操作几何e化讲义课件

簡介與使用說明針對九年一貫七年級幾何教材所整理的授課內容，

有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』，

這正是「操作幾何」努力的方向，使用說明：

這是PowerPoint2002簡報檔，動畫表現還可接受，按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行，

有些補充說明或教學心得可參考「備忘稿」。再提供適時的GSP圖檔強化或輔助操作說明。

【連結GSP使用說明頁】「操作幾何ｅ化講義」的第一單元，編號：Geo_01認識「幾何」「幾何」的字義：「幾何學（Geometry）」的原名，來自測量，是「測地術」的意思。但它發展到後來，已遠遠超出「測地術」

這一原始意義，成為以現實物體的形狀、大小和互相

位置關係為研究對象的一門數學理論。這個名字是明朝科學家徐光啟翻譯的，取自曹操《短歌行》詩中「對酒當歌，人生幾何」的字句。幾何是較有系統的推理訓練教材。

學習過程中，請同學多點耐心，用心思考。什麼是「操作幾何」？以「驗證」三角形的內角和為例：

若不做任何解釋，而將三個角剪下來拼湊成好像是平角，就說內角和是180度？實在說，與「測量角度再加總」有何兩樣？總不能因為結論是內角和180度，就要每個人都量出或拼出相同的結果吧？（任何誤差都可以忽略？）

但是，若在拼湊的同時，引進「平移、旋轉」的操作，就能很確定三個角可拼成平角，很理直氣壯的得到結論。七年級的幾何學習是以操作為主，能瞭解圖形性質即可，並不要求會寫過程。然而「操作過程」也得有個合理的說明解釋，所以我將一系列課程稱為「操作幾何」。

這是一個不同的嘗試，有興趣繼續「看下去」嗎？說不定你的想法超好的，屆時請趕快E-mail給我喔，先謝謝囉。三步曲本單元由下列三部分所組成

◎基本的圖形記法與位置關係：

識圖、閱圖的最最最基礎篇。

◎平移旋轉點對稱線對稱：

這是「操作工具」，不是應該經由「操作」來觀察圖

形變化，進而討論性質的嗎？

還沒引進「推理證明」之前，這是我目前所找到最能

「直觀」，且大家都有「操作經驗」的說明工具。

◎兩直線的位置關係：

常常引用到，特別強調先說明清楚。簡要說明1.點、線段、端點、直線、射線的記法與意義

2.角的記法與分類3.線段與角度的大小比較4.三角形、四邊形的記法與邊、角位置關係國中階段只討論平面上的簡單幾何圖形部分。平面：如同桌面，只是平面可以延伸。

所謂簡單或基本幾何圖形泛指下列各項平面圖形名稱。先認識下列與基本圖形有關的符號用法及名詞意義，但圓的部分暫不做介紹。◎要清楚符號意義與用法，可自己多畫畫圖對照。「點」的記法與意義表示「位置」的意思，與點的大小無關，但為了讓人確實知道位置，有時會特別塗黑標示。位置如同地名，要有名字。

通常以大寫的英文字母命名，寫在該點四周任意適當位置皆可。如圖A、B、C、D、E所示，都可明確表示出位置。

此時，讀作「點A」、「A點」、…。注意事項：在同一圖形上，不同的點要使用不同的名稱。

但因為點可重合（視為同一個點），所以可認為同一個點可有不同的名稱。DECBAL又通過不同兩點，可用直尺作出唯一的一條直線。此時可以符號（讀作直線AB）表示由A、B兩點所作出的直線，當然與表示同一條直線。ABBAAB「直線」的記法與意義利用直尺邊緣畫出的圖形即是直線（不用畫箭頭）。直線也有名字，通常以英文字母L、M、N為直線命名，寫在直線兩側任一方皆可，讀作直線L、…。

在幾何圖形上，直線可任意延長且沒有粗細的分別。

BAL線段是直線的一部份，不能延長，故在兩側有「端點」。

直線上從A點到B點的部分，即是線段，記作

或。

而A、B兩點即是線段AB的端點（右圖不必特別塗黑）。BAAB因為也常用＝a

（以代表數表示線段的長度）

，所以線段也可直接用小寫英文字母來表示。AB又線段符號除了表示在圖形上的位置之外，也可用來表示長度大小（例如：＝5公分），因此線段是可以比較大小

，也可以列式計算的。（例如：＋＞）。常用疊合法比較線段的大小，若兩線段重合，則等長。

反之，若等長，則兩線段會重合。ABBCCAAB「線段」與「端點」

BAAB或ACBcba「射線」與「半線」直線可向兩端延長，線段被端點所限，不能延長。

若允許一方有端點，另一方可延長，則稱之為「射線」。若不含端點，則稱之為「半線」（供參考）。要在數線上圖示大小的範圍時，常會畫到射線與半線。例如：x＞－2、y≦3的數線圖形射線有符號，如圖的射線記作（箭頭一律向右）。顯然與表示不同的圖形。ABBAAB-2030AB「角」的記法CBA1型如兩線段（射線）共用一端點的圖形即為角，

