(课标通用)北京市2020版高考数学大一轮复习-第二章-5-第五节-指数与指数函数课件

第五节指数与指数函数第五节指数与指数函数11.指数幂的概念2.有理数指数幂3.指数函数的图象与性质教材研读1.指数幂的概念2.有理数指数幂3.指数函数的图象与性质教材2考点一指数幂的运算考点二指数函数的图象与性质考点三指数函数的应用考点突破考点一指数幂的运算考点二指数函数的图象与性质考点三3

教材研读1.指数幂的概念根式的概念符号表示备注如果①

xn=a

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个②

正数

,负数的n次方根是一个③

负数

,

零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有④

两个

,它们互为⑤

相反数

±

负数没有偶次方根(1)根式的概念 教材研读1.指数幂的概念根式的概念符号表示备注如果①

4(2)两个重要公式

=

(

)n=⑨

a

(注意a必须使

有意义).(2)两个重要公式52.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂:

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正数的负分数指数幂:

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分数指数幂是 

0

,0的负分数指数幂无意义.2.有理数指数幂(iii)0的正分数指数幂是 0

,6(2)有理数指数幂的运算性质(i)aras=

ar+s

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

ars

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

arbr

(a>0,b>0,r∈Q).(2)有理数指数幂的运算性质73.指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

性质过定点 

(0,1)

当x>0时, 

y>1

;当x<0时, 

0<y<1

当x>0时, 0<y<1

;当x<0时, 

y>1

在(-∞,+∞)上是单调增函数

在(-∞,+∞)上是单调减函数

3.指数函数的图象与性质a>10<a<1图象  定义域 

81.计算[(-2)6

-(-1)0的结果为

(B)A.-9

B.7

C.-10

D.9解析

原式= -1=23-1=7.故选B.

1.计算[(-2)6 -(-1)0的结果为 (B)92.函数f(x)=3x+1的值域为

(B)A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)解析

∵3x>0,∴3x+1>1,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).

2.函数f(x)=3x+1的值域为 (B)解析

103.(2016北京东城期中)函数y=ax-

(a>0,且a≠1)的图象可能是

(D)

3.(2016北京东城期中)函数y=ax- (a>0,且a≠11解析

当x=-1时,y=

-

=0,所以函数y=ax-

的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选D.解析

当x=-1时,y= - =0,所以函数y=ax124.已知f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,则“f(2)>g(2)”是“a>b”的

(

C

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件解析

因为f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,所以a>0且a≠1,b>0且b≠1.若f(2)>g(2),则a2>b2,所以a>b,充分性成立.若a>b,则a2>b2,所以f(2)>g(2),必要性成立.

4.已知f(x)=ax和g(x)=bx是指数函数,则“f(2135.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点

.

答案(2,-2)解析令x-2=0,则x=2,此时,f(x)=1-3=-2,故函数f(x)=ax-2-3的图象必过定

点(2,-2).

5.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过146.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为

.答案(2,3)解析∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.

6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值15考点一指数幂的运算典例1化简:考点突破(1)

+2-2×

-(0.01)0.5;(2)

·b-2·(-3

b-1)÷(4

·b-3

;(3)

.考点突破(1) +2-2× -(0.01)0.5;16解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×

-

=1+

-

=

.(2)原式=-

b-3÷(4

·b-3

=-

b-3÷(

)=-

·

.(3)原式=

=

·

=

.解析(1)原式=1+ × - =1+ × - =1+ - 17易错警示(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂,以便利

用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果中数字因式以外的部分不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.易错警示181-1

÷

·

=

.答案

a2

解析原式=

÷

·

=

(

-2

)·

·

=

·a·

=a2.

1-1

 ÷ · =

.答案

a2191-2计算:

+0.00

-10×(

-2)-1+π0.解析原式=

+

-

+1=

+50

-10(

+2)+1=

+10

-10

-20+1=-

.

1-2计算: +0.00 -10×( -2)-1+π0.解20典例2(1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的

是

(D)

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0

C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0考点二指数函数的图象与性质

考点二指数函数的图象与性质21(2)(2016北京通州高三摸底,3)已知a=1,b=

,c=30.9,则a,b,c的大小关系是

(D)A.a<b<c

B.b<c<aC.c<a<b

D.b<a<c

(2)(2016北京通州高三摸底,3)已知a=1,b= ,c22解析(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递

减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b<

0,故选D.(2)∵b=

<

=1,c=30.9>30=1,∴b<a<c,故选D.解析(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x231.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象

入手,通过平移、伸缩、对称变换得到的.特别地,当底数a与1的大小关

系不确定时应注意分类讨论.2.指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和

指数均不相同.方法技巧1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的243.指数式值的大小比较的常用方法(1)化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1等)分段.3.指数式值的大小比较的常用方法252-1设a=0.23,b=log20.3,c=20.3,则

(D)A.b<c<a

B.c<b<aC.a<b<c

D.b<a<c解析因为0<a=0.23<1,b=log20.3<0,c=20.3>1,所以b<a<c,故选D.

2-1设a=0.23,b=log20.3,c=20.3,则262-2直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,则k的取值范围

是

.答案(0,1)解析

y=|3x-1|的图象如图,

显然,当0<k<1时,符合题意.

2-2直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交27典例3(1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为

(C)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a(2)设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则a的值为

或3

.考点三指数函数的应用

典例3(1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-128解析(1)∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(log0.53)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函数f(x)=2|x|-1在

(0,+∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选C.解析(1)∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,29(2)令t=ax(t>0),则y=(t+1)2-2(t>0).令f(t)=y=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1时,t=ax∈

,此时f(t)在

上为增函数,所以f(t)max=f

=

-2=14,所以

=16,所以a=-

或a=

.又0<a<1,所以a=

.(2)令t=ax(t>0),30所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,所以a=-5或a=3,又a>1,所以a=3.综上,a=

或a=3.②当a>1时,t=ax∈

,此时f(t)在

上是增函数,所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,②当a31方法技巧与指数函数有关的复合函数问题的解题策略1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题(1)函数y=a

f(x)(a>0,且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同.(2)先确定f(x)的值域,再确定函数y=a

f(x)(a>0,且a≠1)的值域.方法技巧1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题322.与指数函数有关的复合函数的单调性问题利用复合函数单调性判断形如y=a

f(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,它的

单调区间与f(x)的单调区间有关.若a>1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间

即为y