2022-2023学年广西壮族自治区梧州市初级中学高二数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区梧州市初级中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为（

）．A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)参考答案：C试题分析：令，则为定义域上的减函数，由不等式得：考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，属中档题．解题时要确定函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减2.若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为_

_

___.参考答案：0或43.为虚数单位，则的值是（

）

A.–

B.

C.1

D.－1参考答案：略4.离散型随机变量的分布列如下则等于（

）A、0.1

B、0.24

C、0.01

D、0.71参考答案：A5.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．2 B．5 C．14 D．41参考答案： D【考点】程序框图．【专题】综合题；转化思想；演绎法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

A

B

是否继续循环循环前

1

1/第一圈

2

2

是第二圈

3

5

是第三圈

4

14

是第四圈

5

41

否则输出的结果为41．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，则m+n的值是（）A．41 B．15 C．9 D．1参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∠F1PO=．可得a，又c=3，a2=b2+c2，联立解出即可得出．【解答】解：∵∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，∴此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F1PO=．∴a，又c=3，a2=b2+c2，联立解得b2=3，a2=12．∴m+n=a2+b2=15．故选：B．8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B9.若复数z满足，则的虚部为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B由题意得，所以z的虚部为.

10.已知a，b∈R*，若向量=（2，12﹣2a）与向量（1，2b）共线，则+的最大值为（）A．6 B．4 C．3 D．参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；基本不等式．【分析】利用向量共线定理可得a+2b=6．再利用基本不等式（x+y）2≤2（x2+y2）即可得出．【解答】解：∵向量与向量共线，∴12﹣2a﹣4b=0，化为a+2b=6．∵a，b∈R+，∴+≤===6．当且仅当2a+b=a+5b，a+2b=6，即b=1，a=4时取等号．∴+的最大值为6．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．参考答案：

【考点】平面与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征．【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．【解答】解：∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：×2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．12.在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一

个焦点在边上，则这个椭圆的焦距为

．参考答案：略13.若数列{an}满足：a1=2，an+m=am?an（m，n∈N+），则数列{an}的通项公式an=

．参考答案：2n【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用赋特殊值法：可令an=2n，满足条件am+n=am?an，且a1=2，即可得到数列{an}的通项公式．【解答】解：由已知am+n=am?an，可知数列{an}的通项公式符合指数函数模型，即，又a1=2，∴可得an=2n，即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，是基础题．14.在△中，“”是“”的________条件参考答案：充要条件15.若

参考答案：16.已知样本7，5，x，3，4的平均数是5，则此样本的方差为

．参考答案：2【考点】极差、方差与标准差．【分析】运用平均数的公式：解出x的值，再代入方差的公式中计算得出方差．【解答】解：∵样本7，5，x，3，4的平均数是5，∴7+5+x+3+4=5×5=25；解得x=6，方差s2=[（7﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2]=（4+1+4+1）=．故答案为：2．17.已知函数，数列的通项公式为，则此数列前2018项的和为_____________．参考答案：考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到函数的化简运算、数列的倒序相加法求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据函数的解析式，化简得到是解答的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=外切，同时与圆C2：x2﹣2x+y2﹣=0内切，不垂直于x轴的直线l交动圆圆心M的轨迹C于A，B两点（1）求点M的轨迹C的方程（2）若C与x轴正半轴交于A2，以AB为直径的圆过点A2，试问直线l是否过定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设动圆M的半径为r，推导出点M的轨迹是以C1（﹣1，0），C2（1，0）为焦点的椭圆，由此能求出点M的轨迹方程．（2）设直线l方程为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的直径、向量垂直，结合题意能求出直线l过定点（，0）．【解答】解：（1）设动圆M的半径为r，圆C2：．（1分）由题意得|MC1|=+r，|MC2|=﹣r，（2分）∴．∴点M的轨迹是以C1（﹣1，0），C2（1，0）为焦点的椭圆，且长半轴长a=，焦半距2c=2，从而短半轴长b==1，于是点M的轨迹方程为．（4分）（2）设直线l方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，，．（6分）∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴==，（7分）∵点A2（，0）在以AB为直径的圆周上，∴AA2⊥BA2，即．（8分）又=（，﹣y1），=（，﹣y2），∴（，﹣y1）?（，﹣y2）=0，即，代入得，化简得，即，∴或．（9分）当时，过定点（，0），此为椭圆右顶点，不满足；当时，，过定点（，0）．∴直线l过定点（，0）．…（10分）【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆的直径、向量垂直的性质的合理运用．19.已知递增的等差数列{an}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=1﹣．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an?bn，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜2．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；证明题；分类讨论；等差数列与等比数列．【分析】（1）解方程可得a2=3，a5=9，从而求得an=2n﹣1；讨论n以确定b1=；n≥2时bn=bn﹣1，从而解得{bn}的通项公式；（2）化简cn=an?bn=2（）n?（2n﹣1），从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．【解答】解：（1）∵x2﹣12x+27=0，∴x=3或x=9，又∵等差数列{an}是递增数列，且a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，∴a2=3，a5=9，∴an=2n﹣1；①当n=1时，b1=1﹣b1，故b1=；②当n≥2时，Sn=1﹣bn，Sn﹣1=1﹣bn﹣1，故bn=（1﹣bn）﹣（1﹣bn﹣1），故bn=bn﹣1，故{bn}是以为首项，为公比的等比数列，故bn=?（）n﹣1=2（）n．（2）证明：cn=an?bn=2（）n?（2n﹣1），Tn=?1+?3+?5+…+2（）n?（2n﹣1），3Tn=2?1+?3+?5+?7+…+2（）n﹣1?（2n﹣1），故2Tn=2+?2+?2+?2+…+4（）n﹣1﹣2（）n?（2n﹣1），故Tn=1++++…+2（）n﹣1﹣（）n?（2n﹣1）=1+﹣（）n?（2n﹣1）=2﹣（）n﹣1﹣（）n?（2n﹣1）＜2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．20.各项均为正数的等比数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设,数列前项和.在（Ⅰ）的条件下，证明不等式;（3）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的“积异号数”，在（1）的条件下，令，，求数列的“积异号数”参考答案：解：（1）设等比数列的公比为，由得，

解得或，∵数列为正项数列，∴

∴首项，∴ （2）由（1）得∴∴

（3）由（1）得，∴

∴

∴

∵ ∴数列是递增数列；

由得，当时，

∴数列的“积异号数”为1.

略21.已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率…∴直线AB的垂直平分线的斜率为1…又线段AB的中点坐标为∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0…∵圆心C在直线l：x+y+1=0上∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）…∴圆C的半径长…∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9…（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1