有∠BAC（∠CAB）、∠A、∠1等不同的記法。A點稱為∠A的頂點

與稱為∠A的邊。ABAC又角的符號除了表示在圖形上的位置之外，也可用來表示

角度大小，所以角的符號也是可以列式計算的。

（例如：∠1＞∠2、∠A＝30°、∠1＋∠2＝90°）。除了使用量角器外，幾何上是用疊合法比較兩個角的大小。

若兩個角的頂點與兩邊都各自重合時，則兩角相等；

反之，若兩角相等，則必能重合。「角」的分類若一圓以半徑將之等量分割為360部份

（或說將半圓等分成180等分，例如：量角器），

則每兩相鄰的半徑所夾的角為1度。通常依度數大小有以下分類名稱：

周角（360°）＞平角（180°）＞鈍角＞直角（90°）＞銳角＞零角（0°）平角表示有兩邊連成一條直線，或者說直線上的角為平角。

所以，若兩個角的度數和＝180°，則將頂點與其中一邊重合，

另外兩邊會連成一直線。BAC12線段與角度的大小比較與平時的測量大小是有差別的，此處的比較要有確定的

「已知條件」，才能「根據已知條件」得出比較結果。還是以「疊合」的觀念比較大小。另外，角的疊合比較、圖形的全等比較與線段大小比較的道理是相同的，不能只憑「測量」的感覺相等，就認為會「相等」。（比較補充說明頁）1.若是確定，則將兩線段端點A與C疊合時，B點會落在之間。（、道理相同）2.反之，在疊合時，若能確定兩線段端點A與C疊合時，B點會落在之間，則。AB＜CDAB＜CDCDCDAB＞

CDAB＝

CD三角形的記法與邊、角位置關係不在同一直線的A、B、C三點可作出三角形，記作△ABC

。

當然△ACB、△BCA、…等都表示同一個三角形。如右圖的三角形各個位置稱呼有

三個頂點：A、B、C。

三個邊：、、（互為鄰邊）。

三個內角：∠BAC、∠B、∠C（互為鄰角）。

又例如：的對角為∠C；∠C的對邊為

每個內角各有兩個相鄰的外角。

（外角指一邊與另一邊的延長線所形成的角）。

∠BAC與∠1是相鄰內、外角；∠B、∠C是∠1不相鄰

的內角，稱為∠1的內對角。ABBCCAABAB1CBA四邊形的記法與邊、角位置關係1CBAD如右圖的四邊形各個位置稱呼有

四個頂點：A、B、C、D，故四邊形記做□ABCD。

必須依各頂點的順序（順時針或逆時針皆可）

四個邊：、、、。

有共頂點的是互為鄰邊（與、與）

，否則是互為對邊（與、與）。

四個內角：∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA

有共一邊的是互為鄰角（∠DAB與∠ABC），

否則是互為對角（∠DAB與∠BCD）。

每個內角各有兩個相鄰的外角（∠BAD與∠1是相鄰內、外角），但沒有三角形的內對角位置關係。

兩條對角線（不相鄰頂點的連線）：、。AC

BDAB

CDAB

ADAB

BCAD

BCCDABBCDA簡要說明這些是小時候玩拼圖或畫圖時，就在使用的方法，借重它們做為「操作幾何」的基本工具之一部分。很可惜的，這麼好的工具，各出版社在第二年的教科書竟然只保留了線對稱。何況沿生的全等觀念，對以後的推理幾何的學習與思考，是絕對有幫助的。平移、旋轉、鏡射（翻轉）與圖形全等密不可分。即經由平移、旋轉、鏡射所產生的新圖形會與原圖形全等。而若兩圖形全等，則可平移、旋轉、鏡射（翻轉）使兩圖形重合。另外，日常生活所見到的美麗多樣圖案（欣賞）也常是平移、旋轉、鏡射的合成。先字義說明，有個基本認識◎平移：圖形沿相同方向移動同樣距離。◎旋轉：圖形繞著某一個定點（旋轉中心）轉動一個角度。◎點對稱：若圖形以某一點為中心旋轉180°後，會與原

