因素模型与套利定价理论

因素模型与套利定价理论第1页，课件共46页，创作于2023年2月第一节因素模型一、单因素模型的起因

假定公司收益的不确定性只有以上两种来源，即对所有公司都有影响的宏观经济因素和单个公司特有的因素，这样就可以把公司的持有期收益率写成如下形式：

（6-1）

其中，为该证券在持有期期初时的期望收益率，为持有期间非预期的宏观经济事件对证券收益率的影响，为非预期的公司特有事件对证券收益率的影响。2第2页，课件共46页，创作于2023年2月将非预期的宏观经济因素记为F，并假设不同公司对该因素有不同的敏感度，记为βi

，上式演变成：

（6-2）公司收益率的方差为：

（6-3）不同公司收益率之间的协方差为：

（6-4）第3页，课件共46页，创作于2023年2月二、单指数模型Sharpe用股票指数的收益率代替了单因素模型中的宏观影响因素，称为单指数模型：

（6-5）

写成风险溢价或者超额收益的形式，可以得到：

（6-6）

或者写成

（6-7）4第4页，课件共46页，创作于2023年2月求出股票i的收益和市场指数收益之间的协方差为

（6-8）如果对（6-8）两边取期望，我们可以得到

（6-9）第5页，课件共46页，创作于2023年2月三、多因素模型两因素模型为例，假设宏观经济风险主要来源于经济周期和利率的变化。这样以来，我们就能用GDP的增长率和利率水平来衡量系统性风险。任何股票的收益率将同时受到这两个因素以及公司自身特有因素的影响，可以将其写成:

（6-10）其中，为因子载荷。第6页，课件共46页，创作于2023年2月例：使用多因素模型来进行风险评估以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下：r=0.133+1.2GDP-0.3IR+ei

这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率为13.3%，但如果在预期的基础上GDP每增加一个百分点，股票的收益率将增加1.2%，但是对于非预期的利率每增加一个百分点，股票收益率将降低0.3%。第7页，课件共46页，创作于2023年2月多因素证券市场线

多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。可是，E(r)从哪儿来？

在两因素经济中，风险能够用式（6-10）衡量，证券的期望收益率是以下三项之和：1

)无风险收益率；2)对GDP风险的敏感度乘以GDP风险的风险溢价；3)对利率IR风险的敏感度乘以IR风险溢价。

根据资本资产定价模型：

第8页，课件共46页，创作于2023年2月多因素证券市场线

E(r)=rf+β[E(rM)-rf]（6-11）

若以RPM来表示市场组合的风险溢价，那么式（6-11）可以变换为：

E(r)=rf+βRPM(6-12)

(6-13)式中βGDP表示证券收益对不可预测的GDP增长的敏感度，RPGDP指和GDP相关的一个单位风险溢价。显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或CAMP更丰富多彩的方法来处理风险补偿。第9页，课件共46页，创作于2023年2月例：多因素证券市场线上例中，东北航空公司GDP的β为1.2，利率的β为-0.3，假设GDP单位风险的风险溢价为6%，利率单位风险的风险溢价为-7%，假设无风险利率为4%，公司股票的收益率β是多少呢？4.0%无风险利率+1.2*6%+GDP风险的风险溢价+(-.3)*(-7%)+利率风险的风险溢价总计：13.3%总收益

用（10-5）式计算的结果：E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%第10页，课件共46页，创作于2023年2月例题假定F1与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且，所有的股票都有独立的企业特有(风险)因素，其标准差为45%。下面是优化的资产组合。资产组合F1的贝塔值F2的贝塔值期望收益率A1.52.031

B

2.2

-0.2

27在这个经济体系中，试计算期望收益-贝塔的关系如何？第11页，课件共46页，创作于2023年2月第12页，课件共46页，创作于2023年2月套利，利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利。粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利过程中所构造的投资组合就被称为套利组合。具体来说，套利机会可以分为两类，第一类套利我们又称为强套利（StrongArbitrage），它是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益。第二节套利与套利组合第13页，课件共46页，创作于2023年2月套利的特点是：1）无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润；2）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。套利定价理论的三个基本假设：1）因素模型能描述证券收益；2）市场有足够多的证券来分散非系统风险；3）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。14第14页，课件共46页，创作于2023年2月套利定价理论简介

