补形法在立体几何中的应用

PAGEPAGE5补形法在立体几何中的应用李远国在立体几何中,有许多题如果采用原来的几何体去求解,有时显得十分繁难。但根据问题的已知条件及证题需要,合理地将原来的几何体适当地向外延伸、补加、移位,使之扩展为一个特殊、简单、完整且特征较为熟悉的几何体,再利用所得新的几何体求解,这种方法叫补形法。补形法是解立几题的一种重要的思想方法,它不仅能缩短从已知到未知的探求过程,起到化难为易、驭繁就简的作用,而且能培养学生丰富思维能力,促进创造性思维的发展。其基本策略归纳如下。一、补成正方体或长方体例1正方形ABCD及ADEF所在平面互相垂直,求AC和DF所成的角。FPQEFPQEABCD∵PC∥FD,∴∠ACP为AC和DF所成的角.易知∠ACP=60°,∴AC和DF所成角为60°。例2过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设AB=PA,求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小。解:,将图形补成正方体ABCD—PQMN,∵QP⊥APQP⊥PD,∴∠APD为面PAB和面PCD所成的二面角的平面角。∵∠APD=45°。故所求的二面角为45°。例3正四面体S―ABC的棱长为,求(1)SA和BC的距离，(2)正四面体S―ABC外接球半径R。解:,将正四面体补成正方体APCQ——MBNS,则正方体棱长为1。(1)SA和BC距离就是平面SA与平面BC间距离,显然是1。MBMBNSAPCQ,故。例4:在三棱锥P―ABC中，三组相对棱相等,且分别为13、14、15,求其体积。解:因为长方体对面不平行的对角线恰好可组成对棱相等的三棱锥,故将三棱锥补成长方体,。设长方体三棱分别为a、b、cBPAC则BPAC评注：对棱长全相等的正四面体通常把它补成正方体。若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体。 二、台体补锥体例5:正三棱台ABC-A′B′C′侧面与底面成45°,求侧棱与底面所成角的正切。解:将图形补成正三棱锥SABC,设AB中点E,△ABC中心o,∠SEO为侧面与底面所成角的平面角=45°,令SO=h,则OE=hRt△AEO中,Rt△sAO中,故侧棱与底面所成角正切为。三、锥体补成柱体CPAB例6如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,CPABA求证:三棱锥P—ABC的体积A解:以ΔABC为底面,以PA为侧棱补成三棱柱ABC—PB′C′.例7在四棱锥A′—ABCD中,A′A⊥底面ABCD,A〃=a,底面ABCD是边长为a的正方形，求过A垂直于A′C的截面的面积.解:,将四棱锥A′―ABCD补成正方体ABCD―A′B′C′D′,易证A′C⊥截面AB′C,且A′在截面上的射影R是正△AB′D′的中心.∴过A垂直于A′C的原四棱锥的截面是四边形APRQ.而△APR∽AB′O′,四、补相同的几何体例8长方体中，AB=，AD=1，，求异面直线与所成的角。解：如图5，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面的长方体，连结BF，则∠为异面直线与所成的角，而，AD=1，。连结，在△中，BF=，，，由余弦定理得，故与所成角为。评注：补相同几何体之目的在于平移相关直线。例9斜三棱柱的一个侧面的面积等于s,这个侧面与它所对的棱的距离等a。求证：这个棱柱的体积等于.五、对相应的平面图形补形平面图形翻折成空间图形问题，有时不容易画好直观图，可以先对平面图形作必要的补形，如补成矩形、正方形等，使翻折图形理想化（成为直棱柱、正棱柱等）。例10在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AB=AC=a，把它沿对角线AC折成60°的二面角。求：D到AB的距离。例11把RtΔABC沿直角C的平分线CD折成60°的二面角A—CD—B，求:BC与平面ACD所成的角,解:将图形ABC补成矩形FBHG，折后形成直三棱柱FEB—GCH,作BM⊥EF,垂足为M,则BM⊥面ADC，∴∠BCM为BC于平面ADC所成的角.六、不规则几何体补成规则几何体例12如图，多面体的底面是边长为l的正方形，上面的棱平行于底面，其长为，其余棱均为l，求这个多面体的体积。解：如图7，作以为棱长的正四面体ABCD，连结AC、AD、BC、BD中点组成的四边形为正方形即为多面体的底面（因正四面体的对棱互相垂直），这个正方形所在平面把四面体分成两个全等的多