2023年高考数学压轴题附答案

2023年高考数学压轴题

1.如图，已知椭圆。：—+/=1,抛物线。2：y2=2px（p>0）,点4为椭圆Cl的右顶

4

点.

_3

（1）若抛物线C2的焦点坐标为（77，0），求椭圆Ci与抛物线C2的交点坐标：

（2）若对于椭圆Ci上的任一点8（不含左、右顶点），抛物线C2上均存在两点。，E,

使得四边形4O8E为平行四边形，求p的取值范围.

【解答】解：⑴由抛物线C2的焦点坐标为（,，0）知，片看

所以抛物线C2的方程为/=

（y2=

联立方程得2，消掉乃整理得f+3x-4=0,

信+y2=i

解得x=-4（舍去）或x=l,

V3

当x=l时，y=±—,

所以椭圆G与抛物线C2的交点坐标为（0,±y）.

（2）连接DE,由于四边形ZO8E为平行四边形，所以对角线N8,DE互相平分,

设4B的中点为MCXM,y,“)，BCxo,yo)(jo^O),

'_比+2

”“一干，即x=2X-2

则0M

.7o=2yM

yM=-2

因为点B（xo,yo）在椭圆Ci匕所以7+M=1,

(2*2)2

+(2y)2=1,即(XM-1)2+4弘/=1(ywWO),

4M

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分析可知，直线0E的斜率存在且不为0,

故设直线。£：x=myJt-n(m20),D(xi，a)，E(X2»/)，

联立方程，

消去x,整理得y2-2pmy-2pn=0,

所以△=(-2pm)2+8/?/?>0,即p〃?2+2〃>0,

y\+yi=2pm,y\yi=-22〃，

则yM=—pm,XM=my^n=pm2+n,即A/(pm1+n,pm),

所以(pm2+n-1)2+4(pm)2=1,

令p^2+〃-i=cos6,2p〃7=sinB,其中kEZ,

则n=l+cos0-^^,

csin^O017,2/3

又pm+2〃>0,所以一~+2(1+cos0-----诟一)>0,

r-KI.siri^O、八,l—cos0、八

所r以l+cosM0-苫一>0,1------>0,

场1-cosQ

故P>一g-

所以pN

1

所以P的取值范围为1，+8).

x

2.已知函数/(%)=ln(x+1),g(x)=axefaER.

(1)若函数〃(x)-x-2f(x),求函数/?(x)的单调区间；

(2)若对任意的xW[0,+8),不等式/G)Wg(x)恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)由题意得。(x)-x-2f(x)=x2-x-2ln(x+1),

函数的定义域是(-1,+8),

故〃(x)=2x-l--1=0档誉T)

x+Tl%+1

Q

令人'(x)=0,解得：x=l或1=-](舍)，

故当-IVxVl时，h'(x)<0,h(x)递减，当x>l时，hf(%)>0,h(x)递增,

故函数〃(x)在(-1,1)递减，在(1,+8)递增；

(2)对任意五日0,+8),不等式/G)<g(x)恒成立

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Q对任意x€［0,+8),f(x)-g(x)WO恒成立

Q对任意xW［O,+8),In(x+1)-ox/WO恒成立，

记T7(x)—In(x+l)-ax，(x，O),

则F'(x)=击一。(x+1)F=i筑)％

①当aWO时，F'(x)>0,故/(x)在［0,+8)递增，

又F(0)=0,故当x20时，F(x)20,不合题意；

②当a>0时，

(I)当a2l时，..WO,*.a(x+1)2/21,

故/(X)=上£铝吐wo,故尸(X)在［0,+8)上递减，

故当x>0时，F(x)W尸(0)=0,符合题意；

(H)当OVaVl时,记<p(x)=\-a(x+1)(x20),

则(p'(x)=-a(x+1)(x+3)，，

显然“(x)<0,<p(x)在［0,+8)单调递减，

又(p(0)=1-4/>0,<p(第-1)=1-<0,

故存在唯一的xoe(0,使得(p(xo)=0,

故当OWxVxo时、<p(x)><p(xo)=0,

F'(x)=-a%；*>0,F(X)在［0,X0)上单调递增，

故当OWx<xo时，F(x)2F(0)=0,不符合题意，

综上：a2l,即实数a的取值范围是［1,+8).

3.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(0,-2),B(.1,-1)

2

两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段

4B交于点T,点，满足解=存.证明：直线4N过定点.

22

【解答】解：(1)设E的方程为七，万=1，

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QD

将A(0，-2),,-1)两点代入得§i

2~^T2

4Aab

解得/=3,b2=4,

22

故E的方程为-

34

（2）由A（0,-2）,-1）可得直线AB：y~x-2

乙o

①若过尸（1,-2）的直线的斜率不存在，直线为x=l,

代入号4^=1'可得M（l，嗓），N（l，辱■），

将y。。零代入AB：y=-^-x-2,可得T（遍+3,2；"）,

0QO

由MT=TH，得H（W^+5,2；"-）,

D

易求得此时直线HN：y=x-2"过点（0，-2）；

3

②若过尸（1,-2）的直线的斜率存在，设依-y-（R2）=0,M3,川），N（X2,

kx-y-(k+2)=0

联立《2,得(3F+4)x1-6k(2+A)x+3k(%+4)=0,

—=1

3

6k(2+k)-8(2+k)

=

x1+x2=----2p---yi+y2—2—

3k+43k2+4_24k(*)

故有，4(44k-2k2,且乂产2+*2力=；^()，

3k(4+k)+

*途2=----9----yiy=--------5--0K匕

3k2+41z93k+4

y=yi

3yl

联立42，可得T(-+3,yj),H(3y[+6-Xi，y，，

yfx-22

可求得此时HN：y-y„=--------------(x-X0),

z3yj+6-x!-x2z

将(0,-2)代入整理得2(xi+%2)-6(歹1+)2)+xi”+%2yi-3yly2-12=0,

将(*)代入，得24杆12庐+96+48k-24k-48-48什24严-36k2-48=0,

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显然成立.

综上，可得直线"V过定点(0,-2).

4.已知函数/(x)—In(1+x)+axex.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求”的取值范围.

-x

【解答】解：(1)当。=1时，/(x)=/〃(1+x)+x/x,则钎(x)^J^+e.

1+x

：.f(0)=1+1=2,

又/(O)=0,

...所求切线方程为y=2x；

若“20,当-l<x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增，则f(x)<f(0)=0,不合

题意：

故“<o,f，6)--(1卫1/)，令g(x)注意到

1+xexex

，八-1_/八、!/xa(X-1+V2)(X-1-V2)

g(1)-1，S(O)-l+a»g(x)=----------------------'

e

令g'(x)>0,解得-1<X<1n历或X>1WL令g'(x)<0,解得

1-V2<x<1+V2,

.