山东省临沂市罗庄区学年高二数学上学期期末考试试卷理含解析

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2020学年山东省临沂市罗庄区高二期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共分）

以下选项表达错误的选项是

A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若为真命题，则，q均为真命题pC.若命题p：，，则：，D.“”是“”的充分不用要条件【答案】B【分析】对于，命题“若，的逆否命题是“若，则”，故正确；对于，若为真命题，则，最罕有一个为真命题，故错误；对于，若命题：，，则：，，故正确；对于，或可推出，反之，推不出，故正确，应选B.2.设，，且，则aA.B.C.D.【答案】D【分析】

【分析】

利用除掉法，可取，，除掉选项，进而可得结果．

【详解】由于，因此可取，，此时，，，均不可以立，因此可除掉选项，应选D．【点睛】此题察看了不等式的性质以及除掉法的应用，属于基础题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特别结论，此后对各个选项进行查验，进而做出正确的判断，这类方法叫做特别法.若结果为定值，则可采用此法.特别法是“小题小做”的重要策略，除掉法解答选择题是高中数学一种常有的解题思路和方法，这类方法即可以提高做题速度和效率，又能提高正确性.3.以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过必然点，则

这必然点的坐标是()

A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)

【答案】B

【分析】

x＋2＝0为抛物线的准线．依照抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的

距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚疼减一半，六朝才获取其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其马虎为：“有一

个人走了378里路，第一天健步行走，从次日起脚疼每天走的行程为前一天的一半，走了

6天后抵达目的地，请问次日走了？”依照此规律，求后3天一共走多少里

里里里里

【答案】D

【分析】

【分析】

此人每天所走的行程，组成等比数列，其中，利用等比数列的通项公式与

求和公式即可得结果．

【详解】此人每天所走的行程组成等比数列，其中，．

则，解得．

后3天一共走了

（里）．

应选D．

【点睛】此题察看了等比数列的通项公式与求和公式基本量运算，属于中档题．等比数列基

本量的运算是等比数列的一类基此题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二

求三”，经过列方程组所求问题可以瓜熟蒂落，解决此类问题的重点是熟练掌握等比数列的

相关性质和公式，并灵便应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

5.设的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，若，且不等式

的解集为，则

A.B.C.或D.

【答案】A

【分析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法先解出不等式，得出和的值，再利用正弦定理得出的值，结合大边对大角定理，可求出的值．【详解】不等式即，解此不等式可得，因此，，，由正弦定理可得，因此，，，因此，可得是锐角，因此，应选A．【点睛】此题主要察看了一元二次不等式的解法及正弦定理的应用，属于基础题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常适用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（必然要注意议论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6.已知椭圆的离心率为，则k的值为A.B.21C.或21D.或

【答案】D

【分析】

【分析】

对椭圆的焦点地址分类两种情况议论，分别利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式列方程

求解即可．

【详解】当椭圆的焦点在轴上时，

，，，，，解得；

当椭圆的焦点在轴上时，

，，

，

，

，解得

．

或，应选

D．

【点睛】此题察看了椭圆的标准方程及离心率公式的应用，察看了分类议论思想、与计算能力，意在察看综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．

推理能力

7.长方体

中

，

，E为

的中点，则异面直线

与AE

所成角的余弦值为

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】

建立坐标系以以以以下列图．

则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．

cos〈，〉＝＝.

因此异面直线

BC1与

AE所成角的余弦值为

.

8.设不等式组表示的可行域与地区对于原点对称，若点，则的最

大值为

A.B.

【答案】B

【分析】

【分析】

作出不等式组对应的平面地区，利用对称性求出地区，化目标函数为直线方程的斜截式，

数形结合获取最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】依照条件作出不等式组对应的平面地区如图：

则三角形是对应地区，设则，平移直线,由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，最大值为，应选．B【点睛】此题主要察看线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决此题的重点．此题主要察看线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（必然要注意是实线仍是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先经过或最后经过的极点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为A.B.C.D.

