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文档简介

法向量主讲人：刘俊秀1.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.注意：2.法向量一定是非零向量;1.一个平面有无数个法向量，所有法向量都互相平行;3.n是平面的一个法向量,

m与平面平行，则有2.求平面的法向量例1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.ｘＡＢＣＤＡ１Ｃ１Ｂ１Ｄ１Ｏｚｙ解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz……①……②由②

-①得y=0,x=2z则O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2)OA1=(-1,-1,2),OD1=(-1,1,2)设面OA1D1的法向量n=(x,y,z)则面OA1D1的法向量为n=(2,0,1)则可取z=1,得x=2求平面法向量的步骤第二步(找):找出平行于平面的两不共线向量a,b;第一步(设):设出平面法向量为n=(x,y,z);第三步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第四步(取):取x(或y,或z)为任意一个正数,

便得到平面法向量n的坐标.例2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2，点E为CC1中点，求点D1到平面BDE的距离.

3.法向量的应用（1）.求点到面的距离AD1C1B1A1DCBE3.法向量的应用（1）.求点到面的距离αPOA点P为平面外一点,求P到面的距离.则向量PA在n上的射影长度就是点P到平面的距离AD1C1B1A1DCBE例2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2，点E为CC1中点，求点D1到平面BDE的距离.

xyz解：以D为原点建立空间直角坐标系O-xyz∵AB=BC=1,AA1=2,E为CC1中点∴D(0,0,0)B(1,1,0)E(0,1,1)D1(0,0,2)设面BED的法向量n=(x,y,z)由得∴n=(1,-1,1)又D1D=(0,0,-2)……①……②∴DE=(0,1,1)DB=(1,1,0)D1D=(0,0,-2)由①-②得变式练习：求点A到面BDC1的距离.例2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2，点E为CC1中点，求点D1到平面BDE的距离.

AD1C1B1A1DCBxyz解：D(0,0,0,)B(1,1,0)C1(0,1,2)A(1,0,0)DB=(1,1,0)DC1=(0,1,2)设面BDC1的法向量为n=(x,y,z)则……①……②由①-②得取z

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