2022-2023学年天津市滨海新区大港第八中学高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为()A． B． C． D．2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种4．设等比数列的前n项和为，且满足，则A．4 B．5 C．8 D．95．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）A． B． C． D．16．已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A． B． C． D．7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A． B． C． D．8．设函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．9．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢抖音的人数占男生人数的16，女生喜欢抖音的人数占女生人数23，若有99%参考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人10．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．11．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则（）A． B． C． D．12．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是______14．已知等比数列的前项和为，若，，则________.15．已知直线的极坐标方程为，为极点，点在直线上，线段上的点满足，则点的轨迹的极坐标方程为_______________.16．函数在区间的最大值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.18．（12分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若点在曲线上，求的取值范围；（2）设直线l与曲线交于M、N两点，点Q的直角坐标为，求的值.19．（12分）已知时，函数，对任意实数都有，且，当时，（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若且，求的取值范围.20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R,令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；21．（12分）某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率，记该班级完成首背诵后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列及数学期望．22．（10分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案．【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，设其外接圆的半径为，则，即，由，得，所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的表面积为，故选C．【点睛】本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．2、A【解析】

根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【详解】构造函数，；当时，，；；在上单调递减；，；由不等式得：；，且；；原不等式的解集为．故选：．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有种方案,故D正确.考点：排列组合，考查分类讨论思想.4、D【解析】

由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。【详解】由题意可得，，选D.【点睛】本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。5、A【解析】

先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.【详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，所以左边增加的项数为.故选：A【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6、B【解析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．7、A【解析】

阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.8、B【解析】

∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题．【详解】∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，令t=log2x，所以，=﹣t，则不等式f（log2x）+f（）≥2可化为：f（t）+f（﹣t）≥2，即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，又∵f（1）=2+=1，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，在R上为偶函数，∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，解得，x∈[，2]，故选B．【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．9、B【解析】

设男生人数为x，女生人数为x2，完善列联表，计算K2【详解】设男生人数为x，女生人数为x喜欢抖音不喜欢抖音总计男生1656x女生1316x总计xx32K男女人数为整数故答案选B【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.10、D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，

当时，C错．

故选D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．11、B【解析】

为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式求解即可．【详解】解：由题意，为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率．抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4），．故选：．【点睛】本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12、A【解析】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.详解：令，因为，所以因此解集为，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意可知在内能成立，利用参变量分离法，转化为在上能成立，令，则将问题转化为，从而得到实数的取值范围．【详解】∵函数，∴在上能成立，∴，令，即为，∵的最大值为，∴，∴实数的取值范围为，故选答案为．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数存在减区间，经常会运用分离变量，转化为求最值．属于中档题．14、【解析】

设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，再由计算出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，化简得，，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般要建立首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.15、【解析】

设的极坐标为，的极坐标为，将点的坐标代入直线上得出，由，得，得，代入后化简看得出答案。【详解】设的极坐标为，的极坐标为.所以,,且.由得，即.故答案为：。【点睛】本题考查动点的极坐标方程，考查相关点法求动点的轨迹方程，解本题的关键在于弄清楚主动点与从动点两点之间极径与极角之间的关系，并用这种相互关系进行替换，考查推理能力，属于中等题。16、【解析】

利用导数，判断函数的单调性，可得结果.【详解】由，所以当时，，所以则在单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查函数在定区间的最值，关键在于利用导数判断函数的单调性，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；

（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.18、（1）（2）【解析】

1根据条件可得，设，则然后求出范围即可；（2）根据参数的几何意义，利用一元二次方程根与系数关系式求出结果．【详解】1，在曲线上，，，设，，，，，的取值范围；2，，故曲线的直角坐标方程为：直线l的标准参数方程为为参数，代入得：设M，N两点对应的参数分别为，，，故，异号，．【点睛】本题考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属基础题．19、(1)偶函数.(2)见解析.(3).【解析】

(1)利用赋值法得到，即得函数的奇偶性.(2)利用函数单调性的定义严格证明.(3)先求出，再解不等式.【详解】（1）令，则，，为偶函数.（2）设，，∵时，，∴，∴，故在上是增函数.（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【点睛】(1)本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性的证明，考查函数的图像和性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.20、（Ⅰ）（3，1）；（Ⅱ）3.【解析】

（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（3）关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，即为恒成立，令，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于3，通过分析即可得到m的最小值.【详解】（1）当m=时，．由f′（x）＞3得1﹣x3＞3又x＞3，所以3＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（3，1）．（3）令x+1．所以=．当m≤3时，因为x＞3，所以G′（x）＞3所以G（x）在（3，+∞）上是递增函数，又因为G（1）=﹣,所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．当m＞3时，．令G′（x）=3得x=，所以当时，G′（x）＞3；当时，G′（x）＜3．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令h（m）=，因为h（1）=，h（3）=．又因为h（m）在m∈（3，+∞）上是减函数，所以当m≥3时，h（m）＜3．所以整数m的最小值为3．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用21、(1)；(2)分布列见解析，.【解析】

（1）由知，背诵6首，正确4首，错误2首，又，所以第一首一定背诵正确，由此求出对应的概率；（2）根据题意确定的取值，计算相对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望．【详解】(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率.(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又，，，，∴ξ的分布列为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，意在考查学生的逻辑推理能力与数学计