应用数学基础第二章

第二章

积分学第一部分：不定积分原函数与不定积分的概念不定积分的运算法则不定积分的换元法不定积分的分部积分法1/22微分学{导数微分积分学{不定积分定积分2/22例(sin

x)=cos

x

,"

x

˛

(-¥

,+¥

),一、原函数与不定积分的概念定义若在I

上恒有F¢(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在I

上的一个原函数。\sin

x

是cos

x

在I

=(-¥

,+¥

)上的一个原函数。因为

: (sin

x

+

c)

=

cos

x,故

sin

x

+

c

也是cosx

在R上的原函数。3/22考虑原函数的表达式：设F

(x)为f

(x)在I

上的一个原函数，则G(x)为f

(x)在I

上的一个原函数"

x

˛

IG(

x)

-

F

(

x

)

=

CG

(

x)

=

f

(

x)

=

F

(

x)(G(

x)

-

F

(

x

))

=

0G(

x)

=

F

(

x)

+

C

.\f

(x)在I

上的原函数全体为{F

(x)+C

|

C

˛

R},其中F

(x

)为f

(x

)在I

上的任一个原函数,\f

(x)在I

上的原函数具有一般表达式：F

(x)+C

.4/22任意常数积分号被积函数不定积分的定义：

f

(x)dx=F(x)+C被积表达式积分变量称f

(x)在I

上带有任意常数的原函数（即所有原函数）为f

(x)在

I

上的不定积分，记为

f

(x)dx

.5/22求不定积分是求导数的逆运算由定义马上得到下列关系式(

f

(

x)dx

)¢=

f

(

x)

f

¢(x)dx

=

f

(x)

+c

df

(

x

)

=

f

(

x

)

+

c例1求

d

x

(=

1dx

).解

x

=

1

,

x

˛

I

=

(

-¥

,+¥

),\

x

为1

在

I

=

(

-¥

,+¥

)上的

一个原函数

,x

˛

(

-¥

,+¥

).x

˛

(

-¥

,+¥

),x

˛

(

-¥

,+¥

).)\

dx

=

x

+

C,(

又

(

x

+

1)

=

1,\

dx

=(

x

+

1)

+

C,注检验积分结果正确与否的基本方法是：积分结果的导函数=被积函数。7/22注

f

(

x)的一个原函数的图形称为

f

(

x)的一条积分曲线.求不定积分得到一个积分曲线族y=F(x)+C.y=F(x)+C斜率f(x)y=F(x)x9/22基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。11/22(1)

kdx

=

kx

+

C(k是常数);(2)

xm

dx

=x1(4)1

-

x21

+

x21dx

=arctan

x

+

C

=

-arccot

x+

C;dx

=arcsin

x

+

C

=

-arccos

x

+

C;(5)基本

(3)积分表

cos

xdx

=

sin

x

+

C;

sin

xdx

=

-

cos

x

+

C;(6)(7)12/22

dx

=

ln

|

x

|

+C;+

C

(m

„

-1);m

+

1xm

+1xa

x

a dx

=

ln

a

+

C;(8)

sec

2

xdx

=

tan

x

+

C;csc2

xdx

=

-

cot

x

+

C;

sec

x

tan

xdx

=

sec

x

+

C;cscxcot

xdx

=

-

csc

x

+

C;

e

x

dx

=

e

x

+

C;(13)基本积分表13/22解：由例2

求14/22y

=

x2的一个原函数

F(x),

使得F（1）=0F

(

x

)

=

x

2

dx

=2

+

13x

2

+

1

+

c

=

1

x

3

+

c1再由F

(1)

=

0=

0F

(1

)

=

1

+

c3=即得到：c3-

1则所求原函数为：3131x

3-[

f

(

x)

–

g(

x)]dx

=

f

(

x)dx

–

g(

x)dx;二、不定积分的运算法则(1)(2)

kf

(

x)dx

=

k

f

(

x)dx.（k

是常数，k

„0)例315/22求:

y

=

3x2-

2x

+1

的一个原函数使得F(1)

=

3.解：F

(x)=(3x2

-2x+1)dx=3

x2dx-2

xdx+dx2

+13=

x3

-1+12

x2

+

x

+c=

x3

-

x2

+

x

+

c再由:F

(1)=3解得

c

=

2x

3

-

x

2

+

x

+

2故所求原函数为例416/22x+1dx：2

x

-43求xx

- +

1

dx43解：

21=2x2dx-4

x-

13

dx

+

dx3

23=

4

x

2

-

6

x

3

+

x

+

c例5x4

3求：4e

-

x

+

x

dxxx4

3解：

4e

- +

x

dx

dx+

x

dx1xx-3=4

e

dx45=

4ex

-3ln

x

+

1

x5

+

c三、换元法不定积分的计算，其技巧性很强，有的非常复杂，也有的不定积分用普通的方法“积不出来”，这里仅通过例题对换元法作一点介绍。例：求

(1

+2

x

)4dx解，在基本积分公式中有t4dt

=

1t5

+c5作代换

1

+

2

x

=

t

,则有2x

=

t

-

12故原式

=

t

4d

(

t

-

1

)

