第3章-标量衍射理论课件

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

《傅里叶光学•第2版》电子教案

周哲海吕乃光编著机械工业出版社第三章标量衍射理论引言衍射是一切波动传播的共有特性。在此仅讨论物理光学范围内的光波的衍射传播。衍射：按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”

光波的传播过程就是光波衍射过程，包括：光波在自由空间的传播(光波在空间中从一个平面到另一个平面)，光波在光学成像系统的传播，光波在光学信息处理系统的传播，等等。光波是矢量波，应当用严格的衍射理论(考虑光波的矢量特性)来描述光波的衍射过程。但在一定的条件下，可以采用标量衍射理论来描述。引言假设与近似严格（矢量波）衍射理论(1)整个光波场内光矢量振动方向不变，或只考虑光矢量的一个方向；(2)衍射屏的最小尺寸大于波长；(3)观测距离远大于波长；(4)折射率与光强无关(线性介质).标量波衍射理论波动光学信息光学(基础)经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。引言本章主要内容1、光波的数学描述2、基尔霍夫衍射理论3、衍射的角谱理论4、菲涅耳衍射5、夫朗和费衍射6、衍射的巴比涅原理7、衍射光栅8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*引言引言 以Kiechhoff衍射公式讨论衍射问题，并利用线性系统理论赋予新的解释。 把衍射过程看做线性不变系统，讨论其脉冲响应和传递函数。

重点掌握光的传播就是光的衍射过程这一物理思想，理解角谱概念，在傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光学元件的成像机理。标量波动方程1、光波的数学描述单色光波场中的光振动为u(x,y,z,t)，满足标量波动方程满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。大家已学过1、光波的数学描述1.1单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为其中，是光波的时间频率；a(x,y,z)和

(x,y,z)分别是P点光振动的振幅和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：1、光波的数学描述式中，Re{}表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用复指数函数表示简谐波的波函数，光场随时间的变化e

-j2pnt不重要:n~1014Hz,无法探测n为常数,线性运算后亦不变复数表示有利于将时空变量分开定义一个新的物理量：称之为单色平面波在P点的复振幅，它与时间t无关，仅是空间位置坐标的函数。光强分布则为对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.

故引入复振幅U(P):1、光波的数学描述1、光波的数学描述1.2球面波单色发散球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为其中，k=2

/

为波数，表示单位长度上产生的相位变化；

r

表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；

a0

表示距点光源单位距离处的振幅。（当直角坐标的原点与球面波中心重合时）1、光波的数学描述思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？Answer:指数上加负号当点光源或会聚点位于空间任意一点(x0,y0,z0)时，有考察与其相距z(z>0)的xy

平面上的光场分布。r

可写为观察点P(x,y,z)离开点光源或会聚点的距离1、光波的数学描述并考虑徬轴近似点光源位于x0y0平面，求与其相距z

(z>0)的xy平面上的光场分布.z0=0利用二项式展开，并略去高阶项，得到利用二项式展开，并略去高阶项，得到将简化式代入发散球面波表达式，得到球面波在平面上复振幅分布为常量位相因子二次位相因子1、光波的数学描述发散球面波在平面上产生的复振幅分布的位相因子中包括两项(1)常量位相因子

exp(jkz)

与传播距离有关.1、光波的数学描述(2)随平面坐标变化的第二项称作二次（球面波的）位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有下述因子，就可以认为距离该平面z处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族1、光波的数学描述（1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？（2）会聚球面波在徬轴近似下的复振幅表达式是什么？思考题：1、光波的数学描述重要概念：波前，等相位面a)发散球面波b)会聚球面波

当等相位面与某一平面相交，则得到一系列的交线，这些交线就是光波在该平面上的等相位线！1、光波的数学描述

1.3平面波平面波也是光波最简单的一种形式(波动方程的基本解)。定义：在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称为平面波.其中，（1）a

是常量振幅；（2）cos、cos、cos为传播方向的方向余弦，而且有 沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：于是复振幅可写为

其中1、光波的数学描述和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分.同样在xy平面上，z为常量，1、光波的数学描述平面波在xy

