

Ws=0.3prad/s，as=15dB解：(1)脉冲响应不变法设计数字低通.③设计巴特沃斯低通滤波器.

先计算阶数N及3dB截止频率Wc.由wp和ap得到3dB截止频率Wc=0.7032rad/s.根据阶数N=6查表得归一化传输函数：归一化：将p=s/Wc代入Ha(p)中得到实际的传输函数Ha(s).④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z).用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性①数字低通技术指标仍为：

wp=0.2prad，ap=1dB

ws=0.3prad，as=15dB②模拟低通的技术指标为：(2)双线性变换法设计数字低通.③设计巴特沃斯低通滤波器.由Ws和as得到Wc=0.7662rad/s.阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过.查表得归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同.去归一化，将p=s/Wc代入Ha(p)得Ha(s).④用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)：用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计，可以借助于模拟滤波器的频率转换设计一个所需类型的模拟滤波器，再通过双线性变换将其转变成所需类型的数字滤波器.具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标.(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为：(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标.(4)设计模拟低通滤波器.(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器.(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器.设计一个数字高通滤波器.要求通带截止频率wp=0.8prad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ws=0.44prad，阻带衰减不小于15dB.希望采用巴特沃斯型滤波器.【例题】wp=0.8πrad，ap=3dBws=0.44πrad，as=15dB令T=1s，则有：解：(1)数字高通的技术指标为：(2)模拟高通的技术指标计算如下：(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：将Wp和Ws对3dB截止频率Wc归一化.(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p).

模拟低通滤波器的阶数N计算如下：查表得归一化模拟低通传输函数G(p)为：去归一化。将p=s/Wc代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通.将G(s)中的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：(6)用双线性变换法将模拟高通H(s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即设计一个数字带通滤波器。通带范围为0.3prad