直线与圆圆与圆的位置关系（市一等奖）

考点突破考点一：直线与圆的位置关系考点二：圆的切线、弦长问题考点三：圆与圆的位置关系课堂小结第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系夯基释疑思想方法易错防范概要基础诊断夯基释疑消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，考点一

直线与圆的位置关系考点突破当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，考点一

直线与圆的位置关系考点突破法二

(1)证明

因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，考点一

直线与圆的位置关系考点突破所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC(C为圆心)垂直时才最短，

而此时点P(0，1)为弦AB的中点，

判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.规律方法考点突破考点一

直线与圆的位置关系考点突破解析(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，考点一

直线与圆的位置关系即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．考点突破(2)当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；考点一

直线与圆的位置关系所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，答案(1)A

(2)D(1)解析易知圆心坐标为(2，－1)，r＝2，考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型1]

有关弦长问题(2)解①由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型1]

有关弦长问题②设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型1]

有关弦长问题＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型1]

有关弦长问题

求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．规律方法解析(1)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型2]

有关切线问题故选D.(2)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小，即圆C的直径最小，考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型2]

有关切线问题

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．规律方法考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型2]

有关切线问题解(1)圆心C(1，2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.【训练2】

已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．考点突破考点二圆的切线、弦长问题考点突破考点二圆的切线、弦长问题【训练2】

已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．解析(1)两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，考点三圆与圆的位置关系考点突破∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．直径的圆时，面积最小．考点三圆与圆的位置关系考点突破判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．规律方法考点突破考点三圆与圆的位置关系解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，考点突破考点三圆与圆的位置关系故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.考点突破考点三圆与圆的位置关系整理得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；思想方法课堂小结易错防范课堂小结1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．（见教辅）由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，考点突破考点二圆的切线、弦长问题[微题型1]

有关弦长问题考点突破解

将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，考点二圆的切线、弦长问题由题意可设切线的方程为y＝kx，联立切线方程与圆的方程，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.解析(1)圆C1和圆C2的标准方程为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为3，2.备选题(1)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0