dt=

t2

142=

1

t

4

dt1

t5

+

c=

12

510=

1

(1

+

2

x

)5

+

c例dx4

-

2x求1解，在基本积分公式中有

dt=ln|t|+c1t则x

=-作代换4-2x

=t,2t

-

4代入得：t4

-

2x12dx

=

1d

(-

t

-

4)

t

2=

1

-

1

dt

1

dt=

-2

t12=-1ln|

t

|

+c2=

-

1

ln

|

4

-

2x

|

+c例dx3

3

x

+

1x

+

1求解：求这一积分，如果作代换3x

+1=

t,问题会变得复杂，正确的代换是33x

+1

=

t,3t

3

-

1解得

：x

=代入得t

x

+1

dx

=

31

(t3

-1)+13

3x

+133d

(

t

-

1

)t1

(t3

-1)+1=

3

(t2dt)+

2

t

)dx3=

1

(t

4=

1

1

t

5

+

t

2

+

c3

5=5

2313x

+1)3

+

(3x

+1)3

+c1

(15四、分部积分法在微分中，有公式d(uv)

=(uv)dx=

uv

+uv

)dx=

v

u

dx)

+u(v

dx)=

vdu

+

udv将公式两端求积分，左端为(注意：微分和积分互为逆运算)

d

(

uv

)

=

uv右端为(vdu

+

udv)

=

vdu

+

udv故uv

=

vdu

+

ud

v最后得分部积分公式

udv

=

uv

-

vdu这条公式叫计算不定积分的分部积分公式，它非常重要，有的积分不用分部积分公式是算不出来的。下面的例题中可得出此公式的作用。例求

xe

x

dx解：

xe

x

dx

=

x(ex

)dx=

xdex=xex

-exdx=xex

-ex

+c例

x

5

ln

xdx解

：

x5

61xln

xdx

=

ln

xd

6=

1

x6

ln

x

-

1

x

6

d

ln

x6

66

=dx1xxx

ln

x

-16

6+

cx6

=66x

ln

x

-161原函数的概念；F

(x)=f

(x)不定积分的概念：

f

(x)dx

=F

(x)+C

；基本积分表；求导数与求不定积分的互逆关系；不定积分的运算性质；求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。四、小结20/22一、 定积分的概念与性质1/29第二节

定积分一、问题的提出abxo1、平面图形的面积考虑如下曲边梯形面积的求法。yy

=

f

(

x)A

=

?2/29这块图形是由一条连续的曲线y

=

f

(x)两条与x

轴垂直的直线x=a和x

=b，以及x轴得围成。abxyabx

oyo思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）

（九个小矩形）用矩形面积近似曲边梯形面积：3/29在区间[a，b]内任意取一点x，考虑区间x

,

x

+

dx

]内图形的面积这里的

dx是一个无限小的数区间x,x

+dx]内图形的面积是无限狭窄的一的一块区域，其面积为这块面积也是无限小的。f

(

x

)

dx（高度×底边)称它是面积元素，也叫面积微元。每一点都对应一个面积微元，将这些面积元素沿x共无穷多个，轴从a连续相加到b

，便得到所求面积。“沿x轴从a连续相加到b”用记号ba表示。所求面积A为一个数值，即：

bA

=af

(

x

)

dx二、定积分的概念设f

(x)是区间[a，b]连续函数，在[a，b]内任意取一点x

,在无穷小的区间x,x

+dx

]内作微元f

(x)dx将这些微元沿轴从a累加到b，得到的和就叫x定积分，记为ab

f

(

x)dx称f

(x)为被积函数，称a和b为积分下限和积分上限补充规定:（1）当a

>

b

时，f

(

x

)

dx

=

-abbaf

(

x

)

dx

.（2）当a

=

b

时，f

(

x

)

dx

=

0

；ba三、

定积分的计算牛顿—莱布尼茨公式若f˛

C[a,b]且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则a

aa

b

f

(

x

)dx

=

F

(b

)

-

F

(

a

)

=

F

(

x

)

|b

=

f

(

x

)

dx

|b1/14y

=lnx例：求由曲线在区间[1，2]上与x轴及x=2所围成的面积A解

：A

=

2

ln

xdx1的不定积分，先求

ln

x由lnxdx=xlnx

-

xd(lnx)=xlnx

x

-

x

1

dx

=

x

ln