【答案】B

【分析】

【分析】

利用正弦定理化为三边关系，再由余弦定理求出的值，进而求出角

的大小．

【详解】中，，

由正弦定理得，

；

，

即；

由余弦定理得，

；

又，

角的大小为．

应选B．

【点睛】此题察看了正弦、余弦定理的灵便应用问题，属于中档题．解三角形时，有时可用

正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．若是式子中含有角的

余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若是遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，

则考虑用正弦定理；以上特点都不显然时，则要考虑两个定理都有可能用到．

10.正项等比数列中，，若，则的最小值等于

A.B.1C.D.

【答案】A

【分析】

【分析】

设正项等比数列的公比为，由，解得由，利用等比

数列的通项公式可得再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得结果．

【详解】设正项等比数列的公比为，

，，解得．

，，，即．

则，

当时，等号建立，

因此的最小值等于，应选A．

【点睛】此题察看了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的求最值，属于综合

题．利用基本不等式求最值时，必然要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一

正是，第一要判断参数可否为正；二定是，其次要看和或积可否为定值（和定积最大，积定

和最小）；三相等是，最后必然要考证等号可否建立（主要注意两点，一是相等时参数可否

在定义域内，二是多次用或时等号可否同时建立）.

在棱长为2的正周围体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则

A.0B.C.2D.

【答案】B

【分析】

【分析】

依照题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量

与，利用数量积的运算法例求解即可求．

【详解】以以以以下列图，

棱长为2的正周围体中，

由于分别是的中点，

因此

，应选B．

【点睛】此题察看了空间向量的线性运算与数量积的运算法例，

是基础题．向量数量积的运

算主要掌握两点：

一是数量积的基本公式

；二是向量的平方等于向量模的平方

.

12.已知双曲线C：的右焦点为，圆F：，直线l与

双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为若圆F被直线l所截得的弦长为，则

双曲线的离心率为

A.B.

C.2

D.3

【答案】C

【分析】

【分析】

设直线方程为

，利用圆

被直线所截得的弦长为

，可得圆心到直线的距离

，结合性质，即可求出双曲线的离心率．

【详解】双曲线

C：

的一条渐近线

,

设与该渐近线垂直且在

轴上的截距为

的直线方程为

，

即，

圆被直线所截得的弦长为

，

圆心到直线的距离，

，

，

，

应选C．

【点睛】此题察看双曲线的离心率，察看直线与圆的地址关系的运用，属于中档题．离心率

的求解在圆锥曲线的察看中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求

出，进而求出;②结构的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求

解．二、填空题（本大题共

4小题，共

分）

13.已知命题

p：若

，则

，那么命题

p的否命题为

______．

【答案】若

，则

【分析】

【分析】

直接利用否命题的定义，对原命题的条件与结论都否认即可得结果．

【详解】由于命题：若，则，

因此否认条件与结论后，可得命题的否命题为若，则，

故答案为若，则，

【点睛】此题主要察看命题的否命题，意在察看对基础知识的掌握与应用，属于基础题

14.已知数列中，，表示数列的前n项和，若恒建立，则

m的取值范围是______．

【答案】

【分析】

【分析】由，利用等差数列的求和公式可得

式恒成立刻可得结果．

【详解】由于，

因此，

，再利用裂项相消求和方法，结合不等

．

．

恒建立，

．

则的取值范围是

．

故答案为．

【点睛】此题察看了等差数列的求和公式、裂项相消法求和、不等式恒建立问题，属于中档

题．裂项相消法是最难掌握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一

难点的方法是依照式子的结构特点，常有的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）

；其余，需注意裂项此后相消的过程中简单出现丢项或多项的问题，

致使计算结果错误

.