面上的等位相线(A为常量)在xy平面上的复振幅为：其中称为平面波的位相因子.等位线方程为因此，等位相线是一些平行直线。1、光波的数学描述1.4平面波的空间频率平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量，透彻理解这个概念的物理意义是非常重要的。如下图，首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,（1）xy平面上复振幅分布为（2）等位相线方程为xy平面z=z平面1、光波的数学描述由于等相位线上的振动相同，所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差2的两相邻等位相线的间隔X表示。xy平面上等位相线方程等位相线的分布如右图所示，是一组垂直于x轴的平行线，而且间距相等。(沿y方向，相位不变)x方向的空间周期为X，X=?xz平面xy平面1、光波的数学描述其中，为光波波长。空间周期的倒数即为空间频率，表示x方向单位长度内变化的周期数，即xy平面上等位相线方程当则有1、光波的数学描述又因为等相位线平行于y轴，则y方向的空间频率为此时，xy平面上的复振幅分布可表示为即可用空间频率表示xy平面上的复振幅分布；*上式就是一个传播方向为(cos

=x、cos=0)的单色平面波的表达式。1、光波的数学描述当为锐角时，如图所示空间频率为正值，表示在x方向上，位相沿x正向增加。当为钝角时，如图所示空间频率为负值，表示在x方向上，位相沿x正向减小。(3)空间频率为负数的情况1、光波的数学描述比较两种情况：位相沿x方向的变化相反沿x方向各点光振动发生的先后次序相反因此，空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向。传播方向的分量1、光波的数学描述在xy平面上，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿x和y方向的空间频率为（4）传播方向为任意情况，情况又如何？则xy平面上的复振幅分布可表示为(用空间频率表示)(用方向余弦表示)1、光波的数学描述前面，分析了平面波在某一平面(xy平面)上的情况,现在分析平面波在空间(3D)中的情况 平面波的位相差为2的等位相面的间距，在三个方向上分别为X、Y和Z——(振荡)周期三个方向上平面波的空间频率分别定义为 空间频率表示在x

、y、z

轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。这就是平面波空间频率的物理意义。时间倒数：频率；长度倒数：空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位：周/mm，线对/mm，L/mm，等）信息光学中有两种空间频率，一种是空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率；另一种是平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm

）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。空间频率的两种意义1、光波的数学描述1、光波的数学描述而且满足如下关系（1）思考题：若用空间角频率表示平面波的复振幅分布，结果如何？已知从而平面波的复振幅的一般表达式变为1、光波的数学描述(2)对于如下图所示的情况，光波从P0点沿P方向传播，传播矢量在x和y方向上与z轴的夹角分别是x

和y，则平面波在xy平面上的复振幅分布可表示为什么？提示：回顾1、光波的数学描述对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.

故引入复振幅U(P):1、球面波在平面上复振幅分布为常量位相因子二次位相因子回顾2、平面波平面波在xy平面上(z为常量)复振幅为三个方向上平面波的空间频率分别定义为 空间频率表示在x

、y、z

轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。这就是平面波空间频率的物理意义。用空间频率表示空间频率与方向的关系回顾f的意义?1、光波的数学描述1.5复振幅分布的空间频谱（角谱）利用傅里叶变换对位于单色光场中的xy平面上的复振幅分布U(x,y,z)进行傅里叶分析，U(x,y,z)的频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到同时有逆变换为空间频谱：空间频谱逆变换为1、光波的数学描述因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。代表一个传播方向余弦为(cos=x、cos=y)的单色平面波。平面上的复振幅分布U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)，而且2012-3-16换句话说：单色光波在某一平面上的光场复振幅分布U(x,y,z)可以看作是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相，它们的值分别为频谱的模和幅角。平面上的复振幅分布U(x,y)看作不同频率的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。1、光波的数学描述频率传播方向1、光波的数学描述 由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱为xy平面上复振幅分布的角谱。 以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量，复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为1、光波的数学描述引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的单色平面波的叠加；

不同方向=不同(空间)频率(2)在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们的值分别取决于角谱的模和幅角。1、光波的数学描述 在z=0平面上的光场分布U(x,y,0)

和z=z平面上的光场分布U(x,y,z)

可以分别记作研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即

z=0

平面上的角谱和z=z平面上的角谱之间的关系。角谱的传播1、光波的数学描述研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即

z=0

平面上的角谱和z=z平面上的角谱之间的关系。2、基尔霍夫衍射理论2.1惠更斯—菲涅耳原理“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且，“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”

《论光》,惠更斯,1690“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。”—巴黎科学院,菲涅耳,1818数学表达式2、基尔霍夫衍射理论其中，U(P0)是波面上任意一点P0的复振幅，U(P)是光场中任一观察点P的复振幅，r是P0到P的距离，是P0P和过P0点的元波面法线n的夹角，K()是与有关的倾斜因子，C为常数。2、基尔霍夫衍射理论2.2基尔霍夫衍射公式1882年，基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，并对其进行了修正。基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故又称标量衍射理论。对于单色波，基尔霍夫从标量波动方程出发，利用格林定理这一数学工具，采用适当的边界条件，推导出无限大不透明屏上孔径后面观察点P的场分布为2、基尔霍夫衍射理论其中，P

