高一数学平面与平面垂直的判定与性质

高一年级数学平面与平面垂直的判定与性质知识回顾二面角作法范围定义[0,π]从一条直线出发的两个半平面组成的图形称为二面角作（定义、棱的垂面、面的垂线）、证、指、算平面与平面垂直的概念直二面角知识回顾思考1.在二面角α-m-β中,如果AO⊥β于点O,那么二面角α-m-β

是直二面角吗？新课引入αβmA讲授新课OαβmA分析:因为α∩β=m,AO⸦α,AO⊥β于点O所以AO⊥m于点O.在平面β内,过点O作OB⊥m于点O,所以,∠AOB是二面角α-m–β的平面角因为

AO⊥β,所以，

AO⊥OB.所以,∠AOB=900.OB所以,α⊥

β.讲授新课平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.讲授新课αβml线面垂直面面垂直平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.讲授新课思考2：如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？αβabm讲授新课思考2：如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？αβm讲授新课cαβmOA讲授新课(？)αβmB

OA讲授新课线线垂直线面垂直面面垂直αβmAO平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.讲授新课符号语言图形语言面面垂直的判定定理：讲授新课线面垂直面面垂直线线垂直线面垂直面面垂直面面垂直的性质定理：空间中的垂直关系mnlmnlαlα线面垂直面面垂直线线垂直判定判定mnlmnlαlαβ空间中的垂直关系线面垂直面面垂直线线垂直性质定义nlnlαlαβ判定判定空间中的垂直关系例.判断以下命题是否正确：例题讲解（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）×AA1BCDB1C1D1（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）×AA1BCDB1C1D1（3）.如果平面α内的一条直线l垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）√

l⊥β

，l

⸦

α，则α⊥β.（4）.如果α⊥β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.（）AA1BCDB1C1D1×

（5）.若两个平面垂直，分别在这两个平面内直线互相垂直.（）AA1BCDB1C1D1×（6）.若两个平面垂直,分别在两个平面内且互相垂直的两条直线一定分别与另一个平面垂直.（）AA1BCDB1C1D1×（7）.若两个平面互相垂直,过一个平面内的任一点在该平面内作交线的垂线,则此直线必垂直与另一个平面.（）√例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

求证：平面ABC1D1┴平面A1B1CD.AA1BCDB1C1D1AA1BCDB1C1D1证明：因为正方体ABCD-A1B1C1D1,

所以,AB┴平面A1D1DA,AB┴A1D.

在正方形A1D1DA中,AD1

┴A1D,AB∩AD1=A,所以,A1D┴平面ABC1D1.

又因为A1D⸦平面A1B1CD,

所以,平面A1B1CD┴平面ABC1D1.AA1BCDB1C1D1EF例.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

求证：平面ABC1D1┴平面A1B1CD.思路二：例.已知,如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC.ABOCP证明：设⊙O所在平面为α,因为PA⊥α,BC⸦α,所以,PA⊥BC.因为AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,所以,∠BCA＝

90°,即BC⊥AC.因为PA∩AC=A,所以,BC⊥平面PAC.因为,BC⸦面PBC.所以,平面PBC⊥平面PAC.线面垂直面面垂直线线垂直ABOCP判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.小结αβmOAαβmOAnBl判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.小结线线垂直面面垂直线面垂直直角三角形的定义勾股逆定理直径所对圆周角是直角线面垂直的定义线面垂直的性质ABCD例.已知,在三棱锥

A-BCD中,

AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥A-BCD中,哪些平面相互垂直,为什么？AB⊥平面BCD平面ABC⊥平面BCDAB⊥平面BCD平面ABD⊥平面BCDCD⊥平面ABC平面ACD⊥平面ABCBC⊥CDAB⊥平面BCDAB⊥CD小结寻找已知平面的垂面的关键：寻找已知平面的垂线.ABCD例.已知,在三棱锥

A-BCD中,

AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥A-BCD中,哪些平面相互垂直,为什么？平面ABC⊥平面BCD平面ABD⊥平面BCDAB⊥平面BCD？αβlγmn拓展：已知：

α∩β=l,

α

⊥γ

，

α∩

γ

=m,

β⊥γ，

β∩γ=n

.求证：l⊥

γ

.αβlγmnOAB解法一：在面γ

内作取点O,点O不在n、m

上,作OA⊥m于点

A,OB⊥n于点

B,因为α⊥γ,α∩γ

=m,OA⊥m,AO⸦γ,所以,OA⊥α,l⸦α,

OA⊥l.同理,OB⊥l.

OB∩OA=O,OB⸦γ

,OA⸦

γ所以：l

⊥

γ

.线面垂直定义面面垂直性质定理线面垂直判定定理αβlγmn垂直于同一个平面α的两个平面若相交，则其交线垂直于平面α.已知：如图所示,α

⊥

β,在

α

与

β

的交线上取线段,且AC、BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的长．αβAlCDBαβAlCDB解：连接BC,因为α

⊥

β,α∩

β

=AB,BD⸦β

,BD⊥AB,所以,DB

⊥α.又因为BC⸦

α,所以，BD⊥BC,

因此,是直角三角形.在中,在中,

．已知：如图所示,α

⊥

β,在

α

与

β

的交线上取线段,且AC、BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的长．αβAlCDB课堂小结1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义