空间解析几何习题解析

一、计算题与证明题1．已知|a|1,|b|4,|c|5,而且abc0．计算abbcca．解：由于|a|1,|b|4,|c|5,而且abc0所以a与b同向，且ab与c反向所以ab0，bc0，ca0所以abbcca02．已知|ab|3,|ab|4,求|a||b|．解：|ab|abcos3（1）|ab|absin4（2）(1)222得ab225所以ab54．已知向量x与a(,1,5,2)共线,且满足ax3,求向量x的坐标．解：设x的坐标为x,y,z，又a1,5,2则axx5y2z3（1）又x与a共线，则xa0即ijkyzxyxyxyzk5i1j15152222y5ziz2xj5xyk0所以2y5z2z2x25xy20即29x25y226z220yz4xz10xy0（2）又x与a共线，x与a夹角为0或cos01xa3x2y2z2125222x2y2z230整理得x2y2z23（3）10联立1、2、3解出向量x的坐标为1,1,110256．已知点A(3,8,7),B(1,2,3)求线段AB的中垂面的方程．解：由于A3,8,7,B(1,2,3)AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为Mx,y,z，则由MAMB得2222y222x3y8z7x1z3化简得2x3y5z270这就是线段AB的中垂面的方程。7．向量a,b,c拥有同样的模,且两两所成的角相等,若a,b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标．解：abcr且它们两两所成的角相等，设为则有ab1011011则cosab1abr2设向量c的坐标为x,y,z则ac1x1y0zxyabcosr11（1）r2rbc0x1y1zyzbccosrr11（2）r2cx2y2z2r1212022所以x2y2z22（3）x1x134联立（1）、（2）、(3)求出y0或y3z1z13所以向量c的坐标为1,0,1或1,4,13338．已知点A(3,6,1),B(2,4,1),C(0,2,3),D(2,0,3)，求以AB,AC,AD为邻边构成的平行六面体的体积．求三棱锥ABCD的体积．求BCD的面积．求点A到平面BCD的距离．解：由于A3，0，1，B2,4,1,C0,2,3,D2,0,3所以AB1,10,0AC3,8,2AD5,6,4（1）AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积1100V38231000012012176564（2）由立体几何中知道，四周体ABCD（三棱锥ABCD）的体积VT1V117688663（3）由于BC2，2，2，BD4，4，4ijkBCBD222i16j0k16444所以BCBD162162162，这是平行四边形BCED的面积所以SBCD1S□BCED11628222(4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥ABCD的体积VT1SBCDH338811112所以H3VT3SBCD82221．求经过点A(3,2,1)和B(1,2,3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为AxCzD0(1)把点A3，2，1和点B1，2，3代入上式得3ACD0A3CD0

(2)(3)由（2），（3）得AD,CD22DDD0代入（1）得xz22消去D得所求的平面方程为x2z02．求到两平面:3xy2z60和:xyz1距离相等的点的轨迹方程．251解；设动点为Mx,y,z，由点到平面的距离公式得3zy2z65x2y10z103222222221510所以3xy2z61452y10z10129x3．已知原点到平面的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为2:6:5,求的方程．解：设截距的比率系数为k，则该平面的截距式方程为xyz12k6k5k化成一般式为15x5y6z30k0又因点O0,0,0到平面的距离为120，则有30k1201525262求出k4286所以，所求平面方程为15x5y6z12028605．已知两平面:mx7y6z240与平面:2x3my11z190互相垂直，求m的值．解：两平面的法矢分别为n1m,1,6，n22,3m,11，由n1⊥n2，得2m21m660求出m66196．已知四点A(0,0,0),B(,2,5,3),C(0,1,2),D(2,0,7),求三棱锥DABC中ABC面上的高．解：已知四点A0,0,0,B2,5,3,C0,1,2,D2,0,7,则DA2,0,7,DB0,5,4,DC2,1,9由DA,DB,DC为邻边构成的平行六面体的体积为207VDA,DB,DC054219900070089070828由立体几何可知，三棱锥DABC的体积为VDABC1V12814设D到平面ABC的高为H663则有VDABC1HSABC3所以H3VDABCSABC又AB2,5,3,AC0,1,2ijkABAC2537i4j2k012所以，SABC1ABAC1724222169222314282869所以，H3169696927．已知点A在z轴上且到平面:4x2y7z140的距离为7,求点A的坐标．解：A在z轴上，故设A的坐标为（00z），由点到平面的距离公式，得7z147422272所以7z1469则z269那么A点的坐标为A0,0,2698．已知点．A在z轴上且到点B(0,2,1)与到平面:6x2y3z9的距离相等,求点A的坐标。解：A在z轴上，故设A的坐标为0,0,z，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得02221z23z9622322化简得40z由于74