是照明孔径的点光源，P0是孔径上某一点，P为孔径后面某一观察点，r

和r分别P

和P到P0的距离。上式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式，它为惠更斯—菲涅耳原理提供了更可靠的波动理论基础。无限大不透明屏上孔径后面观察点P的场分布为2、基尔霍夫衍射理论U(P0)CK(0,)=K()菲涅耳—基尔霍夫衍射公式此式在假定边界条件下经过严格的数学推导，有严格的数学依据。是在无限大不透光屏上有一开孔的情况下推导出的。但可以推广到任何复杂的衍射屏。只是此时，公式中：U(P0)=Ui(P0)t(P0)Ui(P0)：入射到衍射屏上的光场的复振幅分布，t(P0)：衍射屏的复振幅透过率。严格地U(P0)应写成U0(P0)Ui(P0)：入射到衍射屏上的光场的复振幅分布；t(P0)：衍射屏的复振幅透过率。2、基尔霍夫衍射理论U(P0)=Ut(P0)=Ui(P0)t(P0)2、基尔霍夫衍射理论2.3光波传播的线性性质令根据基尔霍夫衍射公式则有这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此衍射过程(光波从衍射平面到观察平面的传播过程)可以看作是一个线性系统，即光波的传播现象可以看作是一个线性系统！红线部分取决于P、P0位置。2、基尔霍夫衍射理论

U(P0)是输入，U(P)是输出，h(P,P0)是该线性系统的脉冲响应(点扩散函数)。

h(P,P0)可以看作是：衍射屏上P0点的一个单位脉冲在场点P产生的复振幅分布。它描述了衍射系统的特性。它具有点源球面波的特性，它就是惠更斯-费涅耳原理中的次波源发出的次级球面波。若把衍射过程看成一个线性系统，惠更斯-费涅耳原理中的次级球面波就是这个系统的脉冲响应(点扩散函数)。2、基尔霍夫衍射理论 若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为下面讨论光波的衍射传播具有平移不变性对脉冲响应函数进行分析则上述线性系统的脉冲响应函数简化为设点源与场点距衍射屏足够远，且观察范围较小(即在徬轴近似下)，2、基尔霍夫衍射理论倾斜因子可忽略忽略倾斜因子的变化后，就可以把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波通过一个线性不变系统。2、基尔霍夫衍射理论这表明，在满足一定条件下，衍射屏上各次波源在场点P处产生的复振幅分布具有相同的分布形式，只是发生一个空间平移。也就是说，具有平移不变性。可写成卷积形式：光波在衍射屏后的传播过程是光波通过一个线性空间平移不变系统，其在空域中的特性唯一地由其空不变的脉冲响应所决定。U0的说明2、基尔霍夫衍射理论脉冲响应函数具有空间不变的函数形式，也就是说光波在衍射孔径后的传播现象可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。利用两者的关系，确定整个光场的传播特性。3、衍射的角谱理论3.1角谱的传播根据上面介绍的角谱理论可知，孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。而每一个平面波分量的相对振幅和位相取决于相应的角谱：孔径平面观察平面3、衍射的角谱理论将U(x,y,z)表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的顺序，可以推导出，二阶线性微分方程该二阶常微分方程的一个基本解是或者写成：3、衍射的角谱理论z=0平面上的角谱为，因而有最后得到两个平行平面之间角谱传播的规律为3、衍射的角谱理论 这就是衍射的角谱理论公式，它给出了角谱传播的规律； 在确定了观察光场的角谱后，就可以利用傅里叶逆变换求出其复振幅分布。3、衍射的角谱理论两平行平面间角谱传播规律的意义：已知平面上的光场分布U(x,y,0)，由角谱传播规律，可求出光场分布U(x,y,z)。U(x,y,0)U(x,y,z)傅立叶逆变换傅立叶变换角谱传播的规律3、衍射的角谱理论 实际上这就是自由空间衍射的数理模型，即光传播的角谱分析方法； 还需要说明一点的是，两个平行平面之间角谱传播的规律也可以由平面波的复振幅传播规律直接导出。

