天津第八十九中学2022年高三数学理期末试卷含解析

天津第八十九中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=cos2xcosφ﹣sin2xsinφ（0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的个数是（）①直线x=π是函数f（x）的图象的一条对称轴②函数f（x）在上单调递减③函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象④函数f（x）在的最小值为﹣1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据已知求出函数的解析式，根据余弦型函数的图象和性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=cos2xcosφ﹣sin2xsinφ=cos（2x+φ）的图象的一个对称中心为（，0），故cos（+φ）=0，解得：φ=+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=cos（2x+）；对于①，当x=π时，f（x）取最小值﹣1，故①直线x=π是函数f（x）的图象的一条对称轴，故①正确；对于②，当x∈时，2x+∈[，]，故②函数f（x）在上单调递减，故②正确；对于③，函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos（2x﹣）的图象，故③错误；对于④，当x∈时，2x+∈[，]，故2x+=π，即x=π时，函数取最小值﹣1．故④函数f（x）在的最小值为﹣1．故④正确；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．2.已知函数的图象如图，则的图象为

（

）

A．①

B．②

C．③

D．①②③图都不对参考答案：B略3.已知函数有两个零点，则有

A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.给定性质:①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（

）

A．y=sin(+)

B．y=sin(2x－)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin|x|参考答案：B5.若,则的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知=2+i，则复数z的共轭复数为（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3﹣i D．﹣3+i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】先由已知，得出z=（1﹣i）（2+i），化为代数形式后，求其共轭复数．【解答】解：由已知，z=（1﹣i）（2+i）=3﹣i，其共轭复数为3+i．故选A．【点评】本题考查复数代数形式的基本运算运算，复数的共轭复数的概念．属于基础题．7.如图所示，程序框图输出的结果是（）A．55 B．89 C．144 D．233参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量c的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由题意知，第一次循环i=2，c=2；第二次循环i=3，c=3；第三次循环i=4，c=5；…第十次循环i=11，c=144，结束循环，输出c的值为144，故选：C．8.已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是(

)A． B．C． D．参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．【解答】解：由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin（2x+）+2，故选B【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+?）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，属于中档题．9.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C．2 D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．10.（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（

）

A．B．C．D．参考答案：D【考点】：几何概型；简单线性规划．应用题；概率与统计．【分析】：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．【点评】：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数________的图象.参考答案：略12.(几何证明选做题)如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径

．

参考答案：4略13.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则边c=．参考答案：

【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cosC，进而利用余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵cos（A+B）=cos（π﹣C）=，可得：cosC=﹣，又∵a=3，b=2，∴由余弦定理可得：c===．故答案为：．14.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差S2可能的最大值是

．参考答案：【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是，故答案为：15.已知在中,,,，且是的外心，则

，

.

参考答案：2，16.（ax2+）6展开式的常数项为15，则实数a=

．参考答案：±1【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：Tr+1==x3r﹣6，令3r﹣6=0，解得r=2．∴=15，解得a=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.由曲线y=xa（a为常数，且a＞0），直线y=0和x=1围成的平面图形的面积记为xadx，已知dx=，=，dx=，x2dx=，dx=，x3dx=，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时，xndx=

．参考答案：

【考点】归纳推理；定积分．【分析】由所给定积分，即可归纳得出结论．【解答】解：dx=，=，dx=，x2dx=，dx=，x3dx=，…，照此规律，当a∈（0，+∞）时，xndx=，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）令，区间，e为自然对数的底数。（ⅰ）若函数在区间D上有两个极值，求实数m的取值范围；（ⅱ）设函数在区间D上的两个极值分别为和，求证：.参考答案：解：(1)当时，，所以若，则所以的单调区增区间为若则所以的单调区增区间为（2）（ⅰ）因为，所以，，若函数在区间D上有两个极值，等价于在上有两个不同的零点，令，得，设，令

大于00小于0

0增减

所以的范围为（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数在区间D上有两个极值分别为和，不妨设，则，所以即，要证，只需证，即证，令，即证，即证，令，因为，所以在上单调增，，所以，即所以，得证。

19.在中，分别为角所对的边，已知，判断的形状。参考答案：为略20.(14分)已知函数,（x>0）．（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb](m≠0),求m的取值范围．参考答案：解析：（I）∵x>0，∴∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得0<a1<b和．即．∴2ab=a+b>．……3分故，即ab>1．……4分

（II）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，则a>0．

①

当时，在（0，1）上为减函数．故

即

解得

a=b．故此时不存在适合条件的实数a，b．………………6分②

当时，在上是增函数．故

即

此时a，b是方程的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．………………8分③

当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………10分（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

则a>0，m>0．①

当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．②

当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

故只有．∵在上是增函数，

∴

即

a，

b是方程的两个根．即关于x的方程有两个大于1的实根．……12分设这两个根为，．则+=，·=．∴

即

解得

．

故m的取值范围是．…………14分21.

若实数列满足,则称数列为凸数列.

（Ⅰ）判断数列是否是凸数列?

（Ⅱ）若数列为凸数列,

求证：;

设是数列的前项和,求证：.参考答案：（Ⅰ）

数列是凸数列.(Ⅱ)由得,,故.由得.①故先证是凸数列.在中令得,令叠加得,故是凸数列,由①得.略22.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点。(1)求证：平面BDF⊥平面PCF。(2)若AF=1，求证：CE∥平面BDF。参考答案：证明(1)连接AC交BD于点O。

因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC。因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA。因为PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，