2022年山东省济宁市第一职业高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年山东省济宁市第一职业高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是

（

）

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形参考答案：C略2.如图，平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且等于A.

B.

C.

D.1参考答案：3.下列函数中，既是偶函数，又在（0,1）上单调递增的函数是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C4.过双曲线（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为，交双曲线的左支于点，若，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：C试题分析：设双曲线的右焦点的坐标,由于直线与直线垂直,所以直线方程为,联立,求出点,由已知,得点,把点坐标代入方程,,整理得,故离心率,选C.考点：1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.5.如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形．则该几何体的体积等于

A.28πcm3

B.14πcm3

C.7πcm3

D.56πcm3

参考答案：B试题分析：由三视图可得几何体是下底面为半径等于4的半圆面，上底面为半径等于1的半圆面，高等于4的圆台的一部分，因此该几何体的体积，故答案为B.考点：由三视图求体积.6.设函数f（x）满足f（x）=f（4–x），当x>2时，f（x）为增函数，则a=f（1.10.9）、b=f（0.91.1）、c=f（log）的大小关系是（

）

A．a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．c>b>a参考答案：D略7.已知集合,,则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，由体积公式计算体积即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么图形，从而解答问题，是基础题．9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B．27π C．27π D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．10.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则最下面那节的容积为A.升

B.升

C.升

D.升参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在长方体中，分别是棱，上的点（点与不重合），且∥，过的平面与棱，相交，交点分别为．设，，．在长方体内随机选取一点，则该点取自于几何体内的概率为

.参考答案：略12.已知点在抛物线上，则p=______；点M到抛物线C的焦点的距离是______.参考答案：2

2【分析】将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.【详解】点代入抛物线方程得：，解得：；抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为：2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.13.已知抛物线经过圆的圆心，则抛物线的准线与圆相交所得的弦长为

．参考答案：【知识点】圆的标准方程抛物线的几何性质H3

H7圆的标准方程为，圆心坐标，代入抛物线方程可得，所以其准线方程为，圆心到直线的距离，所以抛物线的准线与圆相交所得的弦长为：.故答案为.【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心，代入抛物线方程可得，即其准线为，根据圆的弦长公式可求得弦长.14.等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=

.参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值．

15.我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：

日相逢？参考答案：9由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列，设路程为，由题意有：，故：，满足题意时，数列的前n项和为，由等差数列前n项和公式可得：，解得：.即二马相逢，需9日相逢

16.若函数的定义域为[0，1]，则的定义域为

.参考答案：17.若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）如图，已知正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小.参考答案：解析：取中点，连，∵为正三角形，∴，∵在正三棱柱中，平面平面,∴平面………2分取中点为,以为原点，,,的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，……………4分∴,∵,，∴，,∴平面.…………6分（2）设平面的法向量为,.，∴，∴，解得，令，得为平面的一个法向量，………………8分由（1）知平面，∴为平面的法向量，，∴二面角的余弦值大小为.

………………10分19.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且线段AB的最小长度为4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，证明直线AP与x轴交于一定点并求出该定点坐标．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意2p=4，求出p，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线BD的方程，与抛物线C的准线方程构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意2p=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+1与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0，∴y1?y2=﹣4，依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）∴P的坐标可化为（﹣1，），∴kAP=，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．20.在平面直角坐标系中，已知点（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求点的轨迹的方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.参考答案：（1）设点，所以，（为参数），消去参数，得，即点的轨迹的方程为直线,所以直线的直角坐标方程为.（2）由（1），可知点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，则圆心到直线的距离为.所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.21.已知函数，其中.（1）若直线为曲线在（0，f（0））处的切线方程，求a，并求f（x）的单调区间；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（-1，1）（2）【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程建立方程，即可求得a的值；利用导数的正负，可得f（x）的单调区间.(2)只需最大值处即可.【详解】（1）.，由题意可得，得.所以，令，得