数值代数方向相关函数

数值代数方向相关函数第1页，课件共35页，创作于2023年2月一、创建稀疏矩阵在MATLAB中，通过函数sparse()把普通矩阵转换为稀疏矩阵，该函数的调用格式如下。1.S=sparse(A):

该函数将矩阵A转换为稀疏矩阵S。当矩阵A是系数存储时，则函数调用相当于S=A。2.S=sparse(m,n):该函数产生一个mxn的所有元素都是0的稀疏矩阵。第2页，课件共35页，创作于2023年2月3.S=sparse(u,v,S):

该函数的输入参数u,v和S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i),v(i)分别是s(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列，并以s为非零元素的稀疏矩阵。4.S=sparse(i,j,s,m,n):

该函数中i和j分别是稀疏矩阵中非零元素的行和列，s为相应的元素值，m和n分别是矩阵的行和列。第3页，课件共35页，创作于2023年2月例：将普通矩阵转换为稀疏矩阵，代码如下：clearall;A=rand(15,10)>0.98S=sparse(A)%产生稀疏矩阵whos例：将稀疏矩阵转换为普通矩阵，代码如下：clearall;A=[0002;0030;0000;4000]S1=sparse(A)%产生稀疏矩阵S2=sparse([4,2,1],[1,3,4],[432],4,4)%产生稀疏矩阵B=full(S1)%转换为普通矩阵第4页，课件共35页，创作于2023年2月

计算数学专业数值代数方向的

Matlab相关函数一、创建稀疏矩阵二、矩阵特征、范数以及条件数三、矩阵的分解四、特殊矩阵的生成五、最小二乘拟合直线第5页，课件共35页，创作于2023年2月二、矩阵特征、范数以及条件数（一）矩阵特征y1=det(A)

求矩阵A的行列式[V,D]=eig(A)

求矩阵A的特征向量、特征值构成的对角阵b1=diag(A)

获取A的主对角元素B2=diag(A,i)

获取第i条对角元素（对角线以上）triu(A)

返回矩阵A的上三角矩阵Tril(A)

返回矩阵A的下三角矩阵triu(A,k)

返回矩阵A的第k条对角线以上的元素C=inv(A)

求逆（A为可逆方阵）D=pinv(A)

求A的广义逆d=rank(A)

求矩阵A的秩第6页，课件共35页，创作于2023年2月（二）矩阵范数n1=norm(A,1)

计算矩阵的1-范数n2=norm(A)

计算矩阵的2-范数n3=norm(A,inf)

计算矩阵的无穷范数n3=norm(A,’fro’)

计算矩阵的Frobenius范数n5=normest(A)

计算矩阵2-范数的估计值第7页，课件共35页，创作于2023年2月（三）条件数及其他c1=cond(A,1)

矩阵的1-范数下的条件数c2=cond(A,2)

矩阵的2-范数下的条件数c3=cond(A,inf)

矩阵无穷范数下的条件数x1=expm(A)

计算矩阵的指数X2=logm(A)

计算矩阵A的对数X1=funm(A,@sin)

计算矩阵的正弦第8页，课件共35页，创作于2023年2月

计算数学专业数值代数方向的

Matlab相关函数一、创建稀疏矩阵二、矩阵特征、范数以及条件数三、矩阵的分解四、特殊矩阵的生成五、最小二乘拟合直线第9页，课件共35页，创作于2023年2月三、矩阵的分解（一）Cholesky分解R=chol(A):

该函数对正定矩阵A进行Cholesky分解，返回值R为上三角矩阵，满足A=R’*R。如果矩阵A不是正定矩阵，则返回出错信息。[R,p]=chol(A):

当矩阵A是正定矩阵时，进行Cholesky分解，返回值R为上三角矩阵，满足A=R’*R，p=0。如果矩阵A不是正定矩阵，则返回值p是一个正整数，R为上三角矩阵，其阶数为p-1，且满足A(1:p-1,1:p-1)=R’*R第10页，课件共35页，创作于2023年2月例：利用函数进行矩阵的Cholesky分解clearall;A=pascal(4) %产生4阶的帕斯卡矩阵eig(A)R=chol(A) %矩阵的Cholesky分解R’*R第11页，课件共35页，创作于2023年2月（二）LU分解高斯消去法又称为LU分解，将方阵A分解为下三角矩阵的置换矩阵L和上三角矩阵U的乘积。即满足A=L*U[L1,U1]=lu(A):

该函数将矩阵A分解为下三角矩阵的置换矩阵L1和上三角矩阵U1，它们满足A=L1*U1。[L2,U2,P]=lu(A):

该函数将矩阵A分解为下三角矩阵L2和上三角矩阵U2，以及置换矩阵P，它们满足L2*U2=P*AY=lu(A):

