高中数学北师大版必修四教学案第二章3第1课时数乘向量

第1课时数乘向量[核心必知]1．数乘向量(1)定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(2)几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或压缩(|λ|<1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量，λ，μ为实数．①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；②第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；③第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．3．向量共线定理判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa[问题思考]1．数乘向量是数量还是向量？提示：数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线．2．当λ＝0时，λa＝0，那么当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0，对吗？提示：正确．3．向量共线定量为什么规定a是非零向量？提示：是为了保证λ的存在性与唯一性．若a＝b＝0时，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0时，则不存在实数λ，使b＝λa.讲一讲1．已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；(2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的eq\f(2,5)倍；(3)－eq\f(1,2)a与eq\f(1,2)a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．[尝试解答](1)正确，∵2>0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|；(2)正确，∵－2<0，5>0，∴－2a与5a的方向相反，又eq\f(|－2a|,|5a|)＝eq\f(2|a|,5|a|)＝eq\f(2,5)，∴|－2a|＝eq\f(2,5)×|5a|；(3)正确，因为|－eq\f(1,2)a|＝eq\f(1,2)|a|＝|eq\f(1,2)a|，且－eq\f(1,2)a与a反向，eq\f(1,2)a与a同向；(4)错误，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)是相等向量，而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点：一是大小，二是方向．设λ，μ∈R，a≠0若λμ<0，则λa与μa的方向相反，若λμ>0，则λa与μa的方向相同；若λμ＝0，则λa，μa至少有一个为0；当λμ≠0时，eq\f(|λa|,|μa|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,μ))).练一练1．如图，已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋eq\f(1,2)c.解：法一：在平面内任取一点A，作＝3a，＝－2b，＝eq\f(1,2)c，连接AD，则＝3a－2b＋eq\f(1,2)c即为所求．(如图所示)法二：在平面内任取一点A，作＝3a，＝2b，连接BC，则＝－＝3a－2b，再作＝eq\f(1,2)c，连接CD，则＝3a－2b＋eq\f(1,2)c即为所求(如图所示)．法三：在平面内任取一点A，作＝3a，＝－2b，以AB，AC为邻边作▱ABDC，连接AD，则＝3a－2b，再作＝eq\f(1,2)c，连接AE(如图)．则＝3a－2b＋eq\f(1,2)c即为所求．讲一讲2．(1)eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))的运算结果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b(2)若a＝b＋c，则3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a－b)＝________(用b，c)表示．[尝试解答](1)eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋8b))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－2b))))＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.故选B(2)∵a＝b＋c∴3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a－b)＝3a＋6b－6b－2c－2a＋2b＝a＋2b－2c＝b＋c＋2b－2c＝3b－c.[答案](1)B(2)3b－c1．向量的线性运算是指向量的加法、减法和数乘向量的运算．其运算法则在形式上类同实数加、减法与乘法满足的运算法则，但它们的具体含义是不同的，不过由于它们在形式上类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用．2．若需要结合几何图形进行向量的线性运算，则要注意使用三角形法则或平行四边形法则，并正确利用数乘向量的几何意义，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．练一练如图，▱OADB中，向量＝b，，试用a，b表示.讲一讲3．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．[尝试解答](1)由已知得＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴，又有公共点B.∴A、B、D三点共线．(2)由(1)可知＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，得，即3e1－ke2＝λe1－4λe2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12.1．向量共线的判定定理的主要作用是判断两个向量是否共线，进而可解决诸点是否共线问题．2．利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a＝λb”，通过向量关系得到“三点共线”的结论．3．利用向量共线的性质定理，并结合向量的线性运算，可由向量共线(或三点共线)求相关的参数的值．练一练3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，，判断B、M、N三点是否共线．解：∵D为BC的中点，∴B、M、N三点共线．如图所示，在△ABO中，＝，AD与BC相交于点M，设＝b.试用a和b表示向量.[巧思]既然能用a、b表示，那么不妨设＝ma＋nb，利用向量共线定理建立方程，用方程的思想方法求解．即(m－1)a＋nb＝t(－a＋eq\f(1,2)b)，∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1(－eq\f(1,4)a＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1，))消去t1得，4m＋n＝1.②由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴OM→＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：选C对于A，∵λ的正反未定，∴a与－λa的方向可能相同，也可能相反，∴A不正确；对于B，|－λa|＝|λ|×|a|，λ的值未定，有可能|λ|×|a|<|a|，如λ＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,2)|a|<|a|，∵B不正确；对于C，∵λ≠0，∴λ2>0，∴a与λ2a的方向相同，C正确；对于D，|－λa|＝|λ|×|a|是一个实数，而|λ|a是一个向量，二者不能相等，∴D不正确．2．已知向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D又∵有公共点BD，AB有公共点B，∴A、B、D三点共线．3.如图，向量的终点在同一直线上，且＝p，＝r，则下列等式中成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)qD．r＝－q＋2p4．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(eq\f(1,3)a－b)－3(a＋eq\f(2,3)b)＋(2b－a)＝________．解析：(eq\f(1,3)a－b)－3(a＋eq\f(2,3)b)＋(2b－a)＝(eq\f(1,3)－3－1)a＋(－1－2＋2)b＝－eq\f(11,3)a－b＝－eq\f(11,3)(3i－4j)－(5i＋4j)＝(－11－5)i＋(eq\f(44,3)－4)j＝－16i＋eq\f(32,3)j.答案：－16i＋eq\f(32,3)j5．在△ABC中，D在线段BC上，＋n，则eq\f(m,n)＝________.∴m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(2,3)，故eq\f(m,n)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在非零实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))∴λ＝－2μ.故存在非零实数λ，μ，只要λ＝－2μ就能使d与c共线．一、选择题1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb.又∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,k＝－1.))∴c＝－d，∴c与d反向．2．已知O、A、M、B为平面上四点，且＋(1－λ)·，λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O、A、M、B四点共线∵λ∈(1，2)，∴点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．3．已知A、B、C三点共线，O是这条直线外的一点，满足，则λ的值为()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，则()二、填空题5．点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，则＝________.解析：∵eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，∴点C为线段AB的5等分点，答案：eq\f(3,5)－eq\f(2,5)6．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________．解析：由已知可得eq\f(7,2)x－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＝0，∴x＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案：eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c7．已知△ABC和点M满足m使得成立，则m＝________.答案：38．D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：其中所有正确命题的序号为________．解析：∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．＝(eq\f(1,2)a－b)＋(－a＋eq\f(1,2)b)＋(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b)＝0.故②③④正确．答案：②③④三、解答题9．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝e1＋3e2，＝