山东省莱芜市和庄乡中心中学高三数学理联考试题含解析

山东省莱芜市和庄乡中心中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C．2 D．3参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，假设双曲线的焦点在x轴上，且其方程为﹣=1，由标准方程可得其焦点坐标以及渐近线方程，进而由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离d==b，结合题意可得a=b，由双曲线的性质可得c==a，进而由离心率公式可得答案．【解答】解：根据题意，假设双曲线的焦点在x轴上，且其方程为：﹣=1，有c=，其焦点坐标为（±，0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0焦点到渐近线的距离d==b，又由该双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则有a=b，则c==a，则该双曲线的离心率e==，故选：A．2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(

)A． B．

C．

D．参考答案：A略3.如果不共线向量满足，那么向量的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】通过向量的数量积的计算，得到数量积为0，即可判断两个向量的夹角．【解答】解：∵，∴=4﹣=4﹣=0，∴，故向量的夹角为，故选C．4.

已知函数R．

(I)求函数f(x)的最小正周期；

(II)在ABC中，若A=，锐角C满足，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）因为，

………4分所以函数的最小正周期为

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，

…8分由已知，，又角为锐角，所以，

……………10分由正弦定理，得

……………12分略5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为

A．2

B．6

C．7

D．8参考答案：C6.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C设,由有,解得,所以,选C.7.函数部分图象如图所示,若,则等于A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程同除i，右侧复数的分子、分母同乘复数i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由z?i=2﹣i得，，故选A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．9.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意可设，即函数切线的斜率为，即，所以，选B.10.在ΔABC中，角所对的边分别为，满足：则等于（

）（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）

（Ｄ）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在展开式中的系数为,则实数的值为

.参考答案：112.已知圆割线交圆于两点，割线经过圆心，已知,,;则圆的半径是

.参考答案：设半径为R.根据割线定理有ＰＢ×ＰＡ=ＰＣ×ＰＤ解得，Ｒ＝

13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1且若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为

．参考答案：考点：分段函数图像14.若，则使成立的的取值范围是

参考答案：15.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学的解题中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感.阅读以下问题及其解答：问题：对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：令，则对任意，不等式恒成立只需满足，所以.类比其中所用的方法，可解得关于的方程的根为_______________.参考答案：16.若向量a，b满足：=，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于.

参考答案：答案：17.设函数，若曲线上在点处的切线斜率为，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知向量记.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.参考答案：……2分

（I）由已知得，于是，∴

……6分（Ⅱ）

根据正弦定理知：......8分∵

……11分∴或或而，所以，因此ABC为等边三角形.……………13分19.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值，记点.⑴求的值；⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；参考答案：解法一：∵，依题意，∴，（2分）

由，得（3分）

令，的单调增区间为和，，单调减区间为（5分）

所以函数在处取得极值。故（7分）

所以直线的方程为

（8分）

由得

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（9分）

令，易得，（11分）而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点。（12分）解法二：同解法一，可得直线的方程为

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（8分）由得

（9分）解得

（11分）所以线段与曲线有异于的公共点

。

（12分）20.5A级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元。（参考数据：，，）求的解析式。求该景点改造升级后旅游利润的最大值。（利润=旅游增加值-投入）参考答案：（1）由条件可得，

解得a=-，b=1．则f（x）=-+x-ln（x≥10）．

（2）由T（x）=f（x）-x=-+x-ln（x≥10），

则T′（x）=-+-=-，

令T'（x）=0，则x=1（舍）或x=50，

当x∈（10，50）时，T'（x）＞0，因此T（x）在（10，50）上是增函数；

当x＞50时，T'（x）＜0，因此T（x）在（50，+∞）上是减函数，

故x=50为T（x）的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元．

即该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值为T（50）=24.4万元．略21.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（Ⅱ）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；（Ⅲ）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．【解答】（Ⅰ）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2，MC==2则=2，设D到平面ACM的距离为h，由VD﹣ACM=VM﹣ACD即2h=8，可求得h=，设所求角为θ，则sinθ==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：可求得PC=6，因为AN⊥NC，由，得PN=，所以NC：PC=5：9，故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（Ⅱ）可知所求距离为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（本小题满分10分）已知整数的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC。

（1）当n=5时，求集合A1，A2，…，AC中所有元素之和；

（2）设mi为Ai中的最小元素，设