22

74z2290440229311640方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。1．求经过点P(1,2,0)且与直线x1y1z1和xyz1都平行的平面的方110110程．解：两已知直线的方向矢分别为v11，1，0，v21，1，0，平面与直线平行，则平面的法矢aA，B，C与直线垂直由a⊥v1，有AB00（1）由a⊥v2，有AB00（2）联立（1），（2）求得A0,B0,只有C0又由于平面经过点P1，2，0，代入平面一般方程得0102C0D0所以D0故所求平面方程Cz0，即z0，也就是xoy平面。2．求经过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线x1y3z订交的直421线的方程．解：设所求直线的方向矢为vm，n，p，直线与平面3x2z10平行，则v⊥n，有3mn2p0（1）直线与直线x1y3z订交，即共面421mnp则有4210113002所以7m8n120（2）由（1），（2）得m22np，即mnp13314503181212778取m4，n50，p31，得求作的直线方程为x1yz2450313．求经过点A(0,0,0)与直线x3y4z4的平面的方程．211解：设经过点A(0,0,0)的平面方程为A(x0)B(y0)C(z0)0即AxByCz0(1)又直线x3y4z4在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直211所以2ABC0(2)直线上的点3,4,4也在该平面上，则3A4B4C0（3）由（1），（2），（3）得知，将A,B,C作为未知数，有非零解的充要条件为xyz2110344即8x5y11z0，这就是求作的平面方程。4．求点P(1,1,0)到直线x2yz1的距离．110解：点A2,0,1在直线上，直线的方向矢v1,1,0AP1,1,1,则AP与v的夹角为APv1100cos1212121212APv所以900所以点P1,1,0到直线的距离为dAP12121235．取何值时直线3xy2z60x4yz15与z轴订交?03xy2z600，0，z，解：直线4yz15与z轴订交，则有交点坐标为x0由直线方程得2z60，求得5z1507．求过点(3,25)且与两平面x4z3和3xyz1平行直线方程．解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确立的平面，即直线的方向矢为ijkvn1n21044i13jk311将已知点代入直线的标准方程得x3y2z541318．一平面经过直线（即直线在平面上）l：x35y2z，且垂直于平面14xyz150，求该平面的方程．解：设求作的平面为AxByCzD0(1)直线x5y2z在该平面上，则有点5,2,0在平面上，且直线的方向矢v3,1,4314与平面的法矢nA,B,C垂直所以5A2BD0(2)3AB4C0(3)又平面与已知平面xyz110垂直，则它们的法矢垂直所以ABC0(4)5D39联立(2),(3),(4)得B7D342D34代入（1）式消去D并化简得求作的平面方程为5x2y2z3903．求极点为O(0,0,0)，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点(3,2,1))的圆锥面的方程．解：设轨迹上任一点的坐标为Px，y，z，依题意，该圆锥面的轴线与平面xyz0垂直，则轴线的方向矢为v1，1，1，又点O0,0,0与点3，2,1在锥面上过这两点的线的方向矢为l13,2,1，点O(0,0,0)与点Px，y，z的方向矢为l2x,y,z，则有l1与v的夹角和l2与v的夹角相等，即x1y111312111x2y2z2121212322212121212化简得所求的圆锥面方程为11x211y211z214xy14yz04．已知平面过z轴,且与球面x2y2z26x8y10z410订交获取一个半径为2的圆,求该平面的方程．解：过z轴的平面为AxBy0（1）球面方程化为x32y42z529表示球心坐标为O3,4,5到截面圆的圆心的距离为d32225,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为3A4B5A2B2化简得4A2241120BAB解关于A的一元二次方程地24B24B24411B2A24求出A11B,A211B22分别代入(1)式得1BxBy0,11BxBy0223y消去B得所求平面方程为x2y或x115．求以z轴为母线,x1直线为中心轴的圆柱面的方程．1解:如习题三.5所示,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为1,1,半径为2,所以求作的圆柱面方程为x12y1226．求以z轴为母线,经过点A(,4,2,2)以及B(6,3,7)的圆柱面的方程解:设以z轴为母线的柱面方程为xa2yb2a2(1)由于点A(,4,2,2),B(6,3,7)在柱面上,则有4a22b2R2(2)6a23b2R2(3)则a02b02R2(4)联立(2),(3),(4)求出a25,b5,R22258464代入(1)式得所求的柱面方程为25252xy22584647．依据k的不同样取值,说明(9k)x2(4k)y2(1k)z21表示的各是什么图形．解:方程9kx24ky21kz21(1)①k9时,(1)式不成立,不表示任何图形;②4k9时,(1)式变成x2y2z21,表示双叶双曲线;a2b2c2③1k4时,(1)式变成x2y2z21,表示单叶双曲线;a2b2c2④k1时,(1)式变成x2y2z21,表示椭球面;a2b2c2⑤k1时,(1)式变成x2y21,表示母线平行于z轴的椭圆柱面;a2b2⑥k4时,(1)式变成x2z21,表示双曲柱面;a2b2⑦k9时,(1)式变成y2z21,不表示任何图形;b2c21．已知|a|2,|b|7,|c|5,而且abc0．计算abbcca．解:|a|2,|b|7,|c|5,且abc0则a与c同向，a、c均与b反向.所以abbcca027cos180075cos180052cos00143510393．已知点A(0,1,4),B(2,3,0)求线段AB的中垂面的方程．解：已知点A(0,1,4),B(2,3,0)，设AB的中垂面上任一点的坐标为Mx,y,z，由两点间的距离公式得x02y12z42x22y12z02化简得xy2z104．已知平面与三个坐标轴的交点分别为A,B,C且OABC的体积为80,又在三个坐标轴上的截距之比为4:5:3,求的方程．解：设在三个坐标轴上的截距之比为a:b:c4:5:3k，则平面与三个坐标轴的交点为A4k,0,0,B0,5k,0,C0,0,3kV0ABC1OAOBOC14k5k3k806