U(x,y,0)U(x,y,z)傅立叶逆变换傅立叶变换角谱传播的规律3、衍射的角谱理论输出频谱输入频谱传递函数系统在频域的效应由传递函数表征：3、衍射的角谱理论可见，光波的传播现象可看作一个空间滤波器，它具有有限的空间带宽：在频率平面上半径为1/的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，但引入了与频率有关的相移；在圆形区域之外，传递函数为零。3、衍射的角谱理论思考题：基尔霍夫衍射理论和角谱理论的联系和区别是什么？Answer:1）基尔霍夫衍射理论和角谱理论完全是统一的，它们都证明了光的传播现象可看作线性不变系统；2）基尔霍夫理论是在空间域讨论光的传播，是把孔径平面光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加，而球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。3、衍射的角谱理论Answer:3）角谱理论是在频率域讨论光的传播，是把孔径平面场分布看作很多不同方向传播的平面波分量的线性组合，观察平面上场分布仍然等于这些平面波分量相干叠加，但每个平面波分量引入相移。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统脉冲响应的傅里叶变换。2012-3-19回顾任何面上的光波场的复振幅都可以看出不同空间频率（不同角度）的单色平面波分量的线性叠加。不同频率所占的成分即频谱（角谱）就是在频域中描述光波场。研究光波场的传播也就是研究角谱的传播。角谱的传播研究角谱的传播就是要找到z=0

平面上的角谱和z=z平面上的角谱之间的关系。代表一个传播方向余弦为(cos=x、cos=y)的单色平面波。回顾基尔霍夫衍射理论U(P0)CK(0,)=K()菲涅耳—基尔霍夫衍射公式这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此衍射过程(即光波的传播现象)可以看作是一个线性系统，可以看作是一个线性系统！回顾

(在徬轴近似下)忽略倾斜因子的变化后，就可以把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波通过一个线性不变系统。

导出了衍射的角谱理论公式，即给出了角谱传播的规律；系统在频域的效应由传递函数表征：回顾3、衍射的角谱理论3.2孔径(衍射屏)对角谱的影响平面屏幕孔径的复振幅透过率为t(x0,y0)，入射到孔径平面上的光场复振幅为Ui(x0,y0)，则紧靠屏幕后的平面上透射光场的复振幅分布可以表示为假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别为和对应的角谱表达式？3、衍射的角谱理论由傅里叶变换的卷积定理可确定两者的关系为其中，T()是孔径透过率函数的傅里叶变换。卷积运算的展宽效应，导致：孔径(衍射屏)的引入使光波的角谱(空间频率)展宽。在出射光波中，除了包含与入射光波的传播方向相同的分量之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的平面波成分，这就是衍射波。衍射屏使光波在空间上受限，展宽了光波的角谱，空间受限越厉害，角谱展宽越大。如果采用单位振幅平面波垂直照明孔径，入射光场为入射光场的角谱为3、衍射的角谱理论3、衍射的角谱理论则有透射光场等于孔径透过率的傅里叶变换。光波由于衍射孔径的限制，在频率域展宽了入射光场的角谱。（出射光波的角谱等于衍射屏的角谱，大大展宽了。）3、衍射的角谱理论上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做个直观的说明。菲涅耳衍射和夫琅和费衍射按传播距离划分衍射区菲涅耳衍射和夫琅和费衍射(2)几何阴影区平面波入射衍射现象衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P的复振幅U(P)

