2022-2023学年广东省广州市增城区四校数学高二下期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若“直线与圆相交”，“”；则是()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．下列关于独立性检验的叙述：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；②独立性检验依据小概率原理；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，与有关系的把握程度就越大.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知命题p：，.则为().A．， B．，C．， D．，4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．5．以下四个命题中是真命题的是()A．对分类变量x与y的随机变量观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C．若数据的方差为1，则的方差为2D．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好6．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．7．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司总人数的百分比是（精确到）（）A． B． C． D．8．已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是A． B． C． D．9．复数在复平面内对应的点在（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限10．已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC，若，则的最大值为A． B．4 C． D．311．设在定义在上的偶函数，且，若在区间单调递减，则（）A．在区间单调递减 B．在区间单调递增C．在区间单调递减 D．在区间单调递增12．若命题“存在，使”是假命题，则非零实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．湖面上有个相邻的小岛，，，，，现要建座桥梁，将这个小岛连接起来，共有__________不同方案．（用数字作答）14．在的展开式中系数之和为______________.(结果用数值表示)15．若，则展开式中的常数项为______。16．一个总体有200个个体，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则分组间隔为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且，.（Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；（Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.18．（12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值.19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.20．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在上单调递增，求的最大值．22．（10分）已知圆C经过点,且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于P,Q两点.（1）求圆C的方程；（2）若，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交⇔1，解得b．即可判断出结论．【详解】直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交⇔1，解得．∴“直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b＜1”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、C【解析】分析：根据独立性检验的定义及思想，可得结论．详解：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；正确；②独立性检验依据小概率原理；正确；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；正确；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，与有关系的把握程度就越大.故④错误.故选C.点睛：本题考查了独立性检验的原理，考查了推理能力，属于基础题．3、C【解析】

因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，所以p：，的否定:.故选C.4、B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.5、D【解析】

依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案.【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D是正确的．【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6、D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，

当时，C错．

故选D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．7、A【解析】

求出样本平均值与方差，可得年龄在内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】,,年龄在内，即内的人数有5人，所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比是等于，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式．样本方差公式，标准差.8、D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.9、B【解析】

利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的位置．【详解】，对应的点的坐标为，所对应的点在虚轴上，故选B．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．10、A【解析】

由题意得出，设，，利用三角函数辅助角公式可得出的最大值.【详解】由于、、是直径为的球的三条两两相互垂直的弦，则，所以，设，，，其中为锐角且，所以，的最大值为，故选A.【点睛】本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为，高为，其外接球的直径为，则，充分利用这个模型去解题，可简化计算，另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解．11、D【解析】

根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数，同时关于对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数满足，所以是周期为2的周期函数，由函数在区间单调递减，可得单调递减，所以B不正确；由函数在定义在上的偶函数，在区间单调递减，可得在区间单调递增，所以A不正确；又由函数在定义在上的偶函数，则，即，所以函数的图象关于对称，可得在区间单调递增，在在区间单调递增，所以C不正确，D正确，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、C【解析】

根据命题真假列出不等式,解得结果.【详解】因为命题“存在，使”是假命题,所以,解得:,因为.故选:.【点睛】本题考查命题真假求参数,注意已知条件非零实数是正确解答本题的关键,考查学生分析求解能力,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、135【解析】分析：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座，减去不能彼此连接的即可。详解：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座不能彼此连接，共135种。点睛：转化问题为组合问题。14、1【解析】

令求解展开式的系数和即可.【详解】令可得展开式的系数和为：.故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和的计算，属于基础题.15、-1【解析】

根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．【详解】若，

则，即a=2，

∴展开式的通项公式为：令6-2r=0，解得r=3；

∴展开式的常数项为：

故答案为：-1．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．16、10【解析】

系统抽样的抽样间隔为200÷20=10，可得答案．【详解】利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本.所以应该将总体编号后分成20组，每组200÷20=10个所以分组间隔为10.故答案为：10.【点睛】本题考查系统抽样的定义和方法，考查系统抽样的抽样间隔，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)，证明见解析.【解析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的递推公式，计算，，，，在通过分子和分母的规律猜想出.（2）根据，结合通项公式的累乘法求出.再运用求和证明（1）的猜想.详解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）证明：因为①，所以②，①-②得，所以.化简得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.点睛：数列问题注意两个方面的问题：（1）的特殊性；（2）时，①消去，如，可以计算；②消去，如，可以计算.18、（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为.【解析】试题分析：（1）由题可知）抛物线的焦点为，所以，然后根据离心率可得a值，从而得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出AC和BD的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得，所以设，，直线的方程为，代入椭圆方程，，同理求出AC的长度，然后化简即得.解析：（1）抛物线的焦点为，所以，又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）当直线的斜率存在且时，直线的方程为，代入椭圆方程，并化简得.设，，则，，.易知的斜率为，所以..当，即时，上式取等号，故的最小值为.（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得.综上，的最小值为.点睛：本题要熟悉椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系问题，在求解椭圆中的最值问题时务必先求出表达式结合不等式即可得出结论，同时直线与椭圆的弦长公式也要非常熟悉19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.【详解】解：（Ⅰ）由，，，得即所求曲线的直角坐标方程为：（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得由是的中点知，即所以直线的斜率为.【点睛】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）；（2）点位于棱的三等分点处.【解析】

先由题意，得到，，，的坐标，以及向量，的坐标；（1）根据题中条件，得到，求出平面的一个法向量，根据，结合题中条件，即可求出结果；（2）先由题意，得到存在实数，使得，进而得到，分别求出平面和平面的一个法向量，根据向量夹角公式，结合题中条件，列出等式，求出，即可得出结果.【详解】由题意，可得，，，，则，，（1）因为为的中点，所以，因此，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即，设直线与平面所成角，则；（2）因为点为棱上一点，所以存在实数，使得，则，即；所以，；因为平面与平面是同一平面，因此其一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，即，则，令，则，即，因为二面角的平面角为，且，所以，解得：或，即或，因此，点位于棱的三等分点处.【点睛】本题主要考查求线面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦公式以及辅助角公式化简函数，由周期公式求解即可；（Ⅱ）由正弦函数的性质求出的单调递增区间，由题设条件得出，即可得出的最大值．【详解】解：（Ⅰ）因为．所以