2022-2023学年陕西省西安市第三十八中学高二数学第二学期期末复习检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．2．已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为()A． B． C． D．3．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．横坐标缩短到原来的倍B．横坐标伸长到原来的倍C．横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位4．已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．225．已知函数f(x)=x2+ax+b，m,n满足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>06．若复数满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．7．已知函数f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()A．1 B．a C．2 D．a28．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A． B．或C． D．或9．如图，在三棱锥中，面，是上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值10．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知集合，则（）A． B． C． D．12．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“∈R，＋2+2≤0”的否定是14．函数的图象在点处的切线方程是_____________.15．在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为_____．（用最简分数作答）16．设各项均为正数的等比数列的前项和为，若,则数列的通项公式为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，，证明.18．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F1在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为1．（1）求椭圆C的标准方程．（1）P为椭圆C上一点，且∠F1PF1＝，求△PF1F1的面积．19．（12分）对于集合,,,,定义.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足,则称集合具有性质.(1)已知集合,,写出,的值；(2)已知集合,其中,证明：有性质；(3)已知集合,有性质,且求的最小值.20．（12分）已知集合，，若，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在上的零点个数；（Ⅱ）当时，若有两个零点，求证：22．（10分）设函数（k为常数，e＝1．71818…是自然对数的底数）．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（1）若函数在（0,1）内存在两个极值点，求k的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【详解】由题意知，当时，有，当时，等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.2、A【解析】

令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【详解】解:令，则，令，则，在上单调递增，，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.3、A【解析】分析：先将三角函数化为同名函数然后根据三角函数伸缩规则即可.详解：由题可得：，故只需横坐标缩短到原来的倍即可得，故选A.点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题.4、B【解析】

，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.5、A【解析】

设A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直线AB的方程，根据f(x)的开口方向可得到f(x)与直线AB【详解】设A(m,n-m)，B(n,m-n)，则直线AB的方程为y=-2x+m+n，即A,B为直线y=-2x+m+n与f(x)的图像的两个交点，由于f(x)图像开口向上，所以当m<x<n时，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.6、A【解析】

由，得，则，故选A.7、A【解析】

由已知可得，再根据指数运算性质得解.【详解】因为以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，所以.因为f(x)＝ax，所以f(x1)·f(x2)=.故答案为：A【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.8、D【解析】

根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，【详解】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式，或者，的解集为，故选D.【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.9、B【解析】

将三棱锥放入长方体中，设，，，计算，，则，得到答案.【详解】将三棱锥放入长方体中，设，，，如图所示：过作平面与，与，连接，则为二面角的平面角，设为，则，，故.同理可得：设二面角的平面角为，.，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.10、C【解析】

分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于1，右侧函数值大于1，列不等式求解详解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝1时，f′（x）＝4x+1＞1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠1时，△＝16﹣12a．由△≤1，解得，此时f′（x）≥1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞1，解得a（a≠1），由f′（x）＝1，解得x1，x2．当时，x1＜1，x2＜1，因此f′（x）≥1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜1时，x1＞1，x2＜1，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）＝1，∴12，a＜1．解得：a．综上可得：a．故选：C．点睛：极值转化为最值的性质：1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；11、C【解析】

利用对数函数的单调性对集合化简得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【详解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故选：C【点睛】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．12、C【解析】

根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.【详解】函数,故函数是奇函数,图像关于原点对称,排除B,D,当x＞0且x→0,f（x）＞0,排除A,故选：C．【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、"，x2＋2x+2>0；【解析】

解：因为命题“∈R，＋2+2≤0”的否定是"，x2＋2x+2>014、【解析】

首先求出在1处的导数，再求出在1处的函数值，然后用点斜式求出方程即可.【详解】，∴且，切线方程是，即．【点睛】本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.15、【解析】

用列举法列出所有基本事件，从中得到所求事件包含的基本事件的个数，再用古典概型的概率公式可得答案.【详解】设3名男生为，2名女生为，从中抽出3名学生的情况有：，，，，共10种，其中全是男生的情况有1种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为.故答案为：.【点睛】本题考查了用古典概型概率公式求概率，关键是用列举法列出所有基本事件，属于基础题.16、【解析】分析：根据基本量直接计算详解：因为数列为等比数列，所以解得：所以点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0.(2)证明见解析.【解析】

分析：求出导函数，可设切点为，由此可得切线方程，与已知切线方程比较可求得．（2）由可把用表示（注意是，不是它们中的单独一个），这样中的可用代换，不妨设，设，可表示为的函数，然后求得此函数的单调性与最值后可得证．详解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得．（2）不妨设，由，得，即，所以，设，则，，设，则，即函数在上递减，所以，从而，即点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值．函数存在零点且证明与零点有关的问题，可利用零点的定义把参数用零点表示，这样要证明的式子就可表示的代数式，然后只要设，此代数式又转化为关于的代数式，把它看作是的函数，用导数求得此函数的最值，从而证明题设结论．18、（1）；（1）【解析】

（1）由已知可得关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；（1）在中，由已知结合椭圆的定义及余弦定理和三角形的面积公式，即可求解．【详解】(1)设椭圆的标准方程为，∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆短轴长为1，∴，解得，，∴椭圆的标准方程为．（1）由椭圆定义知①又∠，由余弦定理得②联立①②解得所以三角形的面积【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答熟练应用椭圆的焦点三角形，以及余弦定理和三角形的面积公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、(1)(2)证明过程见解析；(3).【解析】

(1)利用定义,通过计算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素组成首项为,公比为的等比数列,只要证明这个等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中即可.(3)根据,有性质了,可以知道集合中元素的性质,这样可以求出的最小值.【详解】(1)根据定义可得：,.所以(2)数列的通项公式为：.若存在成立，则,因此有,即有.等式的左边是2的倍数,右边是3的倍数,故等式不成立,因此等比数列中的任意两项(包括本身与本身)的和不在这个数列中所以中的元素的个数为：,即,所以有性质；(3)集合具有性质,所以集合中的任意两个元素的和都不在该集合中,也就是集合中的任意两个元素的和都不相等,对于任意的有,也就是任意两个元素的差的绝对值不相等.设,所以集合具有性质,集合,有性质,且(当且仅当时,取等号).所以的最小值为.【点睛】本题考查了新定义题,考查了等比数列的性质,考查了反证法的应用.20、【解析】

化简集合A,B,由知，即可求解.【详解】由，得，，【点睛】本题主要考查了集合的交集，集合的子集，属于中档题.21、(Ⅰ)有一个零点；(Ⅱ)见解析【解析】

(Ⅰ)对函数求导，将代入函数，根据函数在单调性讨论它的零点个数．(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求．【详解】因为，在上递减，递增(Ⅰ)当时，在上有一个零点(Ⅱ)因为有两个零点，所以即.设则要证，因为又因为在上单调递增，所以只要证设则所以在上单调递减，，所以因为有两个零点，所以方程即构造函数则记则在上单调递增，在上单调递减，所以设所以递增，当时，当时，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，综上：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点、考查了构造函数证明不等式，意在考查计算能力、转化思想的应用，是关于函数导数的综合性题目，有一定的难度.22、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（1）．【解析】

试题分析：（I）函数的定义域为，由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间