能否用光场中各源点的复振幅表示出来。

4、菲涅耳衍射4.1实际的衍射现象可分为两种类型：菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。

什么是菲涅耳衍射和夫琅和费衍射？4、菲涅耳衍射4.2菲涅耳衍射公式其中：4、菲涅耳衍射近似条件：对复指数exp(jkr)中的r作二项式展开（当z大于某一尺度）菲涅耳区即：孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，（z远大于孔径以及观察区域的最大线度）则有4、菲涅耳衍射这是菲涅耳衍射充分条件，但不是必要条件。实际上当z较小不满足上式时，也能观察到费涅耳衍射。4、菲涅耳衍射称之为菲涅耳近似。此时脉冲响应简化为其物理意义是用二次曲面近似表示球面子波(费涅耳近似的实质)。把上述简化的脉冲响应函数代入叠加积分式，则得到卷积形式表达的菲涅耳衍射方程：4、菲涅耳衍射上式就是菲涅耳衍射公式。空域积分和卷积表示将指数中的二次项展开，可得到用傅里叶变换形式表示的菲涅耳衍射方程，更常用的菲涅耳衍射公式如下4、菲涅耳衍射费涅耳衍射的FT表示4、菲涅耳衍射前面4、菲涅耳衍射频谱或角谱的表示前面得到两个平行平面之间角谱传播的规律在菲涅耳区内又由于菲涅耳衍射的传递函数是4、菲涅耳衍射菲涅耳衍射的传递函数它表示菲涅耳衍射在频率域的效应；上式仅仅是对普遍的传递函数的一种近似。上式第一项位相因子表示各角谱分量在距离为z的两个平面之间传播时都要受到的一个均匀的位相延迟。第二项位相因子表示各角谱分量将产生与频率有关的相移。4、菲涅耳衍射菲涅耳衍射的传递函数作傅立叶逆变换与基尔霍夫理论得出的叠加积分完全相同4、菲涅耳衍射4.3菲涅耳衍射的例子—泰伯效应(Taboreffect)什么是泰伯效应？用单色平面波垂直照射一个周期性物体（例如透射光栅）时，在物体后面周期性的距离上出现物体的像。它不是一种透镜成像，而是衍射成像。图中zT为泰伯距离，具体分析过程请参考教材91-92页。复振幅透过率用单位振幅的平面波垂直照明，紧靠物体后的光场分布从频域讨论与物平面相距为Z的观察平面上的光场分布4、菲涅耳衍射U(x,y,0)U(x,y,z)傅立叶逆变换傅立叶变换角谱传播的规律d为周期物场的频谱5、夫琅和费衍射菲涅耳(衍射近似)条件：进一步相对地增大z5、夫琅和费衍射若要使z进一步增大，使其不仅满足菲涅耳近似条件，而且满足这时观察平面所在的区域称为夫朗和费区，这一近似称为夫琅和费近似。菲涅耳近似在菲涅耳近似的基础上进一步限定传播距离z远远大于孔径的线度，可以忽略(x02+y02)/(2z)，而观察范围的线度与z相比尽管很小，但还未小到可以略去(x2+y2)/(2z)的程度.5、夫琅和费衍射5.1夫朗和费衍射公式在夫琅和费近似，将5、夫琅和费衍射代入脉冲响应公式则平方位相因子在整个孔径上近似为15、夫琅和费衍射把上式代入脉冲响应公式，有把该脉冲响应代入衍射公式，有不再具有平移不变性强度分布为：5、夫琅和费衍射说明：1.观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射(出射)光场分布的傅里叶变换；(观察面上的场分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积)2.近似条件很苛刻,可以用会聚透镜实现;3.能用来计算菲涅尔衍射的公式也能用来计算夫琅和费衍射,反之不能;4.菲涅尔衍射传递函数表达式仍然有效.夫琅和费衍射区的条件苛刻例:P48,2.10题

=632.8nm,Rmax=31mm菲涅耳衍射区z>>1.2m

夫琅和费衍射区要求z>>6.3m=532nm,夫琅和费衍射区要求z>>7.5m与菲涅耳衍射的关系菲涅耳衍射区包括了夫琅和费衍射区夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的进一步近似5、夫琅和费衍射强调两点：1）在夫琅和费近似下，不再具有平移不变性；2）空域中，衍射光场分布U(x,y)不再具有卷积形式；除相位因子外，是衍射屏出射光场的FT。3）对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场的傅里叶变换并没有区别。5、夫琅和费衍射上次课提要：说明：1.观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射(出射)光场分布的傅里叶变换；(观察面上的场分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积)2.近似条件很苛刻,可以用会聚透镜实现;5、夫琅和费衍射矩孔,单缝,和圆孔的夫琅和费衍射图样5.2一些简单孔径的夫琅和费衍射5、夫琅和费衍射利用上面的夫琅和费衍射方程可以确定一些典型孔径的夫琅和费衍射图样，例如圆孔、矩形孔、单缝以及多缝结构（如光栅）等。孔径（衍射屏）的类型： 振幅调制型和相位调制型5、夫琅和费衍射衍射屏及其复振幅透过率(或反射率)衍射屏：只要以某种方式对入射光波的波面进行调制（包括振幅调制，相位调制等），就可称之为衍射屏。衍射屏的复振幅透过率（或反射率）：是衍射屏对光波调制作用的数学描述，是描述衍射屏宏观光学性质的函数。

t(x,y)为复振幅透过率。5、夫琅和费衍射t(x,y)可实可复,一般可表示为：其中，A(x,y)是振幅透过率，(x,y)是相位透过率。当(x,y)=常数，但A(x,y)常数时，只对入射光波的振幅进行调制，称之为振幅型的。当A(x,y)=常数，但(x,y)常数时，只对入射光波的相位进行调制，称之为相位型的。当A(x,y)常数，但(x,y)常数时，对入射光波的振幅和相位都进行调制，称之为复合型的。如1）光学均匀的平行平面玻璃板——相位型2）非平行平面玻璃板，或非光学均匀的平行平面玻璃板——相位型3）各种不透明屏上的开孔，黑白光栅——振幅型4）图像透过率片——振幅型，相位型，或复合型5）空间光调制器（SLM）