圖形重合，即為「點對稱圖形」。◎鏡射（線對稱）：將圖形對著一條直線翻轉（對摺）過

去。原圖形與其鏡射圖即是一個線對稱圖形。全等：兩圖形的大小與形狀一模一樣，則稱兩圖形全等。◎對應點、對應邊、對應角針對平移、旋轉、鏡射所產生的新圖形與原圖形，互相對應的點稱為對應點，互相對應的邊稱為對應邊，互相對應的角稱為對應角。平移的意義–(1)圖形沿相同方向移動同樣距離。若是只看起點與終點位置，可視為是沿著

直線方向移動。DCBAL所以若的端點A沿著直線L方向平移到新位置D，

則另一端點B同樣維持與A點相同的方向和移動相同距離到達C點。當然，上的每一個點都同樣維持與A、B相同的方向和移動相同距離，所以平移之後的新線段與原線段是會等長的，而且與會平行（因為不會有交點）。所以平移也就是平行移動的意思。ABABDCABAB

DC平移的意義–(2)再以三角形為例，試想：平移到新位置之後與原圖形位置

能得到什麼結果？問題：新圖形的形狀、大小與原圖形比較有何改變？答：做圖形的平移時，是將整個三角形平行移動，並沒有改變圖形原來的形狀、大小，因此所產生的新圖形與原圖形是會「全等」的。因為全等，所以對應角相等、對應邊相等且會平行。旋轉的意義圖形繞著某一個固定點（旋轉中心）轉動一個角度。仍以三角形為例，試想：將三角形以某一頂點為旋轉中心，

順時針旋轉某一角度到新位置之後，

與原圖形位置比較，能得到什麼結果？若以線段上某一定點為旋轉中心，將線段轉動一個角度

，則可看出新舊線段會相交於一點。答：做圖形的旋轉時，是將整個三角形旋轉，並沒有改變圖形原來的形狀、大小，因此所產生的新圖形與原圖形是會「全等」的。因為全等，所以對應角相等、對應邊相等。

另外，各對應邊當然旋轉相同的方向與角度。點對稱的意義若圖形以某一點為中心旋轉180°後，會與原圖形重合

，即為「點對稱圖形」。

可認為是旋轉的特例。

其旋轉的中心點，稱為「對稱中心」。如右圖，是整個圖為「點對稱」圖形。若以線段外某一定點為「旋轉中心」，將線段旋轉180°

，則可看出新舊線段會平行。若以線段上某一定點為「旋轉中心」，將線段旋轉180°

，則可看出新舊線段會連成一直線。點對稱圖形中的對應點（邊），特別稱為「對稱點（邊）」。其對稱中心正好是對稱點所連接線段的中點。AB線對稱的意義將圖形對著一條直線翻轉（對摺）過去。

原圖形與其鏡射圖即是一個線對稱圖形。該條對摺線稱為「對稱軸」。一個圖形可能會有多條對稱軸存在。【要會畫出對稱軸】線對稱圖形中重合的對應點(邊)，特別稱為「對稱點(邊)」。BA如右圖，是整個圖為「線對稱」圖形。亦即對摺後，可以重合，就是「線對稱」。例如：正方形、圓形、「中」字、剪紙圖案、…。對稱點與對稱軸線段的中垂線：通過線段中點且與線段垂直的直線。

又稱為垂直平分線。將對稱點連接成線段，再將此線段對摺時，兩側會重合，

所摺出的直線是為對稱軸。此對稱軸可檢驗出：

(1)與線段垂直。（因為等分平角）

(2)將線段平分。

表示線段的對稱軸與線段的中垂線是同一直線。

且在操作過程知道「恰可捏出一條對稱軸」，又將線段對摺也是現階段作「線段的中垂線」的方法之一。結論：對稱軸是對稱點所連接線段的垂直平分線。或說，

對稱軸會垂直平分對稱點所連接線段。如何找對稱點、畫鏡射圖方法：作出通過該點與對稱軸垂直的直線，再取出等線段長

，就是對稱點所在的位置。利用對稱軸會垂直平分對稱點所連接線段的性質，就可找到某一點的對稱點。問題：如何作垂直線與取出等線段長？要畫鏡射圖，只要找到所有的對稱點連結即可。連接全等與拼湊拼湊（點對稱與線對稱）兩全等形能拼出點對稱與線對稱圖形。例如：兩個全等的三角形可拼出平行四邊形或鳶形。

兩個等底的等腰三角形可拼出鳶形。連接全等（依序連接各對應點可得全等形）圖形全等的判斷比較方法之一。

因為平移、旋轉或對摺後的對應點重合，則所連接的對應邊當然也重合，由對應邊產生的圖形當然也重合全等。也常利用線對稱來「平分」線段、角度、…連連看、拼拼看這是「連接全等」與「拼湊」的舉例。