罗斯（Ross，1976）给出了一个以无风险套利定价为基础的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（ArbitragePricingTheory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律（TheLawofOnePrice），即两种风险－收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。第15页，课件共46页，创作于2023年2月套利与均衡套利与风险收益的支配性观点相比较，两者在支持均衡价格关系上存在重要区别：一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多投资者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据其风险厌恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均衡价格得到恢复；APT理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总想尽可能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参与就可以带来足够的价格压力使其恢复均衡。第16页，课件共46页，创作于2023年2月套利组合套利组合：与CAPM相比，APT的假设条件少，使用比较方便。一个套利组合只要满足三个条件：①套利组合要求投资者不追加资金。用Xi表示持有证券i的金额和权重的变化，Xi可正可负。即X1+X2+X3+….+Xn=0；②套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险；β1X1+β2X2+β3X3+….+βnXn=0③套利组合的预期收益率大于零。r1X1+r2X2+r3X3+….+rnXn>0第17页，课件共46页，创作于2023年2月例6—1假设经济中有A、B、C、D四只股票，每个股票在一期时的收益受到一期时的通货膨胀率和利率水平的影响。下面给出了各股票在不同经济形势下的收益状况：假设每种经济形势发生的概率都等于25％，而且在零期每种股票的价格都等于1元，那么在这种价格水平下，市场是否存在套利组合？（p115)第18页，课件共46页，创作于2023年2月二、套利的几何意义图6-1在阴影区域的投资组合价格为负第19页，课件共46页，创作于2023年2月图6-2两个证券在不同状态下的收益状况第20页，课件共46页，创作于2023年2月图6-3不存在套利机会的情况第21页，课件共46页，创作于2023年2月图6-4存在第二类套利机会的市场第22页，课件共46页，创作于2023年2月图6-5存在强套利机会的市场第23页，课件共46页，创作于2023年2月例题（构建套利组合）第24页，课件共46页，创作于2023年2月第25页，课件共46页，创作于2023年2月三、一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（LawofOnePrice）是指对于任意两个投资组合，如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零。当市场中不存在套利机会时，一价定律必然得到满足，否则可以通过卖空高价证券然后买入低价且有相同收益的证券进行套利。无套利成立所需的另外一个条件是所有在未来每种状态下都有正收益的投资组合其价格都要大于零。第26页，课件共46页，创作于2023年2月定理6—1当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候，市场是无套利的，反之亦然。第一，套利行为是使市场达到有效的一个重要手段。第二，套利限制（LimitofArbitrage）基本面风险（FundamentalRisk）噪音交易者风险（NoiseTraderRisk）某些套利的执行成本过高（ImplementationCost）第27页，课件共46页，创作于2023年2月假设投资者拥有1、２、３三种证券，投资者拥有的可用来投资的资产价值为120万元。每个投资者都认为这三种证券的期望收益率和因素敏感性为：

iriβi证券１１５％０.9证券２２１％３.0证券３１２％１.8现在要问：这三种证券达到均衡了吗？假如没有达到均衡，为了达到均衡，证券的价格和期望收益率会发生什么样的变化呢？例题第28页，课件共46页，创作于2023年2月要回答上述问题，必须先了解一下套利组合这个概念。如果存在一个证券组合无须外加资金、风险为零，而收益率大于零，则称这种证券组合为套利证券组合。如果上面三种证券能形成套利证券组合，说明还有套利机会，市场还未达到均衡。第29页，课件共46页，创作于2023年2月设Xi代表持有第i种证券的改变量（占投资者原有资产价值的百分比），则根据我们对套利证券组合的定义，套利证券组合必须符合以下三个条件：第30页，课件共46页，创作于2023年2月仅仅满足等式(1)，（2）的解有无穷多个，我们任意令X1=0.1，可解得X2=0.075，X3=-0.175，再代入（3）式得：15%×0.1+21%×0.075+12%×(-0.175)=0.975%>0

