人教版高中数学选择性必修第一册3.3.2 第二课时 直线与抛物线的位置关系及其应用 课件（共35张PPT）

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第二课时直线与抛物线的位置关系及其应用

[学习目标]能用坐标方法解决一些与直线和抛物线的位置关系有关的简单几何问题．

必备知识自主探究

关键能力互动探究

课时作业巩固提升

问题1类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，你认为应该研究哪些问题？

问题2怎样判定直线与抛物线的位置关系？

问题3如何研究与抛物线弦的中点有关的问题？

[预习自测]

1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系为()

A．相交B．相离

C．相切D．相交或相切

解析：由题意可知直线l与抛物线相交或相切．如图

D

C

3．已知抛物线C：y2＝x，直线l：y＝x－2，直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝________.

4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.

0或1

直线与抛物线的位置关系

1．直线的斜率存在时

设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，

当Δ>0时，直线与抛物线，有两个交点；

当Δ＝0时，直线与抛物线，有一个交点；

当Δ0)．显然，当m0时，直线与抛物线相交，有两个交点．

[例1]求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点的直线方程．

分析：在设直线方程时，要注意选择形式，如果无法避免讨论，要考虑全面．

一般地，点P在抛物线内，则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有一条；点P在抛物线上，则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有两条；点P在抛物线外，则过点P且和抛物线只有一个公共点的直线有三条．因此，在求过点P且与抛物线只有一个公共点的直线方程时要考虑周全，不要出现漏解的情况．另外，在求直线与抛物线的位置关系时，对消元后的方程不要忘记讨论二次项系数为零的情况．

1.过点(－1,1)且与抛物线y＝x2＋2有一个公共点的直线方程为__________________________________．

抛物线的弦长问题

2.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求直线l的方程．

与抛物线弦的中点有关的问题

由直线与抛物线相交，利用列出k的方程求解．另由于该类问题与直线斜率及弦中点坐标有关，故可利用求k.

根与系数的关系

点差法

[例3]已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．

分析：思路一：利用点差法，设点作差，要考虑直线的斜率不存在的情况；

思路二：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参后即可得轨迹方程，同样要考虑斜率不存在的情况．

解决中点弦问题的方法

(1)解决中点弦问题的基本方法是点差法，因为用点差法求轨迹方程时用到了斜率，所以必须验证斜率不存在的情况．(2)直线与抛物线相交于两点，隐含着条件Δ>0，求y1＋y2及x1＋x2是为利用中点坐标公式做准备．

3.过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．

1．知识清单：(1)直线与抛物线的位置关系．

(2)抛物线的弦长问题