依有規則的對稱繪圖或拼圖所得的圖形也會是對稱圖形，或所得的對應線段會相等。利用對稱拼圖拼出對稱圖形→A1A2A3B2B1B3順序連接A1-B2-A3-A1

與B1-A2-B3-B1

（是對稱圖形）。又如，且交點在對稱軸上。（對應線段會相等）A1B2＝B1A2簡要說明由「平移、旋轉」觀察體會，在平面上兩直線的「平行」、「重合」、「相交於一點」三種位置關係。雖然「平行」、「重合」、「相交於一點」三種位置關係，

在「平移、旋轉」已概略說明，但是兩直線的位置關係在幾何圖形性質的解釋上時常用得到。

（例如：兩直線垂直或對頂角）

所以，特別就相關內容再詳細強調說明。重合判斷兩直線重合的方法：(1)因為通過相異兩點恰可作出一條直線，所以，若兩條

直線有兩個以上的交點，就表示兩直線是重合的。(2)以直線（線段）上某一固定點為「旋轉中心」，旋轉

180度後，原直線（線段）與新直線（線段）是重疊的

兩直線（線段）。（平角概念）兩直線合而為一，處處是交點。依據問題情況，有時視為兩條重合直線，有時視為合而為一

的一條直線。

若提到兩相異直線，則重合情況便被排除在外。平行線的直觀意義與符號平行線是指在平面上不會有交點的兩條（以上）直線，

即「不相交的兩直線」。例如：火車鐵軌、…使用符號「//」表示平行。如圖，若兩直線L1與L2互相平行，記作L1//L2

。L1L2判斷平行線的方法-(1)(1)將重疊的兩線段或直線之一「平移」開，因為兩直線

沒有交點，所以產生平行線。※

亦即「平移」（可依移動的角度判斷）或說「沒有旋轉」

（旋轉180度是例外），會產生平行線。(2)將重疊的兩線段或直線之一，以線外某固定點為旋轉

中心，旋轉180度後，會產生平行線。若不特別強調旋轉中心的位置，旋轉180度泛指：

「平移後再旋轉180度」、「旋轉180度後再平移」、

「邊平移邊旋轉180度」。※

兩重合直線可由「平移」而平行；

兩平行直線可由「平移」而重合。判斷平行線的方法-(2)(3)距離處處相等（兩平行線沒有交點）。距離就是兩平行線之「寬度」的意思，如圖所示的紅色線段，會與平行線垂直，稱為兩平行線的距離。可由「平移」意義思考，得兩平行線的距離處處相等。反之，若有兩條直線的距離處處相等，則必定不相交，

是為平行線。判斷平行線的方法-(3)(5)過直線外一點恰可作出一條平行線。

即「直線外等距離的相異兩點所連接的直線是平行線」。

想法：作不出相異的第二條平行線，

因為違反了遞移律。(4)具有「遞移律」。

即若L//M、M//N，則L//N（L//M//N）。想法：三直線都可由平移而重合，再由平移而平行。LNM平行線的截線概念引進「截線」概念，

根據直線與截線的夾角度數，以便清楚

判斷直線的移動沒有旋轉，

便是平移，就是平行。一直在使用「平移」或「沒有旋轉」來說明兩直線的重合與平行關係，但是要如何確定是將直線「平移」呢？平行的直觀意義不方便以後的幾何推理證明，故在八九年級會引進垂直截線定義，屆時就有更多平行線的性質。截線也是幫助畫平行線的輔助工具。截線相交於一點將兩重合或平行直線其中之一「旋轉」（180度除外），

即是相交於一點的兩直線。平面上，不平行的相異兩直線恰有一個交點。簡單回顧：以兩直線的交點情形，來討論平面上兩直線的位置關係。(1)沒有交點：平行。(2)一個交點：相交於一點。(3)兩個交點：重合，事實上是無限多個交點。垂直與直角垂直沒有「遞移律」。（畫圖檢驗即知）過直線上（外）一點恰可作出一條垂直線。想法：作不出相異的第二條垂直線，

因為比較後知「夾角不等於90度」。若兩直線的交角為90度，則稱兩直線互相垂直。

亦即「垂直」表示兩直線交角為90度。使用符號「⊥」表示垂直。如圖，若兩直線L與M、與互相垂直，

記作L⊥M、⊥

。又相交的交點稱為「垂足」。AC

BDAC

BDLMADCB對頂角對頂角會相等，即∠1＝∠2、∠3＝∠4，如何驗證？（等量公理）兩相異直線相交於一點，不相鄰的角，稱為對頂角。如圖，∠1與∠2、∠3與∠4，互稱為對頂角。4321∠1