——振幅型，相位型，或复合型5、夫琅和费衍射5、夫琅和费衍射假设一均匀单色平面波垂直照明孔径，平面波的振幅为A，则孔径的透射光场分布为：其中，t(x0,y0)是孔径的复振幅透过率。由夫朗和费衍射公式，观察平面场分布为5、夫琅和费衍射观察平面上的衍射图样的复振幅分布正比于物体(孔径、衍射屏)的频谱。夫琅和费衍射是实现傅里叶变换运算的物理手段，是我们对物体作频谱分析的基础。对应的衍射图样的强度分布为振幅为A的单色平面波垂直入射时，孔径的衍射场为：物屏(孔径、衍射屏)的频谱(即FT)=单色光垂直入射时，观察平面上的夫琅和费衍射图样。为实施这个图样，可以采用4f系统。夫琅和费衍射也就是平行光衍射。5、夫琅和费衍射5、夫琅和费衍射1）圆孔衍射圆孔的复振幅透过率可以表示为其中，a为圆孔半径，r0为孔径平面的径向坐标，如图所示5、夫琅和费衍射圆孔的复振幅透过率：圆函数的频谱就是傅里叶-贝塞尔变换。5、夫琅和费衍射采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为（利用傅里叶-贝塞尔变换）：强度分布为5、夫琅和费衍射通常称之为爱里图样。中央亮斑（爱里斑）的半径为：强度分布为（如下图）角半径(衍射角1):重要的是中央光斑，占有全部能量的83.78%.——称之为爱里斑。中央亮斑（爱里斑）的半径为：5、夫琅和费衍射具体在夫琅和费衍射装置中，z=f.2012-3-26回顾其中：菲涅耳近似下，脉冲响应简化为用二次曲面近似表示球面子波(费涅耳近似的实质)。回顾空域积分和卷积表示费涅耳衍射的FT表示回顾两个平行平面之间角谱传播的规律菲涅耳近似下，传递函数是由傅立叶逆变换同样可以得到U(x,y)从频域出发回顾若要使z进一步增大，使其不仅满足菲涅耳近似条件，而且满足夫琅和费近似条件把该脉冲响应代入衍射公式，有强度分布为：回顾假设一均匀单色平面波垂直照明孔径，平面波的振幅为A，则孔径的透射光场分布为：其中，t(x0,y0)是孔径的复振幅透过率。强调两点：1）在夫琅和费近似下，不再具有平移不变性；2）空域中，衍射光场分布U(x,y)不再具有卷积形式；除相位因子外，是衍射屏出射光场的FT。3）对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场的傅里叶变换并没有区别。回顾5、夫琅和费衍射2）矩孔衍射矩孔的复振幅透过率可表示为：其中，a、b分别是孔径在x0和y0方向上的宽度。其对应频谱为5、夫琅和费衍射采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为：强度分布为5、夫琅和费衍射光能主要集中在中央亮斑，其宽度为：

在x轴方向上的相对光强分布宽度与孔径的关系5、夫琅和费衍射单缝衍射对于上面的距孔，假如b>>a，矩孔就变成了平行于y0轴的狭缝，衍射图样将集中在x轴上。采用单位振幅的单色平面波垂直照明狭缝，距离为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布为强度分布为单缝衍射的强度分布5、夫琅和费衍射5、夫琅和费衍射3)双缝衍射如图，衍射孔径由双缝组成，狭缝宽度为a，中心相距为d，其复振幅透过率可表示为：孔径平面观察平面5、夫琅和费衍射其对应的频谱为透过率的频谱为5、夫琅和费衍射当采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径时，观察平面上夫琅和费衍射的复振幅分布为衍射因子5、夫琅和费衍射强度分布为（如右图）可见，双缝夫琅和费衍射图样的强度分布是单缝衍射图样与双光束干涉图样相互调制的结果。干涉因子fxasinc(afx)01/aa*F.T.F.T.F.T.rect(x0/a)0a/2-a/21x00d/2-d/2d(x0-d/2)+d(x0-d/2)1x01x0t(x0)0d/2-d/22cos(pfxd)f02双缝的频谱是两个单缝的频谱以一定的位相关系互相干涉的结果5、夫琅和费衍射——双缝衍射6、衍射的巴比涅原理如上图所示，两个衍射屏1和2是一对互补屏；设U1(P)和U2(P)