15.在

中，内角A，B，C的对边分别是

a，b，c，若

，且

的

面积为，则______．

【答案】

【分析】

分析：先利用三角形的面积公式获取，再利用正弦定理将边角公式转变为边边关系，

进而利用余弦定理进行求解．

详解：由于的面积为，

因此，

即，

由，

得，

即，

则．

点睛：此题察看正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等知识，意在察看学生的逻辑思想能力和基本计算能力．16.已知抛物线的焦点F的直线与抛物线订交于，两点，点，在准ABAB线上的投影分别为，且，则的面积与的面积比值为______．【答案】9【分析】

【分析】

画出图形，利用已知条件，依照抛物线的定义可判断

是底角为

的等腰三角形，腰

长为，为边长为的正三角形，求解

的面积与

的面积，进而可得结

果．

【详解】

由抛物线定义可得，因此

又由于,

因此，同理可得

由正三角形的性质可得

因此

，

，

,

，

则，

因此，

的面积：

，

的面积：

，

则的面积与的面积比值为9，

故答案为9．

【点睛】此题察看抛物线的定义与简单性质的应用，

属于难题

.

与抛物线焦点、准线相关的

问题一般情况下都与拋物线的定义相关，解决这类问题必然要注意应用：抛物线上任一点到

焦点的距离等于这一点到准线的距离.

三、解答题（本大题共

6小题，共

分）

17.已知

是等差数列，知足

，

，数列

知足

，

，且

是等

比数列

.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）

【分析】

试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即获取结论;（2）

利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和。

试题分析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n

设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则

q3===8，∴q=2，

∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知nn﹣1，∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），b=3n+2

数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和为；

考点：1.等差数列性质的综合应用；

2.等比数列性质的综合应用；

3.数列求和。

【此处有视频，请去附件查察】

18.已知条件

p：实数

x知足

，其中

；条件

q：实数

x知足

．

若且“

”为真，求实数

x的取值范围；

若q是

p的充分条件，求实数

a的取值范围．

【答案】(1)实数x的取值范围是；(2)实数a的取值范围是.

【分析】

【分析】

若，依照一元二次不等式的解法求出命题的等价条件，再求交集，即可求实数的

取值范围；依照一元二次不等式的解法求出命题的等价条件，利用是的充分条件，

由包含关系列不等式组，即可求实数的取值范围．

【详解】若，不等式为为：，

解得，即：；

由得，

则，即q：，

若为真，则p，q同时为真，

即，解得，

实数x的取值范围是；

由，

得，

，则不等式的解为，

：，

若q是p的充分条件，

则，且，

即，

实数a的取值范围是．

【点睛】此题主要察看充分条件和必要条件的应用，以及一元二次不等式的解法，是中档

题．若，则的解集是；的解集是.

19.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A为锐角

若，，求角B；

若，，，求b，c．

【答案】(1);(2)，.

【分析】

【分析】

将，

，代入

，计算得出

，依照

可知为锐角，进而得出

的值；由

，解方程组得出

【详解】

是锐角，，

．

利用正弦定理将边化角，得出

的值．

，，

．

，利用面积公式得出

，

，结合

，

，

，

是锐角，．

，．

又，，，．

【点睛】此题察看了正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题．正弦定理是解三角

形的有力工具，其常适用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一

定要注意议论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径

.

20.以以以以下列图，在底面为平行四边形的四棱锥

中，

，平面

ABCD，

且

，

，点

E是

PD的中点．

求证：平面AEC；

求二面角的大小．

【答案】（1）看法析（2）

【分析】

试题分析：（1）一般线面平行考虑连结中点，形成中位线，连BD交AC于M,连结EM即可；

2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．试题分析：

∵平面，，平面

∴，，且，以

，

为坐标原点建立以以以以下列图空间直角坐标系．

（1）∵，，∴，

∴，，

设平面的法向量为，则

又，因此，∵

又平面，因此，平面．

（2）∵平面的一个法向量为，

由（1）知，平面的法向量为，

设二面角的平面角为（为钝角），则

，取

，∴

，得

，

．

，得：

．

因此二面角

的大小为

．

21.一个生产企业投资

A生产线

500万元，每万元可创立收益

万元，该企业经过引进先进

技术，在生产线

A投资减少了

x万元，且每万元的收益提高了

；若