湖南省衡阳市衡东县草市镇坪中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市衡东县草市镇坪中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等比数列，，，则（

）

A.7

B.5

C.-5

D.-7参考答案：D因为为等比数列，所以.又，所以或.若，解得，此时；若，解得，仍有.综上,.选D.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．分层抽样法参考答案：D3.已知，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由函数的解析式确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质比较的大小即可.【详解】由函数的解析式可知函数为奇函数，当时，，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数是定义在R上的单调递增函数，由于,故.即.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知曲线向左平移个单位，得到的曲线经过点，则（

）A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增C．曲线关于直线对称 D．曲线关于点对称参考答案：D解法1：由题意，得，且，即，所以，即，故，故的最小正周期，故选项A错；因为的单调递减区间为，故选项B错；曲线的对称轴方程为，故选项C错；因为，所以选项D正确，故选D．解法2：由于曲线向左平移个单位，得到的曲线特征保持不变，周期，故的最小正周期，故选项A错；由其图象特征，易知的单调递减区间为，故选项B错；曲线的对称轴方程为，故选项C错；因为，所以选项D正确，故选D．5.已知i是虚数单位，则复数

（

）

A．－1－i

B．－1+i

C．1+i

D．1－i参考答案：B6.若数列{an}满足，，则的值为（

）A．2

B．-3

C． D．参考答案：B，，所以故数列是以4为周期的周期数列，故故选B.7.已知等差数，若，则的前7项的和是（

）A．112

B．51

C．28

D．18参考答案：C8.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.函数的部分图象如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：B10.在正方体中，分别为棱和之中点，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为，则，，，故选D.考点：1、空间向量的应用；2、空间向量夹角余弦公式.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是．参考答案：（，π）【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件得f′（x）=x2+||x+?=0成立，△=||2﹣4?＞0，由此能求出与的夹角的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数f（x）=x3+||x2+?x在R上有极值，∴f′（x）=x2+||x+?=0成立，方程有根，△=||2﹣4?＞0，∴||2﹣4||?||cosθ＞0，由||=2||≠0，得cosθ，∴＜θ＜π故答案为：（，π）．12.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为

参考答案：13.在极坐标系中，点到直线的距离为

．参考答案：【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3

解析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．∴点P到直线的距离d==．故答案为：．【思路点拨】点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.参考答案：108+3略15.在△OAC中，B为AC的中点，若，则x-y=

。参考答案：16.已知下列命题：1

函数的单调增区间是.2

要得到函数的图象，需把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度.3

已知函数，当时，函数的最小值为．4

在[0,1]上至少出现了100次最小值，则.其中正确命题的序号是_

参考答案：②③④17.下列四个命题：①；

②；③；④．其中，真命题的序号是

．参考答案：④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（Ⅲ）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数参考答案：（Ⅰ）且解得……………3分（Ⅱ），令则令，得舍去).当时，是增函数；当时，是减函数；………………5分于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：.即…………………9分（Ⅲ）由题意假设结论成立，则有：…………11分①-②，得由④得即，即⑤………………13分令则在（0，1）增函数，⑤式不成立，与假设矛盾.…………………14分19.（2017?郴州三模）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，∴l⊥面PAC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（），F（），，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，则，取z=，得，，|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.如图，在等腰梯形中，，上底，下底，点为下底的中点，现将该梯形中的三角形沿线段折起，形成四棱锥.（1）在四棱锥中，求证：；（2）若平面与平面所成二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．试题分析：（1）由，，，点为的中点，得三角形沿线段折起后可得四边形为菱形，边长为，，取的中点，连接，，，可证，，即可证平面，从而平面，即可得证；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由（1）可证为平面与平面所成二面角的平面角，从而求出，，，，再求出平面的一个法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：由三角形沿线段折起前，，，，点为的中点，得三角形沿线段折起后，四边形为菱形，边长为，，如图，取的中点，连接，，，∵由题得和均为正三角形，∴，，又∴平面，∵∥∴平面，∵平面，∴．（2）解：以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由平面，有轴在平面内，在（1）中，∵，，∴为平面与平面所成二面角的平面角，∴，而，∴且，得点的横坐标为，点的竖坐标为，则，，，，故，，，设平面的一个法向量为，∴得令，得，，∴平面的一个法向量为，∴，∵直线与平面所成角为锐角或直角，∴直线与平面所成角的正弦值为．点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角21.已知数列的前项和.

（I）求数列的通项公式；

（II）设，求数列的前项和.

参考答案：22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a>0，b>0）经过点A（，），且点F（0，－1）为其一个焦点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△F