该函数将下三角矩阵和上三角矩阵合并在矩阵Y中，矩阵Y的对角元素为上三角矩阵的对角元素，并且满足Y=L2+U2-eye(size(A))第12页，课件共35页，创作于2023年2月例：利用函数lu()进行矩阵的LU分解，代码如下clearall;A=[234;849;531][L1,U1]=lu(A) %矩阵的LU分解[L2,U2,P]=lu(A)Y1=lu(A) %矩阵的LU分解L1*U1 %验证Y2=L2+U2-eye(size(A))%验证第13页，课件共35页，创作于2023年2月（三）QR分解矩阵的正交分解，又称为QR分解。QR分解将一个mxn的矩阵A分解为一个正交矩阵Q（大小为mxn）和一个上三角矩阵R（大小为mxn）的乘积，即A=Q*R。在MATLAB中通过函数qr()进行矩阵的QR分解。该函数的调用格式为[Q,R]=qr(A)，其中Q味正交矩阵，R为上三角矩阵。第14页，课件共35页，创作于2023年2月（四）SVD分解s=svd(A):该函数对矩阵A进行奇异值分解，返回由奇异值组成的列向量，奇异值按照从大到小的顺序进行排列。[U,S,V]=svd(A):该函数对矩阵A进行奇异值分解，其中U和V为酉矩阵，S为一个对角矩阵，对角线元素为矩阵奇异值的降序排列。第15页，课件共35页，创作于2023年2月例：利用函数svd()进行矩阵的奇异值分解，代码如下：clearall;A=[234;849;531]s=svd(A)%矩阵的SVD分解[U,S,V]=svd(A)%矩阵的SVD分解U*S*V’%验证norm(A)第16页，课件共35页，创作于2023年2月（五）Schur分解矩阵A的Schur分解公式为A=U*S*U’,矩阵A必须是方阵，U为酉矩阵，S为块对角矩阵，由对角线上的1x1和2x2等小块组成。[U,S]=schur(A):

该函数将矩阵A进行Schur分解，返回酉矩阵U和块对角矩阵S。S=schur(A):

该函数仅返回块对角矩阵S。第17页，课件共35页，创作于2023年2月例：利用函数schur()进行矩阵的Schur分解，代码如下：clearall;A=pascal(4)%产生4阶帕斯卡矩阵[U,S]=schur(A)%矩阵的Schur分解U*S*U’%验证第18页，课件共35页，创作于2023年2月（六）Hessenberg分解H=hess(A):该函数对方阵A进行Hessenberg分解，返回Hessenberg矩阵H。[P,H]=hess(A):该函数对方阵A进行Hessenberg分解，返回值为P和H，满足A=P*H*P’,并且P’*P=eye(size(P)).第19页，课件共35页，创作于2023年2月例：利用函数hess()进行矩阵的Hessenberg分解，代码如下：clearall;A=[1353;2691;74110;2593];H1=hess(A)%矩阵的Hessenberg分解[P2,H2]=hess(A)%矩阵的Hessenberg分解B=P2*H2*P2’%验证C=P2’*P2第20页，课件共35页，创作于2023年2月

计算数学专业数值代数方向的

Matlab相关函数一、创建稀疏矩阵二、矩阵特征、范数以及条件数三、矩阵的分解四、特殊矩阵的生成五、最小二乘拟合直线第21页，课件共35页，创作于2023年2月四、特殊矩阵的生成（一）全零矩阵A=zero(N):

该函数产生NxN的全零矩阵A=zero(M,N):该函数产生MxN的全零矩阵A=zero(M,N,P…):

该函数产生NxNxPx…的全零矩阵A=zero(size(B)):该函数产生和矩阵B维数相同的全零矩阵第22页，课件共35页，创作于2023年2月（二）全1矩阵和单位矩阵在Matlab中，采用函数one()产生1矩阵，该函数的调用格式和函数zeros()基本一致。采用函数eye()产生单位矩阵，该函数的调用格式如下。A=eye(N):

该函数产生NxN单位矩阵。A=zeros(M,N):该函数产生MxN的矩阵，对角线元素为1，其余元素均为0。A=zeros(size(B)):

该函数产生和矩阵B维数相同的单位矩阵第23页，课件共35页，创作于2023年2月（三）范得蒙矩阵范得蒙（Vandermonde）矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。 在Matlab中，通过函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。第24页，课件共35页，创作于2023年2月（四）希尔伯特矩阵 在MATLAB中，通过函数hilb()生成希尔伯特（Hilbert）矩阵，该函数的调用格式为hilb(n)，产生n阶的希尔伯特矩阵。希尔伯特矩阵是一种病态矩阵，矩阵中任何一个元素发生微小得变化，整个矩阵的值和逆矩阵都发生巨大的变化。 在MATLAB中，通过函数invhilb()求希尔伯特矩阵的逆矩阵，该函数的调用格式为invhilb(n)，该函数产生n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。第25页，课件共35页，创作于2023年2月例：希尔伯特矩阵和其逆矩阵，代码如下clearall;A=hilb(3) %产生希尔伯特矩阵B=hilb(4) %产生希尔伯特矩阵C=invhilb(3) %产生希尔伯特逆矩阵D=invhilb(4) %产生希尔伯特矩阵A*C %验证第26页，课件共35页，创作于2023年2月（五）托普利兹矩阵 托普利兹（Toeplitz）矩阵除第一行和第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同，在MATLAB中，通过函数toeplitz()生成托普利兹矩阵。该函数的调用格式如下。toeplitz(x):该函数用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵toeplitz(x,y):

该函数产生一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。X和y均为向量，两者不必等长。需要注意的是，向量x和y的第一个元素必须相等。第27页，课件共35页，创作于2023年2月例：利用函数toeplitz()生成托普利兹矩阵，代码如下clearall;A=toeplitz(3:6) %产生托普利兹矩阵x=3:8 y=3:7 B=toeplitz(x,y) %产生托普利兹矩阵第28页，课件共35页，创作于2023年2月 在MATLAB中，通过函数compan()产生伴随矩阵，该函数的调用格式为compan(p)，其中p味多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。第29页，课件共35页，创作于2023年2月（六）帕斯卡矩阵 二次项（x+y）^n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡（Pascal）矩阵。该函数的调用格式为Pascal(n)，产生一个n阶的帕斯卡矩阵。第30