2022-2023学年河北省石家庄市晋州市第一中学数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．给出下列四个说法：①命题“，都有”的否定是“，使得”；②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题；③是的必要不充分条件；④若为函数的零点，则.其中正确的个数为（）A． B． C． D．3．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.34．若，则为（）A．－233 B．10 C．20 D．2335．若，，如果与为共线向量，则（）A．， B．，C．， D．，6．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的体积为（）A． B． C． D．7．如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，，，则、两点间的距离为（）A． B． C． D．8．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）A． B． C． D．9．已知在处有极值0，且函数在区间上存在最大值，则的最大值为（）A．-6 B．-9 C．-11 D．-410．由曲线，所围成图形的面积是（）A． B． C． D．11．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为()A． B． C． D．12．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．14．命题“，”的否定为______.15．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为______.16．随机变量的概率分布为，其中是常数，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.（1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.18．（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且.（1）求A的值；（2）若，求面积的最大值.19．（12分）已知抛物线：，点为直线上任一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，（1）证明，，三点的纵坐标成等差数列；（2）已知当点坐标为时，，求此时抛物线的方程；（3）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.20．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在上的零点个数；（Ⅱ）当时，若有两个零点，求证：21．（12分）某名校从2008年到2017年考入清华、北大的人数可以通过以下表格反映出来.（为了方便计算，将2008年编号为1，2009年编号为2，以此类推……）年份人数（1）根据最近5年的数据，利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程，并用以预测2018年该校考入清华、北大的人数；（结果要求四舍五入至个位）（2）从这10年的数据中随机抽取2年，记其中考入清华、北大的人数不少于的有年，求的分布数列和数学期望.参考公式：.22．（10分）在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.2、C【解析】

根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数，得出，根据零点的定义和函数的单调性来判断命题④的正误.【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题；对于命题④，函数的定义域为，构造函数，则函数为增函数，又，为函数的零点，则，，，则，命题④为真命题.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.3、C【解析】因，故由正态分布的对称性可知，应选答案C。4、A【解析】

对等式两边进行求导，当x＝1时，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故选A．【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．5、B【解析】

利用向量共线的充要条件即可求出．【详解】解：与为共线向量，存在实数使得，，解得．故选：．【点睛】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.6、B【解析】

根据所给关系可证明，即可将三棱锥可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥的外接球半径，即可得球的体积.【详解】因为平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，则．由此可得三棱锥可补形成长方体如下图所示：设长方体的外接球半径为，则，所以球的体积为，故选:B.【点睛】本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.7、A【解析】

利用三角形的内角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】由三角形的内角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故选：A【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.8、C【解析】试题分析：由，可得，∴z对应的点的坐标为（4，－2），故选C．考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z，然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．9、C【解析】

利用函数在处有极值0，即则，解得，再利用函数的导数判断单调性，在区间上存在最大值可得，从而可得的最大值．【详解】由函数，则，因为在，处有极值0，则，即，解得或，当时，，此时，所以函数单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；当时，，此时，，则是函数的极值点，符合题意，所以；又因为函数在区间上存在最大值，因为，易得函数在和上单调递增，在上单调递减，则极大值为，且，所以，解得，则的最大值为：.故选C．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.10、A【解析】

先计算交点，再根据定积分计算面积.【详解】曲线，，交点为：围成图形的面积：故答案选A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.11、B【解析】

设切点分别为和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到构造函数由导数求得参数的范围。【详解】的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，故选B．【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。12、B【解析】

先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用间接法，计算取3张卡片的总数，然后分别计算取3张同色，2张红色的方法数，最后做差，可得结果.【详解】由题可知：16张取3张卡片的所有结果为取到3张都是同色的结果数为取到2张都是红色的结果数为.故答案为：【点睛】本题考查组合的应用，巧用间接法，审清题意，细心计算，属基础题.14、，【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”故答案为：，【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题．15、【解析】

设，求出M，N的坐标，得出关于的式子，根据P在椭圆上得到的关系，进而求出离心率.【详解】设，则直线PM的方程为，直线PN的方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则，，.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.16、【解析】

根据随机变量分布列概率和为1求出，求出，再由方差性质，即可求解.【详解】由题意得，则，∴，，，则，，∴.故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，，，(2)21【解析】分析：（1）根据题意，求的，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，，（1）展开式的通项为.于是当时，对应项为有理项，即有理项为（2）展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为展开式中各项系数之和，在中令x＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝21．所以展开式中所有项的系数和为21.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．18、（1）；（2）【解析】

（1）由题意利用正弦定理可得，由余弦定理可得，结合范围，可得的值．（2）由基本不等式可求，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解:（1）由题知，由正弦定理有，即，由余弦定理得，因为则.（2），，即，当且仅当时等号成立，当时，，所以面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19、(1)证明见解析；(2)；(3)存在一点满足题意.【解析】

(1)设,对求导,则可求出在,处的切线方程,再联立切线方程分析即可.

(2)根据(1)中的切线方程,代入则可得到直线的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.(3)分情况,当的纵坐标与两种情况,求出点的坐标表达式,再利用与垂直进行求解分析是否存在即可.【详解】(1)设,对求导有,故在处的切线方程为,即,又,故同理在处的切线方程为,联立切线方程有,化简得,即的纵坐标为,因为，故,,三点的纵坐标成等差数列.

(2)同(1)有在处的切线方程为,因为,所以,即,又切线过,则,同理,故均满足直线方程,即故直线,联立,则,即,解得,故抛物线：.(3)设,由题意得,则中点,又直线斜率,故设.又的中点在直线上,且中点也在直线上,代入得.又在抛物线上,则.所以或.即点或(1)当时,则,此时点满足(2)当时,对,此时,则.又.,所以,不成立,对,因为,此时直线平行于轴,又因为,故直线与直线不垂直,与题设矛盾,故时,不存在符合题意的点.综上所述,仅存在一点满足题意.【点睛】本题考查了抛物线的双切线问题,需要求出在抛物线上的点的切线方程,再根据抛物线双切线的性质进行计算,同时要灵活运用抛物线的方程,属于难题.20、(Ⅰ)有一个零点；(Ⅱ)见解析【解析】

(Ⅰ)对函数求导，将代入函数，根据函数在单调性讨论它的零点个数．(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求．【详解】因为，在上递减，递增(Ⅰ)当时，在上有一个零点(Ⅱ)因为有两个零点，所以即.设