分别表示由1和2在观察平面上P点产生的衍射光场，则如下结论成立：1）两个互补屏在观察点产生的衍射场，其复振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅，即

U1(P)+U2(P)=U(P)2）若采用单色平面波垂直照明，经透镜聚焦在其后焦面，自由光场的夫琅和费衍射正比于(P)，对于轴外点有U(P)=0。此时在每一轴外点互补屏产生的光场复振幅分布位相相差；互补屏产生的夫琅和费衍射分布，除轴上点以外，强度分布完全相同。

U1(P)=

U2(P)

以及I1(P)=I2(P)6、衍射的巴比涅原理错误观点：互补屏产生的衍射图样的强度互补。7、衍射光栅*1）回顾一下，什么是光栅？衍射光栅具有周期性重复排列的结构，可对入射光波的振幅或位相（或者两者同时）施加周期性的空间调制，2）光栅是光学仪器中或者光学信息处理系统中常用的重要光学元件。下面将尝试使用傅里叶分析的方法分析几种典型光栅的衍射图样以及它们对光谱的分辨本领。这几类典型的光栅包括：线光栅余弦型振幅光栅正弦型位相光栅矩形位相光栅线光栅7、衍射光栅假设线光栅狭缝宽度为a，缝间不透明部分的宽度为b，相邻狭缝的中心距为d（d称为光栅常数），光栅缝数为N。首先从突出物理思想的角度分析线光栅夫琅和费衍射•实验装置

(1)先设想将衍射屏上的各缝除任意一条之外都遮住，这时接收屏上呈现的是单缝衍射花样。•光强的分布即衍射花样仅取决于衍射角，当只有单缝上下平移时，衍射花样不变，因此：若让N条缝轮流开放，幕上获得的花样是完全一样的。1、分析：•(2)N条缝是相干的，因此由于多缝之间的干涉，幕上的强度就会发生重新分布。思路：先计算狭缝的衍射光强分布，得到N个单缝衍射光A

，然后再把这N个单缝衍射光相干叠加，得到P

点的总振动。考虑：沿某一任一方向的各衍射线，经透镜L2的聚集后，都会聚幕上同一点P。考虑相邻两个单缝衍射光的相位差（=相邻两个合振动的相位差）=相邻两个狭缝的对应点发出的衍射线间的相位差。综上所述，P点的振动可看成N束平行的、振幅相等、且相邻两束光的位相差也相同的多光束干涉。综上所述，P点的振动可看成N束平行的、振幅相等、且相邻两束光的位相差也相同的多光束干涉。在P点：问题就归结为多光束干涉。每一束光的振幅为相邻两束光的位相差2、多光束干涉的结果(一)极大值（条纹或谱线）光栅方程：由于A的不同，各级主最大的光强不等。

