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文档简介

732矩阵的QR分解定理731设矩阵A∈R,且非奇异,则一定存在正交矩阵Q,上三角矩阵R,使A=OR(7.3.2)且当要求R的主对角元素均为正数时,则分解式(7.3.2)是唯一的。证明存在性有矩阵A的非奇异性及Householder变换矩阵的性质(3)知,一定可构造n-1个H矩阵:H1,H2,A,Hn1使=HkAk(k=1,2,A,n-1)其中A1=A,而0CAM=R刀-1d因此有HN-Hm2AH,HA=R即有A=OR其中,Q=HH2AHn1为正交矩阵。唯一性假设矩阵A有两种正交三角分解,即A=CR=O,R2其中,Q,Q2为正交矩阵,R,R2为上三角矩阵,且主对角元素均为正数。于是有1Q2=R1R2=D这里,D必是既为正交矩阵又是上三角矩阵,故D=diag(d,,d,,ad)且d2=1(i=1,2,A,n),因此,R1=DR2,由,R2对角元均为正数,故d=1(=1,2,A,n),即有1,R1=R2,Q1=Q例73.2设矩阵A=2-1-12-45试作矩阵A=QR分解。解为直观起见,下面给出H矩阵形式。(1)求H1,作A2=H1A。I°a1=sgn(a1)C∑a2)2=32°1=a1+1=4,u2=2,u=(4,2,2);3°0=o1l1=3×4=12;H1=1-P1u22-3-12A2=H1A=00-30-33(2)求H2,作A3=H2A2=R1°a2=sign(a2)242)=3(约定sgn(O)=12°a1=0,u2=a2+a2=3,l3=a2)=-3,M=(0,3.-3)p2C,M0011010-33-3A=H2A0-3-3=RQ=H,H2-12221由矩阵乘法可直接验证A=QR。7.3.3QR算法设A=(an)∈R,QR算法是对A进行一系列的正交相似变换,达到求出矩阵A的全部特征值和相应的特征向量。算法如下:分解:A2=QRk构造:A=QAQ=RQ(k=1,2,3)这

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