可见存在套利机会。如果投资者用卖掉证券3的资金

120×0.175=21万去买入证券1、2各为

120ⅹ0.1=12万和120×0.075=9万就可以在无须外加资金又不冒任何风险（设非因素风险足够小，可以忽略）的情况下获利，提高其证券组合的期望收益率。APT认为所有投资者都会利用这样的机会去套利，卖掉证券3去买入证券1和2。因此，此时证券3的供给大于需求，而证券1和2的供给小于需求，市场未达到均衡。第31页，课件共46页，创作于2023年2月那么，ri和βi之间呈什么关系时市场才是均衡的呢？只有在所有证券的ri和βi之间呈直线关系时，市场才能达到均衡。这可以通过图形来说明。图6-6第32页，课件共46页，创作于2023年2月如果所有的ri和βi之间不是呈直线关系，就必然存在套利机会，市场就未达到均衡。如图6-6，当分别代表1、2、3三种证券的ABC三点不在一条直线上时，总是存在通过卖出证券3（C点），来购买D点所代表的由证券1、2组成的证券组合的套利机会。由于大家都愿意卖掉3来买入1、2进行套利，这样对证券1、2的需求就会上升，需求大于供给，结果导致证券1、2的价格上升，而因为大家都卖掉证券3，使它的需求小于供给，从而价格下跌。根据：第33页，课件共46页，创作于2023年2月若Pi0变小，则会使ri增大，若Pi0增大，则ri将变小。所以，大家都卖掉证券3，买入证券1、2的结果是证券1、2的价格越来越高，使得r1、r2越来越小，而证券3的价格越来越低，从而r3越来越大直到（3）式最终等于零，不再有套利机会为止。其结果是证券3的期望收益率有所上升，而证券1、2的期望收益率有所下降，最后三者在同一条直线上。第34页，课件共46页，创作于2023年2月进一步地，如图6-7，若有N个点，其中N-1个点在一条直线上。如果第N点位于N-1个点所在的直线之下，则因为存在卖掉第N种股票去买入与其因素风险相同（由N-1种证券构成）的证券组合M的套利机会，图6-7第35页，课件共46页，创作于2023年2月所以大家都会去卖掉第N种股票买入M，使得第N种股票的价格下跌，期望收益率不断上升，而其他N-1种股票的价格不断上升，期望收益率不断下降，直到所有股票的期望收益率和因素敏感系数呈直线关系时，套利活动才会停止。此时，新的直线比原来的位置相比，往下移了一点。如果第N种证券位于直线之上，则存在卖掉其他证券去买第N种证券的套利机会。其过程与位于直线之下时的情形非常类似，但新直线比原来的直线的位置相对往上移了。当然，所有证券的ri和bi在均衡时严格处于一条直线上只有在没有交易费用的时候才成立，如果考虑交易费用，则它们将分布在理想情况下的直线周围。第36页，课件共46页，创作于2023年2月第三节套利定价理论及其检验一、APT的推导Ross（1976）提出了套利定价理论（ArbitragePricingTheory，APT）：假定：1、市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念，且都能用上式的因素模型来表示。2、市场中风险资产的个数n远远大于系统性风险的种类数k。3、市场中不存在套利机会。37第37页，课件共46页，创作于2023年2月

表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例通过

的选择可以使投资组合满足：（1）每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小，即；（2）投资组合中包含足够多的资产，即n足够大；（3）

的取值能够使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零。第38页，课件共46页，创作于2023年2月第39页，课件共46页，创作于2023年2月第40页，课件共46页，创作于2023年2月二、“纯因素”组合的构造假定市场中有足够多的证券，由于可以利用分散化的方法构造出一些只受系统性风险影响的投资组合，因此，下面的例子中就不考虑风险资产的非系统性风险。

例6—2假设经济中有两种系统性风险F1和F2。证券A和B对这两种风险的敏感度如下表所示：第41页，课件共46页，创作于2023年2月三、套利定价理论与资本资产定价模型的比较

相同点：（1）二者在理念上很相似，都主张在市场达到均衡时，个别证券的预期报酬率可由无风险报酬率加上风险溢价来决定。（2）二者都说明了风险与报酬之间的理性原则——更多的系统性风险，更高的预期报酬。（3）当只有一个共同因素（如市场收益率）能影响证券的收益时，两个理论是一致的。第42页，课件共46页，创作于2023年2月不同点：（1）APT对资产回报率的分布不