N个单缝衍射光A相干叠加，每一个缝的A随（P）改变。（二）最小值设狭缝数目为N，对衍射角，若相邻光振动矢量的相位差均为，则根据多边形合成法则：3、光强分布特点：1.主最大的位置由缝间干涉决定，即由光栅常数决定（若可以忽略单缝衍射，各级主最大的光强度相同）。2.单缝衍射的作用仅在影响在各级主最大之间的能量(光强度)分配，即如图形成一个“包络线”。可称多缝干涉被单缝衍射调制。3.两个主最大间有(N-1)个最小值，(N-2)个次最大。4.多缝衍射的主最大，除受到单缝衍射因子调制外，仍具有多缝干涉的特点（亮、细、开）。缺级现象（衍射对干涉的调制）缺级规律的推导 当j级谱线位置刚好是单缝衍射(因子)的最小值。三、光栅的色散本领和色分辨本领 光栅的主要应用是形成光谱，不同颜色(波长)的谱线总存在一定的宽度，当相邻两条谱线靠的很近时，就可能无法分辨。 要使光谱容易分辨，就希望不同颜色的谱线分得越开越好，谱线越细越好。光栅的色散本领和色分辨本领{{复色光的光谱图从光谱的角度看，光栅的色散本领和色分辨本领是描述光栅性能的两个主要指标。两条不同的谱线分开的程度与光栅本身的性质有关，引入角色散本领或角色散率来描述光栅使不同谱线分开的能力。设两波长分别为和+d，它们的j级谱线分开的角度为d，则角色散本领(角色散率)1、色散本领(色散率)对于j=1,2级光谱，衍射角很小，D近似为常数，与无关，谱线间距近似与波长间隔成正比(称为匀排光谱)。角色散本领(角色散率)2、色分辨本领两波长相差很小的谱线能否被分辨是光栅的另一个重要性质。前面讨论的色散率D，只说明谱线中心分离的程度，不能说明谱线是否重叠和是否能被分辨，因为还与谱线的粗细有关。谱线的粗细程度已讨论。谱线的半角宽度：某一单色光波长差为的两条谱线的色散角为定义光栅的色分辨本领P： 根据瑞利判据,两条相邻谱线的色散角等于半角度宽度时,刚好能够分辨。所以，已知谱线的半角宽度为:说明:①P与缝的总数N和级数j成正比，而与d无关。(N一定时，刻线密即d小，使色散本领大，但不能提高色分辨本领。因为d减小,使D和同时增大.）光栅的色分辨本领P：②d一定时，要求N大,使色分辨本领P增大,但不能提高色散本领。③光栅光谱仪的两个本领是它本身确定的,与所用的光无关。7、衍射光栅假设线光栅狭缝宽度为a，相邻狭缝的中心距为d，则光栅的透过率可表示为从FT角度分析其对应的频谱为若考虑光栅的大小限制，假设其为边长为L的正方形，则其透过率为：7、衍射光栅其对应的频谱为若考虑光栅的大小限制，假设其为边长为L的正方形，则其透过率为：7、衍射光栅若采用单位振幅的单色平面波垂直照明光栅，其夫朗和费衍射图样的复振幅分布为：则强度分布为7、衍射光栅7、衍射光栅分辨本领是指分辨两个波长很靠近的谱线（和）的能力。根据瑞利判据，一条谱线的强度极大值与另一条谱线的第一个极小值重合时，两条谱线刚好能够分辨，如图所示。则光栅的分辨本领为(m为光栅级次，N为光栅缝数):zx余弦型振幅光栅处于一个宽度为L

的方孔内，光栅空间频率为0

，透过率调制度为m，m/2表示透过率呈余弦变化的幅度，光栅的整体尺寸为LL，其透过率函数为：余弦型光栅振幅透过率函数在x0方向的截面图7、衍射光栅余弦型振幅光栅7、衍射光栅余弦型振幅光栅的透过率函数可表示为根据余弦函数及矩形函数的傅里叶变换对和函数及傅里叶变换的性质，可得光栅的频谱为前面学过的线光栅是以矩形波的形式对入射波产生振幅调制的；余弦型振幅光栅是以余弦波的形式对入射波产生振幅调制的。夫琅和费衍射图的复振幅分布为7、衍射光栅由sinc函数的分布可知，每个sinc

函数的主瓣的宽度正比于

z

/L，而由上式可见，这三个函数主瓣之间的距离为f0

z。若光栅频率f0

>>比1/L大得多，即光栅的周期d=1/f0比光栅的尺寸L小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在交叠，那么平方时不存在交叉项，因而强度为7、衍射光栅因而强度为结论：用平面波照明的光栅后方光能量重新分布，其能量只集中在三个衍射级上；0级与+1级衍射间的距离为f0lz

。

显然傅里叶分析方法比传统的光程差分析方法要简捷得多。能量只集中在三个衍射级上7、衍射光栅*衍射图样只包含0、-1和+1级，而没有更高的级次，这是与线光栅的主要区别。7、衍射光栅根据上面的分析可知，波长和

的一级谱的峰值分别位于0

z和0

z处，而每条谱中央亮斑的半宽度为

z/L，则根据瑞利判据，两条谱线刚好分开必须满足的条件为：则光栅的分辨本领为N为光栅上余弦条纹的数目，它与m=1级时的线光栅的分辨本领相同。光栅的分辨本领光栅的有限的分辨本领是由实际光栅的有限尺寸引起的有限尺寸Lx谱线的线形为sinc函数，其半宽度定义分辨本领光栅第m级谱线的位置xm对应于阵列函数谐波频率的位置:与使用波长有关瑞利准则要求

N为在Lx范围内容纳的光栅条纹数即#7、衍射光栅（后面不讲）有限大正型弦相位